王金升，聶嘉興，潘敏凱，劉宇航，韓健

地鐵典型無砟軌道的薄板建模適用性研究

王金升1，聶嘉興1，潘敏凱1，劉宇航1，韓健*,2

（1.西南交通大學(xué) 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031；2.西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610031）

基于薄板理論（Kirchhoff-Love Plate Theory）的板式軌道建模，具有物理概念清晰和計算高效的特點，被廣泛運用于地鐵典型無砟軌道的計算分析中，但其適用性不甚明確。為此，本文分別基于薄板理論和有限元方法，建立了用于地鐵典型無砟軌道的振動聲輻射預(yù)測的薄板模型和實體模型，對比分析了薄板建模對鋼軌、軌道板和路基的聲振響應(yīng)特性的影響，明確了對不同響應(yīng)結(jié)果的影響和頻率適用范圍。進(jìn)而對最關(guān)鍵的軌道板厚寬比進(jìn)行了參數(shù)調(diào)查，量化了不同聲振計算下的薄板建模適用的厚寬比取值。本文相關(guān)研究，可為基于薄板理論建立地鐵典型無砟軌道模型的適用性提供參考和依據(jù)。

薄板理論；典型無砟軌道；動力響應(yīng)；高頻振動

近年來，隨著我國城市經(jīng)濟(jì)的高速發(fā)展和城市現(xiàn)代化進(jìn)程的不斷加快，城市軌道交通尤其是地鐵交通的建設(shè)發(fā)展迅速，地鐵路網(wǎng)逐漸完善。由于板式軌道易于建設(shè)、線路平順性高、可顯著減少線路的維修工作量與全生命周期成本低等特點，地鐵典型無砟軌道廣泛運用在地鐵系統(tǒng)中，其中不乏如隔振性能良好、板厚較大且支承剛度較低的鋼彈簧浮置板軌道，與CA砂漿等支承的板厚較小的軌道板系統(tǒng)[1]。

由于板式軌道的廣泛運用，國內(nèi)學(xué)者對板式軌道系統(tǒng)中的軌道板進(jìn)行了細(xì)致的研究。陳鵬[2]在對板式軌道動力學(xué)特性的研究中，分析了采用不同單元建立軌道板靜力學(xué)模型的異同與適用范圍。李亞光等[3]以全實體有限元法為基準(zhǔn)，對比了兩種相對簡單的有限元模型與模態(tài)疊加法分析CA砂漿支承下高速鐵路軌道板振動特性的計算結(jié)果。圣小珍等[4]在對高速鐵路板式軌道高頻振動特性進(jìn)行研究時，運用薄板模型對軌道板在的聲振特性進(jìn)行了分析。

可以看出，目前對軌道板的研究中，振動特性的靜力學(xué)分析較為集中，并且在動力學(xué)分析中，分析頻率通常較低，對分析頻率較高時不同幾何尺寸的薄板模型使用下軌道板與軌道系統(tǒng)聲振特性預(yù)測的準(zhǔn)確程度研究較少。

由于地鐵典型無砟軌道中預(yù)制混凝土板的幾何尺寸變化范圍較大。設(shè)計初期對軌道板模型選擇不當(dāng)，產(chǎn)生較大的計算誤差將導(dǎo)致輪軌系統(tǒng)的振動與噪聲問題，亦可導(dǎo)致鋼軌波磨現(xiàn)象的出現(xiàn)對運行車輛造負(fù)面影響[5]。對于不同的研究目的，薄板理論雖具有概念清晰與計算效率高的優(yōu)勢，但目前量化的適用性研究缺乏，因此需要對薄板模型針對不同問題時響應(yīng)的敏感程度，分析頻率適用范圍與厚寬比適用范圍展開相關(guān)研究。

為探究不同幾何尺寸與不同分析目標(biāo)（如軌道板振動聲輻射、鋼軌響應(yīng)、路基振動響應(yīng)）應(yīng)用薄板模型的合理性，本文將建立軌道板的薄板模型與實體模型。分析板件的模態(tài)振型，利用模態(tài)疊加法求取板的頻響函數(shù)，將所得軌道板響應(yīng)帶入軌道模型中求取不同分析目標(biāo)的響應(yīng)。并以實體模型的仿真結(jié)果為基準(zhǔn)，對比分析薄板模型在厚度與寬度比值不同的情況下對軌道板及軌道系統(tǒng)聲振特性的準(zhǔn)確性影響。

1 軌道模型建立

根據(jù)地鐵典型無砟軌道結(jié)構(gòu)的周期性特征，假設(shè)軌道結(jié)構(gòu)是以長度為周期的無限長結(jié)構(gòu)，一個周期的軌道結(jié)構(gòu)如圖1所示，即沿鋼軌方向每經(jīng)過距離，相同的軌道結(jié)構(gòu)就重復(fù)出現(xiàn)一次。

圖1 軌道模型結(jié)構(gòu)示意圖

1.1 鋼軌建模

在鋼軌截面位置處，時刻的振動可以由一個自由度的向量表示，即：

式中：q(,)為截面處的第個廣義位移，它可以根據(jù)鋼軌模型的需要被定義為位移，轉(zhuǎn)角和其他形式的相對形變。

假設(shè)鋼軌在沿鋼軌方向是均質(zhì)的，鋼軌與扣件系統(tǒng)的耦合通過鋼軌所受的外力表示，因此鋼軌的振動的控制方程[6]可以表示為：

式中：、0、2為×階對稱矩陣；1為反對稱矩陣；(,)為廣義力，由輪軌相互作用力與扣件支承產(chǎn)生的力構(gòu)成。

軌道板對軌道系統(tǒng)的影響體現(xiàn)在式（2）的廣義力中，由此可見，軌道板的建模會對軌道系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)特性的預(yù)測分析產(chǎn)生直接影響。

1.2 軌道板建模

根據(jù)軌道板的相關(guān)設(shè)計數(shù)據(jù)，文中將軌道板結(jié)構(gòu)簡化成底部有彈簧支承的矩形板，彈性支承的剛度則按照實際板下支承剛度取得。分別建立薄板模型與實體模型并求取軌道板的模態(tài)。通過模態(tài)疊加法對所得的軌道板模型振型進(jìn)行疊加，求取軌道板的垂向頻響函數(shù)[7]為：

式中：為模態(tài)總數(shù)，本文中第階固有頻率大于五倍最大分析頻率[8]；W為板的第階陣型；（x,y）為激勵點坐標(biāo)；（x,y）為響應(yīng)點坐標(biāo)；ω為軌道板的第階固有頻率；為頻率；ξ為第階模態(tài)的固有頻率。

實體模型的建立參考文獻(xiàn)[3]中提出的建模方法，確保彈簧阻尼單元的剛度與阻尼參數(shù)與實際情況下一致。當(dāng)采用實體單元對軌道板進(jìn)行建模時，如果軌道板底部僅考慮垂向剛度，會對軌道板頻響特性產(chǎn)生較明顯影響。圖2給出了軌道板底部支承水平剛度較低時考慮和忽略（約束）水平支承剛度對軌道板響應(yīng)的計算結(jié)果?？梢?，是否考慮軌道板底部支承的水平剛度，對軌道板頻響的影響較為明顯，因此軌道板建模需考慮水平支承剛度影響。

圖2 水平支承剛度對軌道板頻響特性影響

實體軌道板建模中，通過在軌道板模型底面各節(jié)點增加水平方向彈簧的方式對軌道板底面進(jìn)行約束，以體現(xiàn)支承水平剛度特性。軌道板有限元網(wǎng)格底部節(jié)點約束方式如圖3所示。

圖3 考慮支承水平剛度的軌道板模型

當(dāng)采用滿足Kirchhoff-Love假設(shè)的薄板理論對軌道板模型建模時，軌道板簡化為Winkler地基上的四邊自由矩形薄板，其控制方程為：

式中：w為軌道板垂向位移，m；為軌道板抗彎剛度，N·m；為簡諧激勵力幅值，N。

2 薄板建模的影響分析

針對典型地鐵典型無砟軌道，分別通過薄板理論和實體有限元法對軌道結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，參數(shù)如表1所示。將通過兩種建模方法對應(yīng)的軌道板振動響應(yīng)、聲輻射特性和鋼軌振動響應(yīng)等的差異對比來量化分析薄板建模的適用性。

2.1 軌道板振動響應(yīng)

本文首先通過對建立的薄板模型與實體模型進(jìn)行模態(tài)分析，并通過模態(tài)疊加計算得到鋼軌的頻響函數(shù)，計算結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯觯“迥Ｐ陀嬎闼密壍腊宓恼駝宇l率響應(yīng)

在低于軌道板第一階模態(tài)頻率二倍的范圍內(nèi)較為準(zhǔn)確，但在高于該頻率時誤差較大，如果關(guān)注軌道板振動頻率較高，則不應(yīng)使用薄板模型。在同樣的支承剛度下，板厚越厚，軌道板質(zhì)量越大，對應(yīng)軌道板的第一階模態(tài)頻率便越低。因此隨著厚寬比逐漸增大，曲線第一階峰值向低頻移動，不同的軌道板模型在高頻處的差距愈發(fā)明顯。且開始出現(xiàn)明顯誤差的頻率越來越低，在高頻處的差異也更加明顯。

表1 軌道參數(shù)

圖4 軌道板頻響特性

為了計算軌道板在板式軌道系統(tǒng)中的聲輻射響應(yīng)。本文首先對鋼軌在單位諧載荷作用下，扣件系統(tǒng)傳遞給軌道板連接位置的作用力進(jìn)行了計算，計算結(jié)果如圖5所示?？梢钥闯?，當(dāng)鋼軌受到單位簡諧激勵時，通過扣件傳遞到軌道板上的作用力在低頻處，尤其在200 Hz附近最為顯著。薄板模型的使用對扣件力的預(yù)測影響不大，主要在中高頻段產(chǎn)生誤差，且差異并不明顯。因此可以推斷后續(xù)對鋼軌響應(yīng)的仿真中，軌道板建模產(chǎn)生的誤差傳遞至鋼軌后將不再明顯，具體分析見2.3。

圖5 扣件力響應(yīng)特性

本文通過軌道板底部的振動加速度來表征軌道板對路基的振動傳遞情況。軌道板在扣件力作用下的軌道板底部加速度響應(yīng)如圖6所示。薄板模型分析頻率低于軌道板一階模態(tài)固有頻率時，薄板模型較為準(zhǔn)確，當(dāng)分析頻率高于軌道板的第一階模態(tài)頻率時，軌道板基底部的響應(yīng)產(chǎn)生明顯誤差，薄板模型不再準(zhǔn)確。

圖6 軌道板基礎(chǔ)振動響應(yīng)特性

2.2 軌道板聲輻射特性

接下來分析地鐵典型無砟軌道的聲輻射。以單位簡諧力激勵下軌道板與扣件連接處的作用力為對軌道板的激勵，得到軌道板的速度響應(yīng)，并計算軌道板的聲壓以及聲功率。

根據(jù)地鐵典型無砟軌道的結(jié)構(gòu)特點，假設(shè)軌道板為無限大剛性障板上的矩形板，則軌道板的聲壓[9]為：

式中：為軌道板的表面積，m2；為板振動的頻率，rad/s；為空氣密度，kg/m3；為聲速，m/s2；為板件垂向振動速度，m/s2；為波數(shù)；為響應(yīng)點坐標(biāo)；為目標(biāo)點到響應(yīng)點距離，m。

將扣件力作為軌道板在扣件位置處的激勵，計算軌道板的聲輻射響應(yīng)。當(dāng)鋼軌受單位簡諧力作用時，單個軌道板的聲輻射響應(yīng)如圖7所示。可以看出，當(dāng)鋼軌受到簡諧激勵時，薄板模型和實體模型的聲壓級結(jié)果在軌道板第一階模態(tài)頻率范圍內(nèi)吻合程度較高，因此薄板模型在運用于低頻段的軌道板聲輻射計算精確度較高；薄板模型的聲壓級結(jié)果在超過軌道板第一階模態(tài)頻率時與實體模型的誤差逐漸增大，因此在中高頻范圍應(yīng)該考慮采用更為精確的實體模型進(jìn)行分析計算軌道板向路基傳遞振動響應(yīng)分析。

圖7 軌道板聲輻射響應(yīng)特性

2.3 鋼軌振動響應(yīng)

將通過不同理論模型求取的軌道板頻響函數(shù)帶入軌道系統(tǒng)中，計算得到鋼軌的響應(yīng)如圖8所示。由2.1節(jié)對扣件力傳遞的分析，結(jié)合圖8的仿真結(jié)果可以看出，薄板模型的理論假設(shè)帶來的誤差對鋼軌振動響應(yīng)影響并不明顯。因此如果僅對鋼軌振動進(jìn)行分析，采用薄板模型對軌道板模型進(jìn)行建模在全頻段都較為準(zhǔn)確，具體誤差分析見第3節(jié)。

圖8 鋼軌頻響特性

3 薄板模型適用范圍探究

通過第2節(jié)的分析可得，薄板模型建立的軌道板模型的計算結(jié)果在低頻時較為準(zhǔn)確，在高頻時可能出現(xiàn)較大的誤差。為了進(jìn)一步探究薄板模型的使用范圍，對不同厚寬比分的工況進(jìn)行了計算。

薄板模型分析的相對誤差[10]計算式為：

式中：x、y分別為兩條對比曲線上的點；為各曲線上點的個數(shù)。

函數(shù)值越接近于0則兩條曲線越相近，函數(shù)值越接近于1則兩條曲線的相對誤差越大。

本文以一種常見的混凝土軌道板為例，具體參數(shù)如表1所示，通過變換軌道板的厚寬比參數(shù)對不同理論假設(shè)下的軌道板模型的計算誤差進(jìn)行分析。具體計算工況為厚寬比分別為0.005、0.01、0.05、0.10、0.15、0.20。

通過式（7）計算得到具體工況下的相對誤差如表2所示，并以有限元模型為基準(zhǔn)，對薄板模型的仿真結(jié)果準(zhǔn)確性進(jìn)行分析。由于不同厚寬比的軌道板固有頻率不同，對比不同工況下，兩倍于軌道板第一階模態(tài)固有頻率以下頻段的響應(yīng)?？梢钥闯觯S著厚寬比的增大，薄板模型的理引起的軌道系統(tǒng)響應(yīng)的誤差愈發(fā)明顯。對于軌道系統(tǒng)整體進(jìn)行分析時，當(dāng)軌道板厚寬比低于0.10時，薄板模型仿真的相對誤差小于5%，較為準(zhǔn)確；當(dāng)軌道板的厚寬比大于0.10時推薦使用實體模型對其仿真更為準(zhǔn)確。

表2 薄板模型下的誤差分析

對軌道板自身振動響應(yīng)進(jìn)行分析，厚寬比超過0.10時計算誤差過大；對軌道板聲輻射進(jìn)行分析，厚寬比超過0.15時計算誤差過大；對扣件力進(jìn)行分析厚寬比超過0.15時計算誤差過大；對軌道板支反力進(jìn)行分析厚寬比超過0.10時計算誤差過大；對鋼軌響應(yīng)進(jìn)行分析，厚寬比在0.20以內(nèi)時計算均較為準(zhǔn)確。

當(dāng)單位簡諧激勵作用在鋼軌上時，軌道板作為軌道系統(tǒng)的組成部件，薄板模型分析中的分析誤差也在軌道系統(tǒng)中有所反應(yīng)，其誤差對軌道系統(tǒng)扣件以下組成部分影響更為顯著。當(dāng)軌道模型厚寬比相對較大時，僅使用薄板模型會對軌道板與對軌道系統(tǒng)的振動與噪聲特性尤其是軌道板及以下部分產(chǎn)生較為明顯的影響。

4 結(jié)語

本文對不同理論假設(shè)建立的地鐵軌道板模型進(jìn)行對比分析，并以實體模型計算結(jié)果為基準(zhǔn)，通過改變軌道板厚寬比，對建立的薄板模型計算準(zhǔn)確性與適用條件進(jìn)行探究，結(jié)論如下：

（1）基于薄板理論進(jìn)行地鐵典型無砟軌道建模分析時，軌道板底部振動加速度與軌道板聲輻射對該理論的敏感性更高，而鋼軌振動相對則較低。

（2）針對典型的地鐵典型無砟軌道結(jié)構(gòu)，基于薄板理論對其建模及軌道響應(yīng)分析時，軌道板振動的頻率響應(yīng)在1000 Hz后結(jié)果誤差逐漸增大；軌道板噪聲與軌道板底部振動加速度的頻率響應(yīng)則在500 Hz后開始產(chǎn)生較為明顯的差異；薄板模型對鋼軌振動響應(yīng)的影響并不明顯。因此對軌道板高頻振動聲輻射以及軌道結(jié)構(gòu)向路基傳遞的較高頻率振動進(jìn)行仿真計算時，應(yīng)選擇實體模型對軌道板進(jìn)行建模。

（3）薄板模型對地鐵典型無砟軌道建模，對于軌道板的振動聲輻射的分析厚寬比在0.10以內(nèi)，可以保證計算有效性；對于扣件力傳遞的分析厚寬比在0.15以內(nèi)，可以保證計算有效性；對于鋼軌振動響應(yīng)的分析厚寬比在0.20以內(nèi)都可以保證計算有效性。

[1]Zhai W，Xu P，Wei K. Analysis of vibration reduction characteristics and applicability of steel-spring floating-slab track[J]. Journal of Modern Transportation，2011，19（4）：215-222.

[2]陳鵬. 高速鐵路板式軌道結(jié)構(gòu)力學(xué)特性的研究[D]. 北京：北京交通大學(xué)，2009.

[3]李亞光，鐘庭生，圣小珍. 高速鐵路CA砂漿層-軌道板系統(tǒng)高頻振動分析[J]. 噪聲與振動控制，2017，37（6）：151-157.

[4]Sheng X，Zhong T，Li Y. Vibration and sound radiation of slab high-speed railway tracks subject to a moving harmonic load[J]. Journal of Sound and Vibration，2017（395）：160-186.

[5]尹太國，李偉，張鵬，等. 地鐵車輛一系鋼彈簧中高頻動態(tài)特性分析[J]. 機(jī)械，2019，46（6）：1-7，41.

[6]Sheng X，Jones C J C，Thompson D J. Responses of infinite periodic structures to moving or stationary harmonic loads[J]. Journal of Sound and Vibration，2005，282（1-2）：125-149.

[7]高淑英，沈火明. 振動力學(xué)[M]. 2版. 北京：中國鐵道出版社，2016.

[8]王勖成. 有限單元法基本原理和數(shù)值方法[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，1997

[9]張媛媛，沈火明. 基于Matlab板的振動響應(yīng)與聲輻射研究[J]. 重慶理工大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014（28）：38.

[10]何曉群. 應(yīng)用多元統(tǒng)計分析[M]. 北京：中國統(tǒng)計出版社， 2010.

Applicability Analysis of Subway Typical Ballastless Track Modeling Based on Kirchhoff-Love Plate Theory

WANG Jinsheng1，NIE Jiaxing1，PAN Minkai1，LIU Yuhang1，HAN Jian2

( 1.The State Key Laboratory of Traction Power, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610063, China; 2.School of Mechanical Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610063, China)

The slab track model established based on Kirchhoff-Love plate theory has the characteristics of clear physical concepts and high computational efficiency. Even though it is widely used in the calculation and analysis of slab track, its applicability is not clear. Therefore, based on the Kirchhoff–Love plate theory and the finite element method, the thin plate model and the solid model for predicting the vibration sound radiation of the subway typical ballastless track are established respectively, and the acoustic vibration response of the thin plate modeling to the rail, the slab and the subgrade of the track is compared and analyzed, and the applicable frequency range for different situation is clearified. The parameter surveys are conducted on the most critical track bed thickness-to-width ratios for different response results, and quantified the values of the thickness-to-width ratios applicable to thin plate modeling under different acoustic vibration calculations. The relevant research in this paper can provide a reference and basis for the applicability of establishing a model of subway typical ballastless track based on the thin plate theory.

kirchhoff-love plate theory；subway typical ballastless track；dynamic response；high frequency vibration

U270.1+.6；TB533+.2

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2020.11.005

1006－0316 (2020) 11－0030－06

2020－05－07

國家自然科學(xué)基金（U1934203/U1834201）；中國國家鐵路集團(tuán)有限公司科技研究開發(fā)計劃項目（N2019G037）；國家重點研發(fā)計劃戰(zhàn)略性國際科技創(chuàng)新合作重點專項（2016YFE0205200）

王金升（1994－），男，山東泰安人，碩士研究所，主要研究方向為軌道交通減振降噪。*通訊作者：韓?。?987－），男，遼寧葫蘆島人，博士，助理研究員，主要研究方向為軌道交通減振降噪，E-mail：super-han@126.com。