徐忠霏 武漢大學經濟與管理學院

一、金融的數理化發(fā)展進程綜述

亞當·斯密的著作《國富論》標志著經濟學以一門獨立學科的姿態(tài)登上了學術的舞臺；而金融學作為經濟學的一個重要的組成部分，在經濟學的漫長發(fā)展過程中，也逐漸分離成為一門獨立的學科。如果說經濟學是一門研究由于資源的稀缺性而導致資源配置和利用問題的學科，那么金融學的研究對象則是將這個范圍聚焦于討論貨幣和信用為中心以及由此衍生出的相關金融中介（商業(yè)銀行、證券公司、保險公司等）與市場（貨幣市場、資本市場、衍生品市場等）。金融學在自身的不斷演變的過程中不斷與其他學科相結合，其中與數學的結合使金融學由定性描述的經驗分析走向定量描述的數量分析，并誕生了諸如數理金融學、金融工程學、金融計量經濟學等交叉學科，而同時金融學本身也在運用大量的數學模型和數學方法分析傳統(tǒng)金融學無法精確描述和解釋的問題。

金融理論的數理化開始于20 世紀初。在這個時期，金融理論逐漸不再完全依靠定性分析，開始使用一些數學方法和技巧來研究金融學問題。在這一時期，有以柯布-道格拉斯生產函數為開端的用函數和微積分方法來研究經濟與金融問題，促使了諸如效用、儲蓄、供求函數等的產生；偏微分方程的兩種推導過程也在這一時期被提出，這是后期研究期權定價時重要的維納過程的雛形；利率的證券價格彈性模型也在1938 年建立。

1952 年馬科維茨的博士論文《投資組合的選擇》是現代金融向數理化發(fā)展的第一個突破口?；谕顿Y組合理論和一般均衡理論的資本資產定價模型（CAPM）及其衍生的套利定價理論（APT），產生了現代意義上的較為科學的金融投資理論，被廣泛應用于投資實踐，如證券估值、資本資產評估、資本預算決策等。此后在1954 年阿羅和德布魯在論文《競爭經濟中均衡的存在性》、麥肯齊在論文《論格雷厄姆國際貿易模型及其他競爭經濟的均衡》中分別獨立地系統(tǒng)論證了現代一般均衡理論的存在性，即著名的阿羅-德布魯（Arrow-Debreu）一般均衡理論，被認為是現代金融學的理論來源之一。同一時期，1958 年莫迪利亞尼和米勒在《資本成本、公司財務和投資管理》中提出了M-M 理論，即證明了公司的資本結構（債權與股權之比）和市場價值不相干。該理論為研究公司金融里的資本結構問題提供了一個有用的起點和分析框架，首次在文獻中提出無套利原理，為后續(xù)權衡理論、米勒模型等的發(fā)展奠定了基礎。

60 到70 年代是數理金融理論逐漸豐富起來的時代。一方面，在1975 年，布朗森提出了資產組合平衡模型，放松了貨幣模型對資產替代性的假設，認為各種資產之間并不具備完全的可替代性，至少存在資產收益的差別；另一方面，B-S 期權定價模型作為現代經濟學中最重要的研究成果之一，為包括股票、證券、貨幣等在內的新興衍生品金融市場的各種以市價價格變動定價的衍生金融工具的合理定價奠定了基礎。

80 年代以來至今，金融學的數理化進程日臻成熟、成果不斷涌出。不僅僅是金融學者需要掌握豐富的數學知識，而且金融學也直接引進了大量從事數理統(tǒng)計、運籌學與控制論、甚至是物理建模和統(tǒng)計物理方面的學者。在這一階段，已有的理論體系進一步豐富和完善。各種新理論的出現都逐漸對各種假設條件的要求變得不那么苛刻了，這增強了新理論實用性和解釋能力。在期權定價和實物期權方面，基于B-S 模型及其衍生改進的二項式模型和蒙特卡洛模擬，市場在實踐中產生了大量估價技巧，并帶動了相關金融衍生品的大量出現和證券交易機制本身的蛻變。1986 年麥克唐納和西格爾提出了實物期權并在隨后得到了應用。在80 年代和90 年代里，利率現期結構的模型被大量提出，如CIR 模型、HJM 模型、BGM 模型等；到現在，一般投資銀行都雇有專門從事高級期限結構數學模型研究的專家，數學模型的廣泛運用大大提高了金融機構預測和決策的科學性。此外，在最優(yōu)消費投資組合、倒向隨機微分方程、金融計量方面都有很多研究成果出現。

二、現代金融理論中的經典數學模型

（一）資產組合理論

資本組合理論重點分析個體在不確定性的條件下如何支配金融資產，使財富得到最適當的投資，同時降低風險。馬科維茨在一系列既定假設前提下通過上述分析得出：風險控制是資產配置中的核心問題，分散化投資是能在各項資產的收益相關程度很小的條件下最大限度的降低風險水平。資產組合理論有一定的缺陷，即是實證分析的缺位，沒有具體衡量風險收益關系的標準。為了讓資產組合理論的思想更加直觀精確的表達，夏普等人引入了資本資產定價模型。

（二）資本資產定價模型

資本資產定價模型是在一系列嚴格的前提假設下，基于資產組合理論，對資產組合在收益和風險的權衡中形成的均衡價格的最優(yōu)求解，并分析和預測資產收益和風險的關系。該理論導出了界定風險與回報率之間的關系式，并引入了β 系數（某種資產組合的收益與市場收益的協(xié)方差比整個市場收益的方差）來衡量表達式中該資產或資產組合的系統(tǒng)性風險，這個表達式就是著名的證券市場線（SML）。該模型最重要的工作就是進一步量化了無法測量的風險這一指標。CAPM 在實際運用中存在計算收益風險所需計算量非常大和模型中的證券市場線里影響收益和風險的因素過于簡略等兩個主要問題。為了解決上述問題，因素模型應運而生。

（三）因素模型與套利定價理論

APT 的研究的內容與CAPM 一脈相承，不同的是前者在用收益率作為因素的同時還引入了其他因素共同解釋收益和風險的關系，建立在收益率對各種因素變動的反應程度這一條件下。該模型引入多因素來解釋收益率的變動，并且放寬了假設條件，所以可以看作是廣義的CAPM 模型。

（四）期權定價模型

期權是一種權利，就是買方在到期日之前可以以執(zhí)行價格（期權合約規(guī)定的價格標準），選擇或拒絕買進或賣出特定商品的一種權利。期權分為歐式和美式，前者必須在到期日選擇執(zhí)行期權，而后者可于到期日前任何時候執(zhí)行。期權定價模型（B-S 模型）主要聚焦于歐式期權的定價問題。該模型有一個重要的理論基礎，即股票價格服從幾何布朗運動。而伊藤定理認為，布朗運動是最基本的一般擴散過程，所以可以將衍生性金融產品價格表達成已知標的資產價格的隨機過程。在無套利機會、無交易費用等一系列假設條件下通過偏微分方程相關理論，可以得出一個不分股利的歐式看漲期權的定價公式。借由歐式無股利看漲和看跌期權的平價關系可得相同條件下歐式看跌期權的定價公式。在應用此模型時很多情況下需要求解復雜的偏微分方程，而由于期權形式的多樣性和復雜性，這有時候是一項煩瑣甚至是無法完成的工作。鑒于此，期權價格的近似求解方法受到更多關注。

（五）二項式期權定價模型

二項式期權定價模型是為了簡化B-S模型在一些情況下復雜的形式和計算而近似求解期權價格的方法。該模型概念推倒簡明、計算方式簡單、適用情型廣泛，但是對于實際的期權價格評估需要大量計算機仿真模擬計算過程，復雜量大，并且得到的結果沒有B-S 定價模型精確。

三、現代數理金融理論的發(fā)展趨勢與展望

金融學在數學化快速發(fā)展的過程中逐漸暴露出了很多問題，招致了其他學科的挑戰(zhàn)，為了修正和彌補自身存在的問題，數理金融引入了以下理論和方法：

（一）非線性方法

非線性方法用來描述由于假設條件放寬后的一般有效市場，即分形市場。這種已經被運用在流體力學里的理論可以把沒有規(guī)律的運動定量化，借以找到運動規(guī)律。這種運動可以被近似的等價于證券市場等金融市場上的一些無規(guī)律波動，通過成熟的非線性方法可以在數量級上描述金融價格的一般均衡。

（二）現代經濟概率統(tǒng)計理論

概率論與數理統(tǒng)計一直是金融學研究的一種最基本的方法。圍繞著這些研究對象所建立的金融計量經濟學模型本質上就是用概率統(tǒng)計來解決實際經濟問題。在投資組合理論的基礎上，一些描述收益與風險之間關系更為確切的數學方法被引入來修正原有模型：以協(xié)方差和方差間的波動為基礎的ARCH 模型和利用似然函數來估計波動的SV 模型。這些都在現代金融計量中得到重要的應用。此外，現代概率論和運籌學結合中被廣泛運用在其他領域里的最優(yōu)停時原理也被金融學所吸納。在金融決策（比如在交易成本一定的債券投資、風險控制等），一些數理學家運用這種方法取得了意想不到的結果，他們旨在讓復雜傳統(tǒng)的金融模型在概率論的處理下得以簡化，得到更廣闊的應用。

（三）現代控制理論

現代控制理論中的脈沖是一種描述如同脈搏般波動的沖擊現象，如電壓或者電流。而隨著金融研究的不斷深入，學者們發(fā)現諸如股票、基金、期貨期權等證券交易產品的波動圖并非如傳統(tǒng)理論里說的那樣是連續(xù)有界的，而大部分情況是離散間斷的。因此脈沖的離散信號模型在某種程度上更符合金融市場上交易的真實變動情況。此外，隨機最優(yōu)等新興的控制學理論也被吸納到了消費、投資、經濟增長等領域的研究之中。

（四）人工智能技術

把以退火遺傳、BP 神經網絡、專家系統(tǒng)等一系列智能型新算法運用在傳統(tǒng)意義上的數學方法上，可以更有效且準確的進行金融風控和金融決策，并且在理論研究中開辟了全新的課題，是金融學與其他學科的研究方法的重要結合范例。

（五）微分對策理論

B-S 模型導出期權定價公式的過程中用到了偏微分方程相關方法，其前提條件是假定股票價格波動服從維納過程。但是隨著金融市場的發(fā)展，越來越多的期權被觀測到并不服從這一傳統(tǒng)意義上的分布。因此有學者引入了微分對策原理，把博弈論與微分學結合，能夠使這一前提得到很大程度的稀釋同時又簡化了B-S 模型中導出定價公式的傳統(tǒng)煩瑣計算。這些使得其能夠解釋更多的現實期權問題。

（六）鞅理論

鞅理論也是用于簡化期權等證券價格運算的重要新工具。前文中提到股票價格的波動服從維納過程，即布朗運動分布。此過程可以近似于鞅隨機過程。因此運用鞅測度的相關方法可以得出一個相對有規(guī)律可循的計算模式；同時這樣的處理方法避免了由于原來過于嚴格的假設前提所喪失的模型適用性。這些以鞅理論為基礎的期權等證券定價理論逐漸流行于當今的金融工程研究中。