石勇國(guó)

(內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 四川省高校數(shù)值仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 641100)

1 引言

太陽(yáng)神鳥金飾在2001年出土于成都金沙遺址[1]，是21世紀(jì)我國(guó)考古的一個(gè)重大發(fā)現(xiàn)．太陽(yáng)神鳥金飾標(biāo)記的時(shí)間為商周時(shí)期，大約三千年以前．其圖案設(shè)計(jì)精妙最為惹人注目，成都市政府很快用它作為城市形象標(biāo)志和文化象征，已經(jīng)運(yùn)用到了立交橋、地鐵、機(jī)場(chǎng)等公共場(chǎng)所．2005年8月17日，國(guó)家文物局正式公布采用商周太陽(yáng)神鳥金飾圖案為“中國(guó)文化遺產(chǎn)標(biāo)志”．

很多學(xué)者對(duì)這件文物做過研究．文史研究人員專注于它的古蜀文化內(nèi)涵[2]；藏族學(xué)者看到它與藏族文化之間的關(guān)聯(lián)[3]；考古研究者看到它精美的制作工藝[4]；作為數(shù)學(xué)研究者，第一眼看到這件文物時(shí)，我們關(guān)注它里面蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)知識(shí)，以及當(dāng)時(shí)我們中華民族的數(shù)學(xué)水平．太陽(yáng)神鳥金飾映入眼瞼的數(shù)學(xué)問題即是如何用尺規(guī)進(jìn)行圓的十二等分．關(guān)于等分圓周問題是平面幾何中的著名問題之一[5]．與等分圓周等價(jià)的問題是尺規(guī)作正多邊形問題(the construction of regular polygon with ruler and compass)，即是用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖幾何問題．早在古希臘的歐幾里得(公元前325年—公元前265年)時(shí)代，人們就知道邊數(shù)形如2m，2m·3、2m·5的正多邊形可用尺規(guī)作出．金沙遺址中的文物實(shí)證了：比歐幾里得早約700年，中國(guó)人已經(jīng)掌握這些尺規(guī)等分圓周的作圖法，并且運(yùn)用到各種設(shè)計(jì)之中．

雖然中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GBGB/T 25601-2010[6]規(guī)定了中國(guó)文化遺產(chǎn)標(biāo)志形式、內(nèi)容、比例等標(biāo)準(zhǔn)，但是里面缺乏太陽(yáng)12道光芒的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)．我們也嘗試給予彌補(bǔ)．

2 金沙遺址中的相關(guān)幾何圖案

圖1 商周帶柄銅有領(lǐng)璧形器(左)，以及商周卷云紋金喇叭形器(右)

成都金沙遺址出土的一件青銅三鳥紋有領(lǐng)璧形器，如圖1，是與 “太陽(yáng)神鳥”金箔圖飾(如圖2)有著類似設(shè)計(jì)的珍貴器物，制作于商代晚期．帶柄銅有領(lǐng)璧形器呈圓環(huán)形，環(huán)面近邊緣處有兩道同心弦紋，在弦紋與孔壁間鑄有三只相同的逆時(shí)針飛行的鳥紋圖案．金沙遺址還出土了商周卷云紋金喇叭形器，其腹壁上等距分布著的三朵卷云紋線條十分優(yōu)美．這兩件文物都說明在商代，人們已經(jīng)會(huì)圓的三等分．

圖2 商周太陽(yáng)神鳥金飾

圖3 商代銅太陽(yáng)形器

圖4 商周青銅螺形器

商周“太陽(yáng)神鳥”金飾為商周時(shí)期的鏤空金器，如圖2，圖案分內(nèi)外兩層，內(nèi)層等距分布有十二條旋轉(zhuǎn)的齒狀光芒；外層由四只相同的、等間距的逆時(shí)針飛行的鳥組成．青銅三鳥紋有領(lǐng)璧形器與 “太陽(yáng)神鳥”金箔圖飾說明在商周時(shí)代人們已經(jīng)會(huì)圓的三等分、四等分、六等分與十二等分．

圖3的銅太陽(yáng)形器，制作于商代晚期，在四川省廣漢市三星堆遺址出土，直徑85厘米，其周圍等距分布五條芒，大圈也等距分布5個(gè)圓孔．銅太陽(yáng)形器說明在商代人們已經(jīng)會(huì)圓的五等分．

圖4的商周青銅螺形器，制作于商周時(shí)期，在四川省成都金沙遺址博物館出土．說明在商代，人民對(duì)螺旋線已有認(rèn)識(shí)，并且應(yīng)用到青銅器上．

3 關(guān)于尺規(guī)作圖圓周等分問題

首先給出幾個(gè)基本等分圓的作法．

圖5 十二等分圓

圖6 三等分圓和六等分圓

圖5給出了十二等分圓．得到了正十二邊形．分兩步即可完成，首先，畫兩條互相垂直的直徑AB，CD；其次，分別以A,B,C,D為圓心,圓的半徑為半徑畫弧,與圓得到八個(gè)交點(diǎn)，則這八個(gè)交點(diǎn)與A、B、C、D四點(diǎn)共12個(gè)點(diǎn)把圓周十二等分了. 顯然十二等分圓中自然有三、四和六等分圓．

若已給定圓心為O，直徑為AB的圓，以A為圓心、半徑AO畫圓，與圓有兩個(gè)交點(diǎn)．再以B為圓心，半徑BO畫圓，與圓有兩個(gè)交點(diǎn)．則這些點(diǎn)繪制出圓的六等分點(diǎn)．圓的3、4、5、6、8、10、12、15等分方法，最早記錄于歐幾里得(前325年-前265年)的《幾何原本》第四卷第15章[7]或參見[8]中系統(tǒng)詳細(xì)的介紹.

圖7 五等分圓和十等分圓

只使用直尺和圓規(guī)，作正7、9、11、13、17邊形——這個(gè)看上去非常簡(jiǎn)單的題目，曾經(jīng)使18世紀(jì)以前的數(shù)學(xué)家都束手無策．直到1796年，年僅19歲的高斯(Gauss)發(fā)現(xiàn)了正十七邊形可以尺規(guī)構(gòu)造[9]．正是這一作圖發(fā)現(xiàn)，同時(shí)也是兩千年以來在這個(gè)古希臘尺規(guī)問題上的第一個(gè)進(jìn)展，激發(fā)高斯投身于數(shù)學(xué)事業(yè)．高斯還進(jìn)一步斷言：一個(gè)正n邊形可用尺規(guī)作出n是2的m(≥0)次方和任意個(gè)(可為0個(gè))相異費(fèi)馬數(shù)(即形如Ft=22t+1的素?cái)?shù))的乘積．然而高斯僅證明這一論斷的充分性，其必要性是由旺策爾(Wantzel)于1837年證明的．Erchinger在1800年左右首次精確地構(gòu)造了正十七邊形．例如，當(dāng)t=0,1,2,3,4時(shí)，對(duì)應(yīng)的費(fèi)馬素?cái)?shù)Ft=3,5,17,257,65537以及2m與它們之積，可用尺規(guī)作出．但是，正7、9、11、13邊形不能用尺規(guī)作出；另外，時(shí)至今日，尚不知是否還有其它的費(fèi)馬素?cái)?shù)．

4 太陽(yáng)神鳥金飾中太陽(yáng)光芒的設(shè)計(jì)

圖8 光芒的作圖法

我們猜想古代蜀國(guó)人設(shè)計(jì)太陽(yáng)光芒，作了下面三條假設(shè)：

(1)太陽(yáng)的12道光芒形狀是一樣的，任意道光芒都可以由其中一道光芒繞圓心O旋轉(zhuǎn)而得到．

注：假設(shè)(1)是順乎自然的．關(guān)于假設(shè)(2)，相對(duì)于其他光滑弧線，圓弧用圓規(guī)更容易作出；在官方公布太陽(yáng)神鳥金飾圖案上，使用三點(diǎn)確定圓周的方法，確定一個(gè)月牙光芒的兩個(gè)圓弧分別所在兩個(gè)圓的半徑接近，且接近內(nèi)圓的半徑．關(guān)于假設(shè)(3)，切線的夾角為30°，接近測(cè)量值，而且便于尺規(guī)作圖．

根據(jù)以上三條假設(shè)，我們唯一確定了太陽(yáng)光芒形狀．具體的作法有很多種，下面是其中一種作法:

進(jìn)一步可以證明：三角形△GHC是邊長(zhǎng)為r的等邊三角形；光芒的兩圓弧的圓心F和G，與分點(diǎn)D三線共點(diǎn)．

于是，我們還原了古蜀國(guó)手工藝人給當(dāng)時(shí)諸侯王制作這樣一件王室精品圖徽的精細(xì)過程．刪掉一些相關(guān)的輔助線后，得到了圖9中的左圖，與官方公布的圖形(圖9中的右圖)做對(duì)比．在我們繪制的圖中，太陽(yáng)加上光芒整個(gè)外圍圓半徑與內(nèi)圓半徑之比OH:OD=1.52，而在官方公布的金沙遺址圖案中，我們測(cè)量比例約為1.54．與標(biāo)準(zhǔn)的圖形非常接近．出現(xiàn)誤差的原因主要有兩個(gè)，一是測(cè)量的誤差，另外是太陽(yáng)神鳥的金箔經(jīng)過三千多年，發(fā)生了形變，實(shí)屬難免．

圖9 對(duì)比圖，左邊是我們繪制的，右邊是金沙遺址博物館的標(biāo)準(zhǔn)圖

5 總結(jié)

太陽(yáng)神鳥用抽象的方法，簡(jiǎn)化了鳥的造型，將鳥的兩腿合并為一腿，縮小雙翼的尺寸，略去了羽毛紋路，使之能夠?qū)⑺闹淮篪B置與圖徽的邊緣；這四只大鳥首足相連，引頸伸腿逆時(shí)針方向圍繞反方向旋轉(zhuǎn)的太陽(yáng)飛翔，正反對(duì)比設(shè)計(jì)，使得圖案具有強(qiáng)烈的動(dòng)感．整個(gè)太陽(yáng)神鳥的設(shè)計(jì)集數(shù)學(xué)和美術(shù)于一身，充分表明了中國(guó)周時(shí)期不僅掌握了圓的性質(zhì)和等分技巧，而且還將這些平面幾何方法運(yùn)用到標(biāo)商志性的圖案設(shè)計(jì)，堪稱現(xiàn)代商標(biāo)圖徽的鼻祖．