王武亮，江 輝

深圳大學(xué)物理與光電工程學(xué)院，廣東深圳 518060

傳統(tǒng)的電能質(zhì)量信號(hào)分析方法，都是先按照奈奎斯特采樣定律獲取數(shù)據(jù)，然后將數(shù)據(jù)壓縮編碼再進(jìn)行存儲(chǔ)或傳輸，最后對(duì)壓縮編碼的數(shù)據(jù)進(jìn)行解壓縮處理．然而，一方面電能質(zhì)量信號(hào)擾動(dòng)類型復(fù)雜且變化迅速，這要求采樣設(shè)備有較高的采樣速率，增加了硬件采樣成本的同時(shí)又產(chǎn)生了大量冗余數(shù)據(jù)；另一方面，由于電力系統(tǒng)不間斷監(jiān)測(cè)的需求，造成每時(shí)每刻都要處理海量的采樣數(shù)據(jù)，而采樣數(shù)據(jù)的編碼過程計(jì)算復(fù)雜，消耗了大量計(jì)算資源．

貝葉斯壓縮感知(Bayesian compressive sensing, BCS)是基于相關(guān)向量機(jī)[9-10](relevance vector machine, RVM)發(fā)展而來． WIPF等[11]提出基于RVM的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)方法； 2008年，JI等將稀疏貝葉斯理論應(yīng)用到壓縮感知重構(gòu)算法中，在理論模型中引入噪聲項(xiàng)，在信號(hào)重構(gòu)時(shí)表現(xiàn)出良好的抗噪性[12]；次年，又提出基于貝葉斯理論的多任務(wù)壓縮感知，考慮了各待重構(gòu)任務(wù)間數(shù)據(jù)的內(nèi)在聯(lián)系，提高了模型的學(xué)習(xí)能力和參數(shù)估計(jì)的精度[13]．

本研究將多任務(wù)貝葉斯壓縮感知(multitask Bayesian compressive sensing, MT-BCS)理論用于含復(fù)雜擾動(dòng)的電能質(zhì)量信號(hào)的壓縮重構(gòu)研究上，用快速傅里葉變換基對(duì)電能質(zhì)量信號(hào)進(jìn)行稀疏處理，提取稀疏向量的實(shí)部和虛部構(gòu)成兩個(gè)壓縮重構(gòu)任務(wù)，得到兩個(gè)任務(wù)的觀測(cè)向量后，計(jì)算待重構(gòu)向量的超參數(shù)，最后利用觀測(cè)向量和超參數(shù)得到待重構(gòu)向量的均值進(jìn)而得到重構(gòu)信號(hào)．通過與正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit, OMP)算法和BCS算法的仿真結(jié)果對(duì)比表明，MT-BCS算法對(duì)含復(fù)雜擾動(dòng)的電能質(zhì)量信號(hào)的重構(gòu)效果更好．

1 MT-BCS

1.1 壓縮感知原理

壓縮感知包含信號(hào)采樣壓縮與信號(hào)重構(gòu)兩部分．信號(hào)進(jìn)行壓縮感知的前提條件是信號(hào)具有可壓縮性，即信號(hào)本身是稀疏的，或者在某個(gè)變換域下是稀疏的．根據(jù)信號(hào)稀疏表示理論可知，信號(hào)x∈RN×1在N×N的稀疏基Ψ下可表示為x=Ψθ． 其中，Ψ是N×N的正交矩陣；θ∈RN×1是稀疏向量， 當(dāng)θ中有K個(gè)值不為零，則稱θ為K稀疏(K?N)．

信號(hào)在觀測(cè)矩陣Φ下進(jìn)行線性投影，得到觀測(cè)值y， 完成信號(hào)采樣壓縮．其中，Φ=[φ1,φ2,…,φN]是M×N的觀測(cè)矩陣．因此，整個(gè)采樣壓縮過程表示為

y=ΦΨTx=Φθ

(1)

(2)

1.2 MT-BCS模型

1.2.1 多任務(wù)貝葉斯回歸方程

文獻(xiàn)[13]在貝葉斯壓縮感知的基礎(chǔ)上假設(shè)觀測(cè)任務(wù)有L個(gè)，并且這些觀測(cè)任務(wù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上互相關(guān)聯(lián)，因此，L個(gè)稀疏向量θi通過L個(gè)觀測(cè)矩陣Φi得到L個(gè)觀測(cè)值為

yi=Φiθi+ni

(3)

其中，yi∈RMi×1, 表示L個(gè)觀測(cè)值{yi}i=1,2,…,L； 通常每個(gè)觀測(cè)任務(wù)使用不同的隨機(jī)觀測(cè)矩陣Φi,Φi∈RMi×N,i=1,2,…,L；L個(gè)稀疏向量θi∈RN×1；ni∈RMi×1是每個(gè)觀測(cè)任務(wù)引入的噪聲，本研究假設(shè)ni服從均值為0，方差為σ2的多元高斯分布．

給定觀測(cè)值yi，則稀疏向量θi和方差σ2的似然函數(shù)為

(4)

同時(shí)，定義α0=σ-2為噪聲逆方差，服從參數(shù)為(a,b)的伽瑪分布．將α0集成到θi的先驗(yàn)分布中，則可避免對(duì)α0的估計(jì)，增強(qiáng)了算法的魯棒性．定義θi服從0均值高斯先驗(yàn)，即

(5)

其中，L個(gè)稀疏向量θi共享同一超參數(shù)α， 此共享機(jī)制利用了各組數(shù)據(jù)的內(nèi)在聯(lián)系，使不同組的觀測(cè)值數(shù)據(jù)可共同影響α的估計(jì)值，這正是多任務(wù)貝葉斯估計(jì)的精髓．

給定超參數(shù)α和測(cè)量值yi， 結(jié)合式(4)和式(5)，利用貝葉斯定理可得θi的后驗(yàn)分布函數(shù)為

p(θi|yi,α)=

(6)

其中，

μi=ΣiΦTiyi

(7)

Σi=(ΦTiΦi+A)-1

(8)

這里，對(duì)角矩陣A=diag(α1,α2, …,αN)．

θi的后驗(yàn)分布函數(shù)為多元Student-t分布，它具有很好的健壯性，由于其概率密度函數(shù)沒有指數(shù)的限制，所以在數(shù)據(jù)有噪聲時(shí)魯棒性更強(qiáng)．

1.2.2 超參數(shù)估計(jì)

利用最大化邊際似然函數(shù)估計(jì)超參數(shù)α．由式(4)和式(5)得到α的邊際似然函數(shù)的對(duì)數(shù)為

ln|Bi|]+const

(9)

其中，Bi=I+ΦiA-1ΦTi； const為表示θ的一個(gè)常量．利用直接微分法或最大期望算法都可通過式(9)求得α的點(diǎn)估計(jì)為

j=1, 2, …,N

(10)

為解式(10)，文獻(xiàn)[13]通過式(7)、式(8)和式(10)迭代計(jì)算出α的估計(jì)值．Φi最初包含N個(gè)候選基函數(shù)然后逐漸優(yōu)化刪除一些基函數(shù)．式(8)需要計(jì)算N×N矩陣的逆，需要O(N3)的計(jì)算復(fù)雜度和O(N2)的空間復(fù)雜度，此操作在N很大時(shí)的計(jì)算量巨大且耗時(shí)嚴(yán)重．因此，文獻(xiàn)[13]提出了快速算法．在該快速算法中，Φi從一個(gè)初始基函數(shù)開始，根據(jù)需要在Φi中添加或刪除當(dāng)前基函數(shù)，并且根據(jù)矩陣逆引理，降低了式(8)的計(jì)算復(fù)雜度．該快速算法因其任一步中Φi包含的基函數(shù)數(shù)量相比N都很低，因此算法的計(jì)算復(fù)雜度更低．

(11)

其中，Bi, -j是Bi移除了Φi,j的項(xiàng)．因此，式(9)可改寫為

L(α-j)+l(αj)

(12)

其中，α-j是α移除了第j個(gè)元素剩下的部分；si, j為稀疏因子，表征當(dāng)前基函數(shù)與模型中已有基函數(shù)的重疊程度，si, j=ΦTi, jB-1i, -jΦi,j；qi, j為質(zhì)量因子，表征當(dāng)前基函數(shù)與排除了當(dāng)前基函數(shù)的模型的對(duì)齊程度，qi, j=ΦTi, jB-1i, -jyi；gi, j=yTiB-1i, -jyi+2b；l(αj)表示對(duì)向量α中的一個(gè)元素αj求對(duì)數(shù)．

對(duì)式(12)運(yùn)用直接微分法求αj的極值．結(jié)果除了明顯解αj=∞外，其他的解不能解析地表示，但可近似為

(13)

通過分析多元Student-t函數(shù)性質(zhì)可知，αj=∞等同于θi, j=0，Φi,j可從Φi中移除，因此，求αj的極值就是控制從Φi中添加和刪除Φi,j的操作．如果對(duì)候選Φi,j按照順序執(zhí)行這些操作，就得到了有效的快速算法．

2 基于MT-BCS的電能質(zhì)量信號(hào)重構(gòu)

從壓縮感知理論知道，要對(duì)某個(gè)信號(hào)進(jìn)行壓縮感知，該信號(hào)必須是稀疏的或者在某個(gè)變換域下是稀疏的．電網(wǎng)中含有復(fù)雜擾動(dòng)的電能質(zhì)量信號(hào)并不是稀疏信號(hào)，但在一些稀疏基的投影下是稀疏信號(hào)．在電能檢測(cè)領(lǐng)域，快速傅里葉變換基和小波基是運(yùn)用最多并且較為成熟的稀疏基，而快速傅里葉變換基結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，運(yùn)算速度快，因此，本研究選擇快速傅里葉變換基為稀疏基．

將電能質(zhì)量信號(hào)通過快速傅里葉變換得到稀疏向量θ．θ是復(fù)數(shù)，取θ中的實(shí)部θR和虛部θI構(gòu)成兩個(gè)壓縮重構(gòu)任務(wù)，通過MT-BCS算法同時(shí)對(duì)θR和θI進(jìn)行壓縮重構(gòu)．因?yàn)棣萊和θI之間的稀疏度很相似， MT-BCS算法通過共享超參數(shù)機(jī)制充分考慮到θR和θI數(shù)據(jù)的內(nèi)在聯(lián)系，提高了模型的學(xué)習(xí)能力和重構(gòu)精度．

電能質(zhì)量信號(hào)用多任務(wù)貝葉斯壓縮感知算法壓縮重構(gòu)的具體步驟為

1)信號(hào)的稀疏變換．將電能質(zhì)量信號(hào)x通過快速傅里葉變換得到稀疏向量θ，再將其實(shí)部θR和虛部θI作為兩個(gè)壓縮重構(gòu)任務(wù)得到兩組觀測(cè)值yR和yI．

3 仿真與結(jié)果分析

(14)

(15)

其中，t∈[0, 0.20]． 仿真采用的電能質(zhì)量信號(hào)模型如表1．

表1 電能質(zhì)量信號(hào)模型

3.1 穩(wěn)態(tài)電能質(zhì)量信號(hào)仿真分析

對(duì)表1中的穩(wěn)態(tài)電能質(zhì)量信號(hào)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，得到表2穩(wěn)態(tài)電能質(zhì)量信號(hào)的仿真數(shù)據(jù)，以間諧波信號(hào)的仿真實(shí)驗(yàn)為例對(duì)比分析的性能．圖1給出了當(dāng)測(cè)量數(shù)M從50個(gè)增至250個(gè)時(shí)，3種算法對(duì)間諧波信號(hào)在不同噪聲情況下壓縮重構(gòu)的RMSE和SNR值的曲線圖．表2給出了3種算法在M=128時(shí)，對(duì)穩(wěn)態(tài)電能質(zhì)量信號(hào)在不同噪聲情況下進(jìn)行壓縮重構(gòu)的RMSE和SNR值．

結(jié)合表2和圖1(a)可見，重構(gòu)不含噪聲的間諧波信號(hào)時(shí)，OMP算法的RMSE值3.350×10-15最小， MT-BCS算法的RMSE值7.190×10-5略大，BCS算法的RMSE值5.110×10-4最大；當(dāng)間諧波信號(hào)中加入噪聲且噪聲方差(σ2)增大后， BCS算法的RMSE值0.026最小，MT-BCS算法的RMSE值0.035略大，OMP算法的RMSE值0.047最大．結(jié)合表2和圖1(b)可見，重構(gòu)不含噪聲的間諧波信號(hào)時(shí)，OMP算法的SNR值666.560最大，MT-BCS算法的SNR值192.330次之，BCS的SNR值156.010最??；當(dāng)間諧波信號(hào)中加入噪聲且噪聲方差增大后，BCS算法的SNR值72.390最大，MT-BCS 算法的SNR值66.810次之，OMP算法的SNR值60.780最?。?/p>

表2 穩(wěn)態(tài)電能質(zhì)量信號(hào)仿真數(shù)據(jù)(M=128)

圖1 不同噪聲情況下3種算法重構(gòu)間諧波信號(hào)的數(shù)據(jù)曲線Fig.1 The data curve of the reconstructed interharmonics signal by three algorithms under different noises

由表2可見，OMP算法在重構(gòu)不含噪聲的穩(wěn)態(tài)電能質(zhì)量信號(hào)時(shí)，效果遠(yuǎn)優(yōu)于MT-BCS算法和BCS算法，這是因?yàn)榇藭r(shí)的穩(wěn)態(tài)電能質(zhì)量信號(hào)擾動(dòng)簡(jiǎn)單又不含噪聲．當(dāng)穩(wěn)態(tài)電能質(zhì)量信號(hào)中加入噪聲后，MT-BCS算法和BCS算法的抗噪性要強(qiáng)于OMP算法，貝葉斯理論在建立模型的時(shí)候就已經(jīng)引入了測(cè)量噪聲和隨機(jī)高斯噪聲，這令基于貝葉斯理論的算法擁有比OMP算法更強(qiáng)的抗噪性．重構(gòu)含有噪聲的穩(wěn)態(tài)電能質(zhì)量信號(hào)時(shí)，MT-BCS算法的重構(gòu)效果略遜于BCS算法，這是因?yàn)榇藭r(shí)信號(hào)擾動(dòng)簡(jiǎn)單，信號(hào)稀疏變換后稀疏度很小，而MT-BCS算法待估計(jì)超參數(shù)共享，因此超參數(shù)累積的誤差對(duì)MT-BCS算法的影響較大．

3.2 暫態(tài)電能質(zhì)量信號(hào)仿真分析

對(duì)表1中的暫態(tài)電能質(zhì)量信號(hào)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，以短時(shí)諧波信號(hào)為例，對(duì)比分析MT-BCS算法與OMP算法和BCS算法的性能．圖2給出了當(dāng)M從50增至250時(shí)，3種算法對(duì)短時(shí)諧波信號(hào)在不同噪聲情況下重構(gòu)的RMSE和SNR值曲線圖．表3給出了當(dāng)M=128時(shí)，3種算法對(duì)暫態(tài)電能質(zhì)量信號(hào)在不同噪聲情況下重構(gòu)的RMSE和SNR值．

圖2 不同噪聲情況下3種算法重構(gòu)短時(shí)諧波信號(hào)的數(shù)據(jù)曲線圖Fig.2 The data curve of the reconstructed short-time harmonics signal by three algorithms under different noises

表3 暫態(tài)電能質(zhì)量信號(hào)仿真數(shù)據(jù)(M=128)

由圖2(a)和表3可見，當(dāng)重構(gòu)不含噪聲的短時(shí)諧波信號(hào)時(shí)，MT-BCS算法的RMSE值9.970×10-3在3種算法中最小，OMP算法的RMSE值0.013較大，BCS算法的RMSE值0.024最大；當(dāng)短時(shí)諧波信號(hào)中加入噪聲及噪聲方差增大后，MT-BCS算法的RMSE值0.028在3種算法中依舊保持最小，BCS算法的RMSE值0.033略大，OMP算法的RMSE值0.040最大．結(jié)合圖2(b)和表3可見，當(dāng)重構(gòu)不含噪聲的短時(shí)諧波信號(hào)時(shí)， MT-BCS算法的SNR值92.140在3種算法中最大，OMP算法的SNR值85.540次之，BCS算法的SNR值74.330最??；當(dāng)短時(shí)諧波信號(hào)中加入噪聲及噪聲方差增大后，MT-BCS算法的SNR值70.990在3種算法中依舊保持最大，BCS算法的SNR值67.690次之，OMP算法的SNR值64.360最?。畯膱D2(a)和圖2(b)還可看出，在M很小時(shí)，MT-BCS算法的重構(gòu)效果也優(yōu)于OMP算法和BCS算法，說明MT-BCS算法的性能在壓縮采樣不完備的情況下依然穩(wěn)定，而且采樣率越低此優(yōu)勢(shì)越明顯．在重構(gòu)暫態(tài)電能質(zhì)量信號(hào)時(shí)共享超參數(shù)機(jī)制使得MT-BCS算法更好地利用了實(shí)部與虛部數(shù)據(jù)的內(nèi)在聯(lián)系，擁有更精確的估計(jì)值和更強(qiáng)的抗噪性，重構(gòu)效果明顯優(yōu)于BCS算法和OMP算法．但是，MT-BCS算法同時(shí)重構(gòu)實(shí)部和虛部?jī)蓚€(gè)任務(wù)，計(jì)算過程更復(fù)雜，這也犧牲了一定的運(yùn)算時(shí)間．

3.3 復(fù)雜電能質(zhì)量信號(hào)仿真分析

圖3給出了當(dāng)M從50增至250時(shí)，3種算法對(duì)復(fù)雜信號(hào)在不同噪聲情況下重構(gòu)的RMSE和SNR值的曲線圖．表4給出了當(dāng)M=128時(shí)3種算法對(duì)復(fù)雜信號(hào)在不同噪聲情況下重構(gòu)的RMSE和SNR值．

圖3 不同噪聲情況下3種算法重構(gòu)復(fù)雜信號(hào)的數(shù)據(jù)曲線圖Fig.3 The data curve of the reconstructed complicated signal by three algorithms under different noises

表4 復(fù)雜電能質(zhì)量信號(hào)仿真數(shù)據(jù)(M=128)Table 4 Simulation data of complicated power quality signal (M=128)

結(jié)合圖3(a)和表4可見，當(dāng)重構(gòu)不含噪聲的復(fù)雜信號(hào)時(shí)，MT-BCS算法的RMSE值0.021在3種算法中最小，OMP算法的RMSE值0.049較大，BCS算法的RMSE值0.052最大；當(dāng)復(fù)雜信號(hào)中加入噪聲及噪聲方差增大后，MT-BCS算法的RMSE值0.048依舊保持最小，BCS算法的RMSE值0.060略大，OMP算法的RMSE值0.077最大．結(jié)合圖3(b)和表4可見，當(dāng)重構(gòu)不含噪聲的復(fù)雜信號(hào)時(shí)， MT-BCS算法的SNR值76.610在3種算法中最大，OMP算法的SNR值60.020次之，BCS算法的SNR值58.840最??；當(dāng)復(fù)雜信號(hào)中加入噪聲及噪聲方差增大后，MT-BCS算法的SNR值60.540依舊最大，但BCS算法的SNR值56.130比OMP算法的SNR值51.030大．可以看出，MT-BCS算法也適用于壓縮重構(gòu)擾動(dòng)更加復(fù)雜的電能質(zhì)量信號(hào)，且表現(xiàn)出出色的重構(gòu)效果，更適合于含復(fù)雜擾動(dòng)的電能質(zhì)量信號(hào)的壓縮重構(gòu)．

結(jié) 語(yǔ)

將多任務(wù)貝葉斯壓縮感知理論用于含復(fù)雜擾動(dòng)的電能質(zhì)量信號(hào)的壓縮重構(gòu)研究中．對(duì)OMP算法和BCS算法進(jìn)行仿真，結(jié)果表明：① 在壓縮重構(gòu)含復(fù)雜擾動(dòng)的電能質(zhì)量信號(hào)時(shí)，MT-BCS算法對(duì)電能質(zhì)量信號(hào)的重構(gòu)效果更出色，重構(gòu)精度更高；② MT-BCS算法在壓縮比很小時(shí)依然能夠保持良好的穩(wěn)定性，在壓縮比很小時(shí)重構(gòu)效果優(yōu)于OMP算法及BCS算法，體現(xiàn)了MT-BCS算法在低壓縮采樣率時(shí)的巨大優(yōu)勢(shì)，能夠以更低的壓縮比壓縮重構(gòu)信號(hào)，有效節(jié)省了存儲(chǔ)空間．③ 當(dāng)信號(hào)含有噪聲時(shí)，MT-BCS算法的重構(gòu)效果優(yōu)于OMP算法及BCS算法，說明該算法具有更強(qiáng)的抗噪性，這在壓縮重構(gòu)含有大量噪聲的電能質(zhì)量信號(hào)時(shí)優(yōu)勢(shì)明顯．但是，MT-BCS算法在追求高重構(gòu)精度和更強(qiáng)抗噪性的同時(shí)，犧牲了算法的運(yùn)行時(shí)間，致使算法運(yùn)行時(shí)間較長(zhǎng)．綜上所述，MT-BCS算法能夠適應(yīng)含各種復(fù)雜擾動(dòng)的電能質(zhì)量信號(hào)的壓縮重構(gòu)．