胡曉煒，朱慶生

(1. 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，安徽 合肥 230026 ；2. 中國科學(xué)院南京天文儀器有限公司，江蘇 南京 210042)

在天文望遠(yuǎn)鏡的指向誤差修正方面，文[1]建立了機架模型，經(jīng)修正后的指向精度優(yōu)于5″；文[2]對靜態(tài)指向模型的基本參數(shù)進(jìn)行了討論，通過逐步回歸分析，確定了碼盤零點差、度盤偏心誤差等誤差源作為顯著回歸因子；文[3]對比了球諧函數(shù)模型和水平式望遠(yuǎn)鏡指向模型，并通過水平式望遠(yuǎn)鏡觀測驗證了模型的有效性。在射電望遠(yuǎn)鏡的指向性能改進(jìn)上，文[4]通過修正軌道高差造成的指向偏差，提高了天線整體的指向精度。本文通過軟件方式修正指向誤差，對機架模型誤差數(shù)據(jù)的獲取及系數(shù)求解做了說明，并通過殘差分析的方法篩選指向誤差數(shù)據(jù)，計算均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)以驗證模型對優(yōu)化后數(shù)據(jù)的內(nèi)符合精度，排除找星錯誤等誤操作對修正結(jié)果的影響，提高擬合精度。在此基礎(chǔ)上分析加密測量點數(shù)對指向修正精度的影響，并說明了分次獲取的誤差數(shù)據(jù)，殘差檢驗后可合并處理。使用本文方法對1 m人造衛(wèi)星激光測距望遠(yuǎn)鏡和地基激光發(fā)射望遠(yuǎn)鏡獲取的指向誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，修正精度均得到有效提高。

1 指向誤差影響因素分析

天文望遠(yuǎn)鏡在設(shè)計、加工、制造、裝配等環(huán)節(jié)，由于多種因素引入指向誤差，導(dǎo)致望遠(yuǎn)鏡主光軸顯示到達(dá)的位置與目標(biāo)星實際位置存在偏差，在跟蹤過程中不能準(zhǔn)確指向衛(wèi)星的預(yù)報位置。這些因素主要包括機架的制造與安裝誤差、軸系傾斜、軸間不正交、重力變形、鏡筒與光學(xué)系統(tǒng)的彎沉[5]、光柵編碼器誤差、視準(zhǔn)軸誤差等。指向誤差一般用均方根誤差表示。

指向誤差的修正可采用硬件修正和軟件修正兩種方法。硬件修正指在機械和光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計加工、裝調(diào)過程中，采用軸系校準(zhǔn)、視軸校準(zhǔn)、光柵編碼器測角組件校準(zhǔn)等方法減小誤差。但望遠(yuǎn)鏡裝調(diào)結(jié)束后難以通過硬件修正減小誤差，且隨著運動部件的磨損，硬件修正效果大打折扣，修正效果有限且費用較高。軟件修正是提取影響望遠(yuǎn)鏡指向誤差的各個因素，利用系統(tǒng)誤差重復(fù)性的特征建立數(shù)學(xué)模型并通過計算機軟件修正。

通過對望遠(yuǎn)鏡機械系統(tǒng)的分析可以估計不加修正前的誤差量，這部分誤差為系統(tǒng)誤差。就地平式望遠(yuǎn)鏡而言，指向誤差中系統(tǒng)誤差較大，隨機誤差較小，由于系統(tǒng)誤差與望遠(yuǎn)鏡軸系的角度有關(guān)，可以建立高度誤差ΔH和方位誤差ΔA的擬合模型。

望遠(yuǎn)鏡在指向與跟蹤前需要建立指向誤差模型，通過回歸分析確定擬合參數(shù)。在運行時，計算機實時計算望遠(yuǎn)鏡在當(dāng)前指向處的系統(tǒng)誤差估計值，并對光柵編碼器反饋的位置進(jìn)行修正，可消除指向誤差中的系統(tǒng)誤差，大幅提高望遠(yuǎn)鏡的指向精度和盲測的跟蹤精度，美國的SLR2000經(jīng)模型修正后指向誤差可小于1″。

望遠(yuǎn)鏡指向誤差修正過程包括：(1)恒星選??；(2)獲取誤差數(shù)據(jù)；(3)建立指向誤差模型；(4)計算模型參數(shù)；(5)驗證模型符合度；(6)在望遠(yuǎn)鏡控制程序中導(dǎo)入修正系數(shù)并實時修正。

2 常用指向誤差模型

2.1 球諧函數(shù)模型

采用球諧函數(shù)多項式對地基望遠(yuǎn)鏡指向誤差進(jìn)行擬合的誤差模型稱為球諧函數(shù)模型，它可應(yīng)用于任何機架結(jié)構(gòu)的望遠(yuǎn)鏡，通過對基準(zhǔn)面為球面誤差進(jìn)行擬合，方法簡單，可擬合各種誤差，對地平式望遠(yuǎn)鏡和赤道式望遠(yuǎn)鏡能達(dá)到較高的內(nèi)符合精度。但模型參數(shù)較多且沒有實際物理意義，參數(shù)之間相關(guān)性大，模型不穩(wěn)定[6]，重新測得數(shù)據(jù)后，求出的模型參數(shù)變化大。

2.2 基本參數(shù)模型

對望遠(yuǎn)鏡的靜態(tài)指向誤差及基本參數(shù)逐步回歸分析以確定顯著回歸因子。由于導(dǎo)致指向誤差的因素較多且可能存在相關(guān)性，通過逐步回歸分析可將誤差源中的不顯著因子剔除，確保模型中的參數(shù)項必須存在且不可替代。分析思路是將誤差源逐個引入，每引入一個變量，對模型中的原有變量逐個檢驗，將不顯著的因子刪除，重復(fù)該步驟，直至添加所有誤差源。此時，回歸模型中的所有誤差源對修正系數(shù)都是顯著的，因為經(jīng)過逐步回歸分析，參數(shù)項較少且參數(shù)之間相關(guān)性小，模型較為穩(wěn)定[7]。但需根據(jù)望遠(yuǎn)鏡的機架結(jié)構(gòu)引入其他參數(shù)，設(shè)計不同的模型并驗證殘差，過程復(fù)雜，拓展性差。

2.3 機架模型

機架模型也稱為轉(zhuǎn)臺模型，常用于地平式望遠(yuǎn)鏡，通過對望遠(yuǎn)鏡機架結(jié)構(gòu)分析建立模型。全模型共有24項參數(shù)，通過對參數(shù)間的相關(guān)性回歸分析及試驗，保留19項參數(shù)，其中方位軸參數(shù)有11項，高度軸參數(shù)有10項(方位軸南北向傾斜和方位軸東西向傾斜為共同參數(shù))，這些參數(shù)均有實際的物理意義，表1和表2分別為機架模型方位軸和高度軸各項參數(shù)。

機架模型的表達(dá)式為

ΔA=a1-a2cosAtanH-a3sinAtanH+a4secH-a5tanH+a6sinA+a7cosA+a8sin2A+

a9cos2A+a10sin2AsecH+a11cos2AsecH，

(1)

ΔH=b1+b2sinA-b3cosA+b4cotH+b5sinA+b6cosA+b7HsinA+b8HcosA+b9sin2A+

b10cos2A.

(2)

機架模型是對基本參數(shù)模型的擴(kuò)展，具有更高的精度，符合度優(yōu)于基本參數(shù)模型。由于機架模型加入了更多的參數(shù)，增大了參數(shù)間的相關(guān)性，因此沒有基本參數(shù)模型穩(wěn)定[8]。

3 誤差數(shù)據(jù)獲取與機架模型系數(shù)求解

望遠(yuǎn)鏡指向模型修正分為零點校正、指向誤差測定和模型系數(shù)求解3個模塊，將修正系數(shù)載入控制程序，在恒星和衛(wèi)星的指向與跟蹤中實時修正。本文基于地基激光發(fā)射望遠(yuǎn)鏡，選用機架模型修正指向誤差。

3.1 測定碼盤零點偏差

通過FK5星表或星圖軟件使望遠(yuǎn)鏡指向任意一顆恒星(避免指向雙星系統(tǒng)，條件允許時選北極星可便于跟蹤，避免引入更多誤差)，手動將該星調(diào)到CCD中心，用碼盤測得的方位/高度值減去該星的理論方位/高度值，即為碼盤的零點偏差。通過這一步驟，修正碼盤零點和坐標(biāo)系零點之間的偏差。

表2 機架修正模型參數(shù)表(高度軸)

3.2 劃分天區(qū)，獲取數(shù)據(jù)

在晴夜中，根據(jù)擬獲取的測試數(shù)據(jù)組數(shù)均勻劃分天區(qū)，在每個分區(qū)內(nèi)選定一顆亮度適中的恒星(太亮容易曝光過度，使獲取的誤差數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確，太暗可能與周圍的恒星混淆)。此時有兩種方法可以獲得指向誤差數(shù)據(jù)：(1)根據(jù)該星偏離CCD中心的脫靶量和像素的空間分辨率，計算望遠(yuǎn)鏡在該空間指向處的指向誤差；(2)手動將目標(biāo)星調(diào)整到相機成像中心，該方法能避免方位軸像素分辨率隨高度角變化帶來的影響，有效提高測量精度。通過測量星點在CCD上偏移一定像素對應(yīng)的望遠(yuǎn)鏡轉(zhuǎn)角，可以測定像素分辨率。經(jīng)試驗，在高度角為0°時，方位像素分辨率見表3。高度角H處，方位的像素分辨率為(0.466cosH)″。因此，采用第2種方法記錄誤差數(shù)據(jù)(方位、高度、方位誤差、高度誤差)。試驗共測得66組數(shù)據(jù)。

3.3 求解指向模型系數(shù)

利用MATLAB對獲取的誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，計算修正系數(shù)。誤差數(shù)據(jù)包含4項，分別為方位角AZi、高度角Hi、方位偏差ΔAZi、高度偏差ΔHi(方位、高度以弧度表示，偏差數(shù)據(jù)以角度表示，共測得N組數(shù)據(jù)，i=1, 2, …,N)，將其導(dǎo)入MATLAB中，構(gòu)造4組一維列向量，代入機架模型的方位函數(shù)與高度函數(shù)，得到修正系數(shù)矩陣A，通過最小二乘法求解，可求得修正系數(shù)向量B。推導(dǎo)過程如下。

表3 CCD像素分辨率測量表Table 3 CCD pixel resolution measurement table

X=[1 0-cos(AZ).×tan(H)-sin(AZ).×tan(H)sec(H)-tan(H)sin(AZ)cos(AZ) 0 sin

(2.×AZ) cos(2.×AZ) 0 0 0 0 sin(2.×AZ).×sec(H)cos(2.×AZ).×sec(H) 0 0] ，

(3)

Y=[0 1 sin(AZ)-cos(AZ) 0 0 0 0 cot(H) 0 0 sin(AZ)cos(AZ)H.×sin(AZ)H.×cos

(AZ) 0 0 sin(2.×AZ)cos(2.×AZ)].

(4)

采用多項式曲線擬合，擬合曲線方程為19階多項式。測試數(shù)據(jù)共66組，系數(shù)矩陣A為132 × 19，誤差矩陣E為132 × 1，

(5)

用矩陣形式可以表示為

E=AB，

(6)

B為待求解的修正系數(shù)向量[b19,b18, …,b1]T，在方程兩邊左乘AT，得到

ATE=ATAB，

(7)

在(7)式兩邊同乘ATA的逆矩陣，有

B=(ATA)-1ATE，

(8)

上式右半部分各項均已知，可求解得到修正系數(shù)向量B。

在望遠(yuǎn)鏡的基座、重力分布未發(fā)生較大變化的情況下，一次誤差測定可長期使用。

4 誤差數(shù)據(jù)分析及模型符合度驗證

在指向模型數(shù)據(jù)處理的過程中，修正系數(shù)的擬合精度受單次觀測統(tǒng)計量的影響。當(dāng)出現(xiàn)目標(biāo)星識別錯誤、基座振動等情況時，測量的誤差值會大幅偏離真實誤差值。異常的觀測數(shù)據(jù)在圖形上呈現(xiàn)孤立型，偏離由大多數(shù)數(shù)據(jù)組成的分布趨勢，需要剔除這些數(shù)據(jù)，減小對擬合精度的影響。

通過殘差分析的方法剔除偏離大的數(shù)據(jù)，從而保證實驗數(shù)據(jù)的精確度。從上節(jié)的求解模型中提取方位誤差并單獨求解，由(1)式可知，方位修正系數(shù)共11項，若要求解這11個系數(shù)，最少需要11組方程。試驗共獲取66組數(shù)據(jù)，可構(gòu)建66組方程，相應(yīng)地有66個殘差。本文中，第i組數(shù)據(jù)的殘差ei

為該組的預(yù)測值y^i與觀測值yi之差，即ei=y^i-yi。代入上節(jié)求解模型，有

e=3 600[(XB)-ΔAZ] ，

(9)

(9)式殘差的單位為角秒(″)，取殘差95%置信區(qū)間，可得方位殘差圖，以此估計預(yù)測的誤差與實際誤差是否一致，從而驗證所建模型的符合度，方位殘差圖如圖1，(a)為95%置信區(qū)間，(b)為99%置信區(qū)間。圖1的橫坐標(biāo)表示測試文件中數(shù)據(jù)的序號，縱坐標(biāo)代表殘差，即擬合值與實際測量值之間的差值，單位為″。從圖1可以看出，殘差隨機分布在0點兩側(cè)，若殘差的置信區(qū)間與0點相交，說明獲取的指向誤差數(shù)據(jù)能夠較好地符合模型，若置信區(qū)間偏離0點，該組數(shù)據(jù)可視為異常數(shù)據(jù)，需要剔除。以方位殘差95%置信區(qū)間為例，66組測試數(shù)據(jù)中有4組異常，需要剔除以提高模型的精度。

圖1 方位殘差分析圖Fig.1 Azimuth residual analysis chart

為了驗證指向模型對偏差數(shù)據(jù)的修正是否具有良好的精確度，本文采用均方誤差(Mean-Square Error, MSE)作為評價指標(biāo)，該指標(biāo)可評價數(shù)據(jù)的變化程度，均方誤差越小，說明模型描述數(shù)據(jù)越準(zhǔn)確。均方誤差表達(dá)式為

(10)

為了在數(shù)量級上更直觀，可對均方誤差開方，即均方根誤差

(11)

以方位的指向誤差為例，分別計算在不同組數(shù)下的均方根誤差，如表4。

由于擬合方位誤差需要確定11個系數(shù)，故最少需要11組測試數(shù)據(jù)。從表4可以看出，在一定范圍內(nèi)，增加測試組數(shù)能有效提高模型的符合度。當(dāng)測試組數(shù)超過20組時，擬合數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度反而隨測試組數(shù)的增加而降低。因此，不經(jīng)處理地增加測試組數(shù)并不能使擬合精度得到優(yōu)化。添加新的誤差數(shù)據(jù)后須經(jīng)殘差分析，剔除偏離較大的值才能降低擬合誤差。

表4 不同數(shù)量測試組下計算的均方根誤差(方位角)

在已獲取指向誤差數(shù)據(jù)的情況下，可通過殘差分析，將殘差95%置信區(qū)間與0點不相交的數(shù)據(jù)依次剔除，如圖2，(a)為66組數(shù)據(jù)，(b)為62組數(shù)據(jù)，(c)為58組數(shù)據(jù)，(d)為54組數(shù)據(jù)，均取95%置信區(qū)間。計算剔除殘差偏離數(shù)據(jù)后的均方根誤差如表5、表6。

表5 剔除殘差偏離數(shù)據(jù)后的均方根誤差(方位角)

表6 剔除殘差偏離數(shù)據(jù)后的均方根誤差(高度角)

圖2 剔除部分偏離較大數(shù)據(jù)后的殘差分析圖(方位角)Fig.2 Residual analysis chart after removing some value with large deviation (azimuth)

由(2)式可知，高度修正系數(shù)共有10項，故擬合高度誤差至少需要10組數(shù)據(jù)。同理，對高度方向做殘差分析，圖3為殘差分布直方圖，橫坐標(biāo)表示殘差，縱坐標(biāo)表示某一殘差范圍的數(shù)據(jù)組數(shù)，由圖3可以看出，高度殘差近似服從正態(tài)分布。剔除部分偏離較大數(shù)據(jù)后的殘差分析見圖4，(a)為66組數(shù)據(jù)，(b)為62組數(shù)據(jù)，(c)為58組數(shù)據(jù)，(d)為54組數(shù)據(jù)，均取95%置信區(qū)間。

我們使用烏魯木齊的地基激光發(fā)射望遠(yuǎn)鏡做試驗，在0°～360°范圍內(nèi)選擇60顆恒星，測量指向誤差數(shù)據(jù)(恒星指向數(shù)據(jù)的方位-高度分布如圖5)，刪除殘差偏離較大的數(shù)據(jù)點后，兩軸均方根誤差如表7、表8，相應(yīng)殘差分析圖如圖6、圖7，(a)為60組數(shù)據(jù)，(b)為56組數(shù)據(jù)。

圖3 高度角殘差數(shù)據(jù)分布Fig.3 Height residual data distribution

圖4 剔除部分偏離較大數(shù)據(jù)后的殘差分析圖(高度角)Fig.4 Residual analysis chart after removing some value with large deviation (height)

表9為應(yīng)用機架模型對位于烏魯木齊的地基激光發(fā)射望遠(yuǎn)鏡計算的兩軸指向誤差修正系數(shù)。第1組系數(shù)由原始的恒星指向數(shù)據(jù)計算得出(共60個數(shù)據(jù)點)，兩軸誤差均方值分別為9.46″和18.47″。第2組系數(shù)由剔除部分殘差偏離較大的指向數(shù)據(jù)計算得出(共56個數(shù)據(jù)點)，兩軸誤差均方值分別為7.79″和11.39″。

試驗獲取了1 m人造衛(wèi)星激光測距望遠(yuǎn)鏡、地基激光發(fā)射望遠(yuǎn)鏡的多組指向誤差數(shù)據(jù)，通過計算分析得出結(jié)論：剔除殘差偏離較大的數(shù)據(jù)后的測試組能夠有效提高指向修正數(shù)據(jù)的擬合精度。

在外界環(huán)境未發(fā)生明顯變化的前提下，指向誤差數(shù)據(jù)可分次獲取(可將分批獲取的數(shù)據(jù)合并，使用殘差圖分析，若殘差集中在95%置信區(qū)間內(nèi)且未出現(xiàn)斷層，可判定外部環(huán)境未發(fā)生明顯變化)，添加新的測試數(shù)據(jù)時，要保證添加后測試組的均方根誤差小于原有測試組的均方根誤差，才能提高指向模型對誤差數(shù)據(jù)描述的準(zhǔn)確度。

圖5 恒星指向數(shù)據(jù)的方位-高度坐標(biāo)分布圖Fig.5 A-O-E coordinate distribution of star pointing data

表7 剔除殘差偏離數(shù)據(jù)后的均方根誤差(方位角)

表8 剔除殘差偏離數(shù)據(jù)后的均方根誤差(高度角)

圖6 剔除部分偏離較大數(shù)據(jù)后的殘差分析圖(方位角)Fig.6 Residual analysis chart after removing some value with large deviation (azimuth)

圖7 剔除部分偏離較大數(shù)據(jù)后的殘差分析圖(高度角)Fig.7 Residual analysis chart after removing some value with large deviation (height)

通過多元線性回歸檢驗機架指向修正模型對偏差數(shù)據(jù)擬合的精確度，如表10，R2為決定系數(shù)，其值越大，擬合程度越高。由表10可以看出，原始的66組測試數(shù)據(jù)擬合優(yōu)度超過99%，誤差擬合精度非常好。通過殘差分析篩選數(shù)據(jù)后，擬合優(yōu)度得到進(jìn)一步提高。同樣也可通過F檢驗的P值驗證指向模型的有效性，當(dāng)P< 0.001時，說明模型有效，由表10可看出，對于所列的測試組，F(xiàn)檢驗的P值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于0.001，說明指向模型能夠很好地擬合偏差數(shù)據(jù)。

表9 應(yīng)用機架模型計算的剔除殘差偏離較大數(shù)據(jù)前后的修正系數(shù)對比

表10 機架模型檢驗表Table 10 Frame model inspection form

5 結(jié) 論

本文通過以上的試驗與分析得出如下結(jié)論：

(1)對使用機架模型獲取的指向誤差數(shù)據(jù)，通過殘差分析的方法剔除部分殘差偏離較大的數(shù)據(jù)，能夠有效提高指向修正精度。但隨著數(shù)據(jù)組的不斷優(yōu)化，精度提高的幅度逐步減小。

(2)指向誤差數(shù)據(jù)可分次獲取，增加新的測試數(shù)據(jù)后，可使用殘差圖判定外部環(huán)境有無明顯變化。若增加數(shù)據(jù)后，測試組的均方根誤差小于原有測試組的均方根誤差，能夠提高修正精度。