王周結(jié)，趙前進，戴浩波

(安徽理工大學 數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院，安徽 淮南 232001)

0 引 言

一個整數(shù)n稱為y-光滑的,如果它的最大素因子p(記為P+(n))滿足P+(n)≤y。在數(shù)論中,將一個整數(shù)分解為兩個或者多個由其素因子大小決定的部分往往是重要的。比如,張益唐[1]2014年完成了關于相鄰素數(shù)差的著名工作,光滑數(shù)在其中起了關鍵的作用。關于光滑數(shù)的性質(zhì)和應用等內(nèi)容可以參見文獻。[2-6]

若對于任何的素數(shù)d滿足d2不能整除n,則稱n是一個無平方因子數(shù)。無平方因子數(shù)也是數(shù)論中經(jīng)常研究的一類數(shù)。利用解析方法有很多關于無平方因子數(shù)研究,比如一元整值(或素變數(shù))多項式取無平方數(shù)個數(shù)的問題等。[7]本文主要利用M?bius變換的方法研究光滑數(shù)平移后取無平方因子數(shù)的個數(shù)問題。對于y≥exp{(logx)5/3+ε},事實上因為有很多好的估計[8],因此本文只考慮當y小的時候的情形。

設x,y是兩個正實數(shù),記

S(x,y):={n|n≤x,P+(n)≤y}

為如下整數(shù)的集合:從1到x的y-光滑數(shù)所組成的集合。

記

Ψ(x,y):=#S(x,y)

為S(x,y)這個集合中元素的個數(shù)。對于2≤y≤x,記α=α(x,y)∈[0,1]是如下方程的解

(1)

對于自然數(shù)m,記

(2)

本文主要結(jié)果是下面定理:

定理1 設c≥4是一個常數(shù),若時,有

#{n∈S(x,y):n+1是無平方因子數(shù)

1 一些基礎知識和記號

記φ(n)是通常的Euler函數(shù),ω(n)是自然數(shù)n的不同素因子的個數(shù)。在本文中,記號U=O(V)或者U?V是指存在常數(shù)c,使得|U|≤cV。

記

Ψ(x,y；a,q):=#{n∈S(x,y):n≡a(modq)}

Ψq(x,y):=#{n∈S(x,y):(n,q)=1}

首先，需要如下關于Ψm(x,y)的引理。

引理1[9]若(logx)2≤y≤x,P+(m)≤y,且則

其中，gm(α)由(2)式所表示的,而其次，還需要光滑數(shù)上Bombieri-Vinogradov類似的結(jié)論。

記

引理2[10]對于任意的ε>0,存在c,δ>0,對所有的x,y滿足(logx)c≤y≤x1/c,及對所有的A≥0,有

2 定理1的證明

在這一節(jié)中，證明定理1。

從初等數(shù)論中知道,對于任何自然數(shù)n,它可以唯一的表示為n=a2b,其中b是無平方因子數(shù)。因此自然數(shù)n是無平方因子數(shù)當且僅當a=1,由此可得

通過上述式子,可以把問題轉(zhuǎn)換為

(3)

通過后面計算可知∑1是主項,∑2是余項。

首先，由引理2可得(取a1=-1，a2=1)

下面，分析Ψd2(x,y)。若記

則根據(jù)Ψm(x,y)的定義,容易得到

Ψd2(x,y)=Ψd(x,y)=Ψdy(x,y)

其次，估計Ψd2(x,y)中的余項Edy(1+Edy)。當c≥4,由條件(logx)c≤y和引理1中Edy的定義,經(jīng)過簡單的代入,可得

因此

從而得到

下面估計∑2,事實上對于它的估計,只需要給出如下平凡的上界:

(5)

綜合(3)、(4)和(5),就證明了定理1。