魏爍

摘? 要：結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題具有條件模糊、解決方案多樣、結(jié)果開(kāi)放等特點(diǎn)，其解決過(guò)程能有效激發(fā)學(xué)生的求知欲，幫助學(xué)生多角度把握問(wèn)題本質(zhì)，追尋知識(shí)背后的價(jià)值. 從結(jié)構(gòu)不良的視角設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)課中的學(xué)生活動(dòng)，有助于學(xué)生從更高層次認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，有助于促進(jìn)學(xué)生素養(yǎng)的養(yǎng)成和能力的提升.

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)不良;復(fù)習(xí)課;學(xué)生活動(dòng)

自新課程改革以來(lái)，在數(shù)學(xué)高考試卷中陸續(xù)出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，引發(fā)我們對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的思考：在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，能否從結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的視角，開(kāi)展具有建構(gòu)主義傾向的學(xué)習(xí)活動(dòng)呢？本文以“平行四邊形的性質(zhì)和判定定理”復(fù)習(xí)課為例，簡(jiǎn)述如何從結(jié)構(gòu)不良視角進(jìn)行復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散的認(rèn)知能力、可遷移能力，以及批判思維能力等高階能力.

一、對(duì)結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的認(rèn)識(shí)

Raitman（1965年）首次從認(rèn)知心理學(xué)的角度區(qū)分了結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題（well-structured problem）和結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題（ill-structured problem）.前者是初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)和解決問(wèn)題的方法與途徑都很明確的問(wèn)題，而后者則是這三者中至少有一個(gè)沒(méi)有明確界定的問(wèn)題.

應(yīng)該注意的是，結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題并不是這個(gè)問(wèn)題本身有什么錯(cuò)誤或是不恰當(dāng)，而是指它沒(méi)有明確的結(jié)構(gòu)、要求或解決的途徑.

數(shù)學(xué)教學(xué)中的系統(tǒng)知識(shí)是一種結(jié)構(gòu)良好的問(wèn)題，條件明確，不多不少，需要解決的問(wèn)題目標(biāo)明確，有規(guī)范的思路和解法.然而現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題多是結(jié)構(gòu)不良的、情境化的、定義不明確的或者目標(biāo)不明確的，往往沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)答案.結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題具有條件模糊、解決方案多樣、結(jié)果開(kāi)放等特點(diǎn)，其解決過(guò)程能有效激發(fā)學(xué)生的求知欲，幫助學(xué)生從多角度把握問(wèn)題的本質(zhì)，追尋知識(shí)背后的價(jià)值.因此，解決結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題對(duì)促進(jìn)學(xué)生素養(yǎng)的養(yǎng)成和能力的提升具有深遠(yuǎn)意義.

二、結(jié)構(gòu)不良視角下的復(fù)習(xí)課

1. 復(fù)習(xí)課的教學(xué)功能

復(fù)習(xí)課在數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著獨(dú)特地位，它是知識(shí)學(xué)習(xí)的高級(jí)階段，在數(shù)學(xué)知識(shí)的整合與理解、解題策略的構(gòu)建與內(nèi)化、思維能力的形成與提升等方面都起著重要作用.

復(fù)習(xí)課的教學(xué)目的是幫助學(xué)生梳理基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想，加強(qiáng)相關(guān)知識(shí)聯(lián)系的豐富性和順暢性，構(gòu)建有機(jī)的網(wǎng)絡(luò)，便于知識(shí)技能和思想方法的存儲(chǔ)、提取和遷移應(yīng)用，進(jìn)而加強(qiáng)知識(shí)理解的準(zhǔn)確性和深刻性，提高知識(shí)的組織質(zhì)量，形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并通過(guò)問(wèn)題解決等方式，提高綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

2. 平行四邊形的性質(zhì)和判定定理復(fù)習(xí)課

（1）梳理知識(shí)框架.

知識(shí)梳理是復(fù)習(xí)課中常見(jiàn)的環(huán)節(jié)之一，它是為了幫助學(xué)生回歸教材，理清教材脈絡(luò)體系，從而使得各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間能夠有效整合，發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行交流與表達(dá)的能力.

本節(jié)課通過(guò)如下問(wèn)題，要求學(xué)生對(duì)單元知識(shí)能夠進(jìn)行有序、合理地構(gòu)建.

① 本章的研究?jī)?nèi)容有哪些？我們是從哪些角度進(jìn)行研究的？

② 平行四邊形的定義、性質(zhì)及判定之間有怎樣的關(guān)系？能否用一個(gè)圖來(lái)表示？

根據(jù)學(xué)生情況，要求其通過(guò)結(jié)構(gòu)圖的方式，形成一個(gè)主線突出、脈絡(luò)清晰、體系完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)（如圖1、圖2）.

（2）提出活動(dòng)要求.

如圖3，已知四邊形ABCD是平行四邊形.

（Ⅰ）① 在平行四邊形ABCD的邊或邊所在直線上截取相等線段;② 在平行四邊形ABCD的對(duì)角線或?qū)蔷€所在直線上截取相等線段. 這兩種方式中選擇一個(gè)，構(gòu)造一個(gè)新的平行四邊形，需要說(shuō)明構(gòu)造的具體方法，并給出證明.

（Ⅱ）在構(gòu)造新平行四邊形的過(guò)程中，你有什么發(fā)現(xiàn)？

活動(dòng)說(shuō)明：這個(gè)活動(dòng)的目標(biāo)是明確的，即構(gòu)造一個(gè)新的平行四邊形. 但是給學(xué)生提供了不同的方式，構(gòu)造路徑是不同的，即便學(xué)生選擇了方式①或方式②，也將會(huì)面臨著如何截取的問(wèn)題，構(gòu)造方式是多種多樣的. 在結(jié)構(gòu)不良視角下設(shè)計(jì)的學(xué)生活動(dòng)，更具思維空間和挑戰(zhàn)性. 例如，在哪截?。吭鯓咏厝?？需要運(yùn)用原有平行四邊形的哪些性質(zhì)？證明時(shí)運(yùn)用平行四邊形的哪個(gè)判定定理？解決問(wèn)題時(shí)思維方向的確定、思維策略的選擇、思維過(guò)程的監(jiān)控、思維結(jié)果的評(píng)估等一系列過(guò)程，都將促進(jìn)學(xué)生的深度思考.

（3）學(xué)生活動(dòng)實(shí)錄.

生1：我選擇方式①，借助平行四邊形的“邊”構(gòu)造. 有兩種截取方式：第一種，在一組對(duì)邊上截取相等線段. 如圖4，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，DE = CF，四邊形ABFE是一個(gè)平行四邊形. 用到性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊平行且相等. 證明時(shí)，需要用判定定理：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形. 第二種，還是在一組對(duì)邊上截取. 如圖5，如果點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，AE =CF，四邊形EBFD是平行四邊形. 證明類似，略.

生2：我也選擇方式①，不同的是，在兩組對(duì)邊上截取相等線段. 如圖6，已知四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是AD，BC上的點(diǎn)，DE = CF，G，H分別是AB，CD上的點(diǎn)，AG = DH，可以構(gòu)造出8個(gè)平行四邊形.

生3：受生2的啟發(fā)，在圖5的基礎(chǔ)上，連接CE，AF，CE交DF于點(diǎn)G，AF交BE于點(diǎn)H，也可以得到平行四邊形EHFG（如圖7）.

生4：在圖6中，有一種特殊情形：如果G，F(xiàn)，H，E分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則四邊形GFHE是平行四邊形（如圖8）. 在證明過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)，這個(gè)結(jié)論和原圖形的形狀沒(méi)有關(guān)系，由于證明中用到的是三角形中位線定理，因此，去掉“四邊形ABCD是平行四邊形”這個(gè)條件，結(jié)論依然成立（如圖9）.

師：很好，生4在構(gòu)造與證明的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了新結(jié)論！這個(gè)四邊形我們稱之為“中點(diǎn)四邊形”，“中點(diǎn)四邊形”一定是平行四邊形，有興趣的同學(xué)可以按照平行四邊形的研究思路去研究這個(gè)“新圖形”！

這樣，學(xué)生在這個(gè)活動(dòng)中，自然發(fā)現(xiàn)了“中點(diǎn)四邊形”，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生研究這個(gè)特殊四邊形，這一過(guò)程也體現(xiàn)了從一般到特殊的研究方法，為后續(xù)研究特殊的四邊形積累了經(jīng)驗(yàn).

生5：我選擇方式①，但是我是在延長(zhǎng)線上順次截取相等線段，構(gòu)造平行四邊形. 如圖10，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BE = CF =DG = AH，四邊形HEFG是平行四邊形.

證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，

所以AB = CD，∠BAD = ∠DCB.

所以∠HAE = ∠FCG.

因?yàn)锳E = AB + BE，CG = CD + DG，

BE = DG，

所以AE = CG.

又因?yàn)锳H = CF，

所以△AHE ≌ △CFG.

所以HE = FG.

同理EF = GH.

所以四邊形HEFG是平行四邊形.

生6：在生5的證明過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)，只要能夠保證△AHE ≌ △CFG即可，因此條件只需要BE = DG，CF =AH即可，沒(méi)有必要四條線段都相等.

師：好，條件可以弱化！這也是進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的基本方法. 其他同學(xué)呢？

生7：如圖11，我在對(duì)角線AC上截取兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使AE = CF，四邊形EBFD是平行四邊形.用到平行四邊形的性質(zhì)：對(duì)角線互相平分，以及判定定理：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

類似地，在對(duì)角線延長(zhǎng)線上構(gòu)造相等線段也可以得到相應(yīng)的平行四邊形（如圖12）.

其間，還有學(xué)生提出：既然平行四邊形的研究角度有邊、角和對(duì)角線，那么能否“截取相等角”來(lái)構(gòu)造平行四邊形呢？這是非常好的想法，這一想法也為后續(xù)解決問(wèn)題過(guò)程中常用到的“旋轉(zhuǎn)角”構(gòu)造全等或相似積累了經(jīng)驗(yàn). 正是由于從結(jié)構(gòu)不良視角設(shè)計(jì)學(xué)生活動(dòng)，給學(xué)生提供了更多思考問(wèn)題、提出問(wèn)題及數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，也讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中更好地體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想方法，如類比的思想，以及探究問(wèn)題的一些基本方法，如弱化條件、改變條件、構(gòu)造圖形等，同時(shí)，學(xué)生在合作交流的過(guò)程中，也增強(qiáng)了與人溝通、合作學(xué)習(xí)的能力.

（4）例題與習(xí)題.

例? 如圖13，在△ABC中，BD，CE分別是AC，AB上的中線，BD與CE相交于點(diǎn)O. BO與OD的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？邊BC上的中線是否一定過(guò)點(diǎn)O？為什么？

這是教材中的題目，也是一個(gè)經(jīng)典的結(jié)論. 有了上述構(gòu)造平行四邊形的經(jīng)歷，輔助線的添加“如圖14，分別作BO，CO的中點(diǎn)M，N，連接ED，EM，MN，ND”不再顯得那么生硬，甚至很多學(xué)生能夠自行添加輔助線并完成證明（證明略）.

在解決平面幾何問(wèn)題的過(guò)程中，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是學(xué)生的難點(diǎn)，單純靠模仿是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，學(xué)生需要對(duì)圖形的結(jié)構(gòu)有深刻的理解和認(rèn)識(shí)，從結(jié)構(gòu)不良的視角設(shè)計(jì)，如上述活動(dòng)，只明確任務(wù)指向：構(gòu)造平行四邊形，開(kāi)放構(gòu)造方式，可以給學(xué)生帶來(lái)充分認(rèn)識(shí)圖形結(jié)構(gòu)特征的機(jī)遇. 我們還可以設(shè)計(jì)條件確定、結(jié)論開(kāi)放的活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中感知圖形、體會(huì)方法.

練習(xí)：如圖15，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB = 2CD，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn). 求證：CD = 2EF.

取AB的中點(diǎn)G是證明的關(guān)鍵，學(xué)生要能夠根據(jù)已知條件分析圖形的結(jié)構(gòu)特征：根據(jù)已知AB∥DC，AB =2CD，分析出這里蘊(yùn)含著兩個(gè)平行四邊形，[?AGCD]和[?BGDC]（如圖16），進(jìn)而解決問(wèn)題.

三、反思

在過(guò)去的教學(xué)活動(dòng)中，部分教師把精力過(guò)多地放在解題訓(xùn)練上，圍繞著確定的“條件和結(jié)論”模式化訓(xùn)練，學(xué)生僅靠記憶和解題經(jīng)驗(yàn)去解決問(wèn)題，效果甚微. 在結(jié)構(gòu)不良視角下設(shè)計(jì)的學(xué)生活動(dòng)，需要學(xué)生根據(jù)具體情境，從多個(gè)角度分析，考慮多個(gè)可能，尋找不同路徑，提出多種解決方案. 而解決問(wèn)題的過(guò)程中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，有助于幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生思維的系統(tǒng)性、靈活性、深刻性和創(chuàng)造性.在復(fù)習(xí)課或?qū)ｎ}課中，設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，往往能夠起到事半功倍的效果.

在結(jié)構(gòu)不良視角下設(shè)計(jì)學(xué)生活動(dòng)，需要充分考慮學(xué)生的認(rèn)知水平，精心設(shè)計(jì)有效的、富有啟發(fā)性的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，這些問(wèn)題，不是知識(shí)的簡(jiǎn)單提取、記憶和重復(fù)運(yùn)用，而是能夠提升學(xué)生已有的認(rèn)知，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，激起學(xué)生內(nèi)部的學(xué)習(xí)動(dòng)力. 正如著名數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾所說(shuō)：“數(shù)學(xué)知識(shí)既不是教出來(lái)的，也不是學(xué)出來(lái)的，而是研究出來(lái)的.”結(jié)構(gòu)不良視角下設(shè)計(jì)的活動(dòng)更具開(kāi)放性、探究性，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)具有重要意義.

參考文獻(xiàn)：

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