摘? 要：以知識結(jié)構(gòu)的視角剖析了習(xí)題課的內(nèi)涵特征和主要任務(wù)，從實例中闡釋了習(xí)題課設(shè)計的基本途徑，并提煉了習(xí)題課設(shè)計的三條基本原則——整體性、結(jié)構(gòu)性、關(guān)聯(lián)性.

關(guān)鍵詞：知識結(jié)構(gòu);習(xí)題課;整體性;結(jié)構(gòu)性;關(guān)聯(lián)性

習(xí)題是數(shù)學(xué)知識的載體，是數(shù)學(xué)思想方法的生長點，蘊(yùn)含著巨大的教育潛能. 教師通過組織習(xí)題課教學(xué)，可以及時分析、了解學(xué)情，幫助學(xué)生梳理已有的知識結(jié)構(gòu)，糾正存在的問題，完善知識系統(tǒng)，并對所學(xué)的知識進(jìn)行深加工，在原有知識的基礎(chǔ)上“再創(chuàng)造”. 因此，習(xí)題課在數(shù)學(xué)單元教學(xué)中占有重要的地位，但在現(xiàn)實中相關(guān)研究比較欠缺.鑒于此，下面就個人研究談?wù)劻?xí)題課的認(rèn)識與思考，以供研讀.

一、習(xí)題課的認(rèn)識與思考

習(xí)題是外在的，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識是內(nèi)隱的. 這種依存關(guān)系要求我們必須先對數(shù)學(xué)知識本身進(jìn)行深入分析研究，然后對習(xí)題進(jìn)行有效解讀，最后才能真正詮釋習(xí)題課的豐富內(nèi)涵特征.

1. 樸素認(rèn)識

我們經(jīng)常用“樹”的結(jié)構(gòu)來表述、總結(jié)數(shù)學(xué)學(xué)科的知識.樹的主干是數(shù)學(xué)中的主干內(nèi)容，樹枝就是重要知識，而樹葉是單個數(shù)學(xué)命題或者運(yùn)用. “知識樹”得到了不斷發(fā)展、豐富，在20世紀(jì)60年代由美國康奈爾大學(xué)的諾瓦克（J.D.Novak）博士根據(jù)奧蘇貝爾（David P.Ausubel）的有意義學(xué)習(xí)理論提出一種教學(xué)技術(shù)——概念圖.在1970年前后由英國學(xué)者托尼·巴贊（Tony Buzan）創(chuàng)造了一種記筆記的方法——思維導(dǎo)圖.總之，“知識樹”形象直觀，整體性、結(jié)構(gòu)性、層次性較強(qiáng)，易于學(xué)生掌握. 但知識之間的關(guān)系不僅僅是樹狀的，而且也是網(wǎng)狀的. 例如，勾股定理是直角三角形的三邊性質(zhì)，它屬于直角三角形的“樹枝”，但是勾股定理可以利用相似、全等、面積等知識去證明，也就是勾股定理與面積、全等、相似具有關(guān)系（關(guān)聯(lián)），所以知識之間的關(guān)系既具有樹狀結(jié)構(gòu)又具有網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)（如圖1）.

知識之間這種樹狀且網(wǎng)狀的復(fù)雜結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)的難點所在，也是重點所在.能不能更加簡單地認(rèn)識知識的這種復(fù)雜結(jié)構(gòu)呢？

我們可以關(guān)注其中一個知識，如以知識B為視角中心，“有向線段”的方向為標(biāo)準(zhǔn)，我們可以從圖1中剝離出下面三種情況.

第一種情況：知識B“從哪里來”（如圖2）.這個過程蘊(yùn)含了兩種理解方式.

多種方法解決一個問題.例如，A推導(dǎo)B，或者C推導(dǎo)B，也可以C，D合起來推導(dǎo)B.這也是我們常常說的“一題多法”或者“一題多解”.

多個知識解決一個問題.例如，綜合利用A，C，D推導(dǎo)出B，也意味著知識B綜合性比較大.

第二種情況：知識B“到哪里去”（如圖3），即知識B不僅可以推導(dǎo)F，G，H，而且也可以推導(dǎo)其他知識，“到哪里去”的過程也蘊(yùn)含了兩種理解方式——知識的多元表征和知識的多種運(yùn)用.

知識的多元表征.例如，完全平方公式，我們可以用文字語言、圖形、符號、故事情境（分糖故事）等去理解.這樣做的好處在于利用多元表征（語言、文字、符號、圖象、具體事物、實際情境等）凸顯知識對象各方面的屬性，完善知識的整體結(jié)構(gòu)和意義. 又如，我們常說的“一題多變”也屬于此類.

知識的多種運(yùn)用.例如，我們經(jīng)常講完一個公式、法則后，選擇不同的類型習(xí)題讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，這就是命題的多種運(yùn)用. 又如，幾何基本圖形的運(yùn)用也屬于此類.

第三種情況：知識B“從哪里來”“到哪里去”（如圖4），即知識的“層級發(fā)展”，這種知識的層級發(fā)展在數(shù)學(xué)學(xué)科中隨處可見.例如，初中數(shù)學(xué)中兩點之間線段最短→三角形任意兩邊之和大于第三邊→三角形任意兩邊之差小于第三邊.

以上三種情況只是“基本”情況，當(dāng)然實際的知識會更加復(fù)雜，但是復(fù)雜情況不過是三種基本情況的組合而已.

2. 簡單區(qū)分

在科學(xué)教育中引入例題、習(xí)題的初衷是鞏固和加深學(xué)生知識的學(xué)習(xí)，考查學(xué)生掌握知識的水平，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識解決問題的能力.這樣，為了與數(shù)學(xué)概念、公理、定理、法則、公式做一個簡單區(qū)分，我們把數(shù)學(xué)概念、公理、定理、法則、公式等內(nèi)容稱為“核心命題”（以下簡稱“命題”），例題、習(xí)題等內(nèi)容統(tǒng)稱為“習(xí)題”.

3. 一點思考

綜合“樸素認(rèn)識”和“簡單區(qū)分”的分析認(rèn)識，來看我們常見的三種課型——新授課、習(xí)題課、復(fù)習(xí)課，就會對三種課型有更深的理解.簡單來說，新授課的主要任務(wù)是命題“從哪里來”和“到哪里去”;習(xí)題課的主要任務(wù)是習(xí)題“從哪里來”和“到哪里去”;復(fù)習(xí)課的主要任務(wù)是對整體結(jié)構(gòu)關(guān)系的再認(rèn)知、再深化、再精致和再升華.如果結(jié)合“樸素認(rèn)識”中三種情況再進(jìn)行細(xì)化，我們就可以建立一個有關(guān)習(xí)題和命題的表格，得到十種情況，具體見下表.

結(jié)合以上研究，我們可以對習(xí)題課的內(nèi)涵做出如下界定：在整體思維指導(dǎo)下，對相關(guān)習(xí)題進(jìn)行統(tǒng)籌重組和優(yōu)化，突出習(xí)題“從哪里來”和“到哪里去”的過程，彰顯知識的整體性、結(jié)構(gòu)性和關(guān)聯(lián)性，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行循環(huán)改進(jìn)的動態(tài)課堂教學(xué)，其主要任務(wù)為表格中的最后一行.

二、習(xí)題課設(shè)計的基本途徑及其示例

教無定法，但有常法，貴在得法.我們可以從本文中習(xí)題課的內(nèi)涵和主要任務(wù)入手，梳理出習(xí)題課設(shè)計的基本途徑，概括起來主要有如下六種：習(xí)題（命題）的多元表征、多種運(yùn)用、多種方法解決習(xí)題、多種知識解決習(xí)題、習(xí)題的“層級發(fā)展”.如何理解這六種基本途徑呢？我們不妨來看一節(jié)單元教學(xué)習(xí)題課的教學(xué)設(shè)計，具體如下.

1. 選題背景

選擇習(xí)題1的理由有兩個.（1）知識視角：很多版本教材都有“利用銳角三角函數(shù)計算小樹高度”的相關(guān)習(xí)題.（2）學(xué)生視角：利用銳角三角函數(shù)解決實際問題（特別是靈活地構(gòu)造直角三角形）是學(xué)生學(xué)習(xí)的重、難點.

2. 教學(xué)處理

階段1：多種方法解決習(xí)題，多種知識解決習(xí)題.

習(xí)題1：如圖5，如果我們想利用樹影測量校園內(nèi)的樹高.若太陽光與水平地面的夾角為30°，當(dāng)他測量教學(xué)樓旁的一棵大樹影長時，因大樹靠近教學(xué)樓，有一部分影子在墻上.經(jīng)測量，地面部分影長為6米，墻上影長為2米，那么這棵大樹高約多少？

習(xí)題1可以運(yùn)用多種方法解決（即一題多解），并且每種方法都需要綜合運(yùn)用多種知識，進(jìn)而讓學(xué)生認(rèn)識到頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有許多“結(jié)點”，從這種結(jié)點出發(fā)可能形成不同的思路，從而有效地通過多種渠道來解決同一個問題，把所學(xué)知識、經(jīng)驗有機(jī)組合，形成網(wǎng)絡(luò).在這個階段（一題多解）的教學(xué)中，我們必須從“一題多解”走向更深入的“最優(yōu)意識”和“多法歸一”.例如，在解后反思環(huán)節(jié)，教師適時地追問：哪種方法最簡單？這些方法有哪些相同之處？這樣的教學(xué)處理，能讓學(xué)生明了三種輔助線的添加方法就是梯形常見的輔助線作法，進(jìn)而更進(jìn)一步明白問題的根本——利用銳角三角函數(shù)解決問題的關(guān)鍵就是構(gòu)造直角三角形. 但是這種解題策略學(xué)生是否掌握了呢？我們在習(xí)題課中要抓住契機(jī)及時跟進(jìn).

階段2：習(xí)題的多種運(yùn)用.

變式1：如圖6，我們發(fā)現(xiàn)小樹AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD = 4米，BC = 10米，CD與地面成45°角，且若太陽光與水平地面的夾角為30°，則小樹的高度為多少？

變式2：如圖7，若斜坡的坡角為45°，太陽光與水平地面的夾角為60°，經(jīng)測量，坡面影長為BD =[42]米，那么這棵大樹高約多少？

變式3：如圖8，若斜坡的坡角為45°，太陽光與水平地面的夾角為60°，經(jīng)測量，坡面部分影長為[42]米，地面部分影長為2米，那么這棵大樹高約多少？

數(shù)學(xué)試題千變?nèi)f化，在課堂教學(xué)中教師應(yīng)經(jīng)常進(jìn)行“習(xí)題的多種運(yùn)用”（一題多用），引導(dǎo)學(xué)生大膽聯(lián)想，積極創(chuàng)造.使學(xué)生在變換中看到所學(xué)知識的關(guān)聯(lián)，想到知識的整體，明白知識的變化.讓學(xué)生從不同側(cè)面加深對問題本質(zhì)的認(rèn)識，即變化小樹的位置、坡面、影長等要素，在不變中求變，在變中求不變.引導(dǎo)學(xué)生在求異、思變中創(chuàng)新，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和趣味性，以培養(yǎng)學(xué)生良好的創(chuàng)造性思維品質(zhì)和創(chuàng)造性學(xué)習(xí)能力.習(xí)題的多種運(yùn)用、多種方法、多種知識可以彰顯數(shù)學(xué)內(nèi)部知識之間的關(guān)聯(lián)、結(jié)構(gòu)、整體，但是如何讓學(xué)生站在更高的視角看問題呢？

階段3：習(xí)題的多元表征.

變式4：如圖9，在四邊形ABCD中，∠B = ∠C =135°，∠D = 60°，BC =[42]，CD = 2，求AB的長.

教師在習(xí)題本質(zhì)屬性不變的前提下，通過改變習(xí)題的圖形、表述方式和形式給出了“變式4”，給學(xué)生一次“返璞歸真”的機(jī)會，前后關(guān)聯(lián)、認(rèn)識本質(zhì)，以上習(xí)題及其變式本質(zhì)就是利用“解直角三角形”來解決“其他圖形”（三角形、四邊形及其不規(guī)則圖形），解決習(xí)題的關(guān)鍵就是恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造直角三角形，從而積累“構(gòu)造圖形”和“習(xí)題學(xué)習(xí)”的基本經(jīng)驗，幫助學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).但是這種知識是否內(nèi)化？結(jié)構(gòu)是否牢固、開放呢？我們還要進(jìn)一步進(jìn)行教學(xué)推進(jìn).

階段4：習(xí)題的“層級發(fā)展”.

變式5：請同學(xué)們根據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗和生活經(jīng)驗編制一道習(xí)題并嘗試解決.

習(xí)題2：如圖10，若斜坡的坡角為45°，太陽光與水平地面的夾角為60°，經(jīng)測量，坡面影長為BD =[42]米，那么這棵大樹高約多少？

習(xí)題3：如圖11，若斜坡的坡角為45°，太陽光與水平地面的夾角為60°，經(jīng)測量，坡面部分影長為[42]米，地面部分影長為2米，那么這棵大樹高約多少？

習(xí)題4：如圖12，在四邊形ABCD中，∠B = ∠D =90°，∠A = 60°，BC = 4，CD = 2，求AB的長.

階段1到階段3的過程，實際上就是習(xí)題的“層級發(fā)展”，而階段4再一次開放地“層級發(fā)展”，給學(xué)生思維一次飛躍的機(jī)會，學(xué)生也給出了不一樣的精彩（習(xí)題2 ～ 4為學(xué)生當(dāng)場編制的部分習(xí)題）.通過習(xí)題的“層級發(fā)展”能夠形成放射狀問題鏈，極大地豐富學(xué)生的知識面，拓展學(xué)生的思維空間，使學(xué)生思維得以發(fā)散，增強(qiáng)思維的滲透性和變通性.

三、習(xí)題課設(shè)計的教學(xué)啟示

在課堂教學(xué)中，我們往往遵循著一般的基本原則，如直觀性教學(xué)原則、啟發(fā)性教學(xué)原則、鞏固性教學(xué)原則、量力性教學(xué)原則（可接受性原則）等.但單元教學(xué)習(xí)題課作為特殊課型，除了考量基本原則以外，通過上面的“示例”歸納，還可以提煉出以下幾項基本原則.

1. 整體性原則——宏觀架構(gòu)課堂

此處的整體性原則主要指兩方面，即數(shù)學(xué)內(nèi)容的整體性和教學(xué)過程的整體性.圖1呈現(xiàn)了知識的整體狀態(tài)，我們不能把它分割成一條條孤立的習(xí)題進(jìn)行教學(xué)，而應(yīng)當(dāng)特別注意各習(xí)題（知識）之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立知識框架要從關(guān)注一節(jié)課的教學(xué)到更大范圍（單元或?qū)W科）的教學(xué)，將碎片化的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行優(yōu)化統(tǒng)籌整合，這樣有助于學(xué)生從整體上把握教學(xué)內(nèi)容，確保知識結(jié)構(gòu)的完整性，建構(gòu)完整的知識體系.例如，在剛才的例子中，宏觀上架構(gòu)了兩條主線：明線——計算小樹的“身高”，暗線——學(xué)會構(gòu)造直角三角形，兩條主線相互交織，整體架構(gòu).

教學(xué)過程本身就是一個受目標(biāo)、內(nèi)容、方法等多種因素影響和制約的系統(tǒng).具體的就是，教師應(yīng)該在系統(tǒng)思想和方法下，從整體出發(fā)，分析、判斷并調(diào)控各個要素和相互關(guān)系.更確切地說，先進(jìn)行教材分析、內(nèi)容分析、學(xué)情分析，即解決“學(xué)什么”的問題;再根據(jù)前面的分析，結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)，制定具體的教學(xué)目標(biāo)，即解決“學(xué)到什么程度”的問題;最后選擇科學(xué)合理的方法和恰當(dāng)實用的素材制定行之有效的教學(xué)策略，即解決“怎樣學(xué)”的問題.例如，本節(jié)單元教學(xué)習(xí)題課的設(shè)計只是筆者個人所教班級的實踐與思考，如果“原版照抄”，那將會“水土不服”，我們必須根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程的整體性考量，最終達(dá)到教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式等協(xié)調(diào)統(tǒng)一的狀態(tài).

2. 結(jié)構(gòu)性原則——中觀建構(gòu)知識

布爾巴基學(xué)派曾指出，數(shù)學(xué)并非研究數(shù)量的，而是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué).當(dāng)然數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)分為兩種：數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu).結(jié)構(gòu)性原則就是指教學(xué)的全過程中始終有把教學(xué)材料組織成有序、有內(nèi)在邏輯、聯(lián)系緊密甚至深刻的體系，從而內(nèi)化為學(xué)生頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的意向.

從數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)來看. 首先，教學(xué)過程中要順著知識（習(xí)題）的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)發(fā)生;其次，在探究習(xí)題時要有結(jié)構(gòu)意識，看看習(xí)題的結(jié)構(gòu)是否同構(gòu)，比較異同;最后，總結(jié)提升的時候也要有結(jié)構(gòu)意識.例如，習(xí)題1，五個變式，學(xué)生編制習(xí)題總體上呈現(xiàn)一種層次性、關(guān)聯(lián)性的結(jié)構(gòu)特征，整個習(xí)題課的設(shè)計是成串、成套的，是簡約的多觸點、結(jié)構(gòu)化特征，也是具有“空間”結(jié)構(gòu)的，而不是“平面”結(jié)構(gòu)的簡單展現(xiàn).

從數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)來看，示例中抓住“斜坡上的小樹”這一情境，由淺入深、環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，讓學(xué)生不斷地抓住核心方法——構(gòu)造直角三角形，呈現(xiàn)的方法結(jié)構(gòu)就是以核心方法為中心，多個習(xí)題和變式呈現(xiàn)放射狀，這樣的設(shè)計（一法多用）可以凸顯幾何基本圖形思想方法，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的元認(rèn)知水平.

3. 關(guān)聯(lián)性原則——微觀精致內(nèi)容

關(guān)聯(lián)是為了找到知識的聯(lián)結(jié)，去除遮蔽，關(guān)聯(lián)不是簡單地用一種思維去替換另一種思維，而是讓思維能夠充分地從一個點到另一個點進(jìn)行連續(xù)的活動.圖1中的“有向線段”就是一種關(guān)聯(lián)，即“從哪里來”和“到哪里去”，具體表述為習(xí)題的多元表征、多種運(yùn)用、多種方法、多種知識綜合和“層級發(fā)展”等，當(dāng)然我們不僅僅充分重視這種關(guān)聯(lián)，還要注意習(xí)題的進(jìn)一步深化、變化和發(fā)展，注重數(shù)學(xué)內(nèi)部知識之間的關(guān)聯(lián)，形成知識的網(wǎng)絡(luò)體系.當(dāng)然這種關(guān)聯(lián)只是關(guān)聯(lián)性中的一種，還有其他兩種.例如，示例中創(chuàng)設(shè)情境自然生動，拉近了生活和數(shù)學(xué)之間的距離，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián);我們還可以拉近不同學(xué)科之間的距離，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的關(guān)聯(lián).總之，關(guān)聯(lián)性原則就是置知識于系統(tǒng)中，著眼于事物之間的聯(lián)系.

以上是個人有關(guān)習(xí)題課的內(nèi)涵、設(shè)計途徑和原則的思考與實踐，囿于筆者的個人水平，還需要一線教師在教學(xué)中反復(fù)摸索、努力探究、不斷總結(jié)，最終實現(xiàn)數(shù)學(xué)習(xí)題課的教學(xué)目的.

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