段 敏

合肥學(xué)院 人工智能與大數(shù)據(jù)學(xué)院，安徽 合肥 230601

1 數(shù)學(xué)課件制作綜述

計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是課件，尤其是要求有動(dòng)態(tài)交互式操作的課件，其開(kāi)發(fā)難度大，這也是教師，特別是數(shù)學(xué)教師很少用課件的原因之一。使用技術(shù)人員而非教學(xué)人員開(kāi)發(fā)的課件，不利于體現(xiàn)教師個(gè)人的教學(xué)風(fēng)格，而結(jié)合自己的教學(xué)藝術(shù)來(lái)開(kāi)發(fā)課件，往往受到自身計(jì)算機(jī)技術(shù)，特別是程序設(shè)計(jì)技術(shù)的制約而達(dá)不到教學(xué)目的。

教師，特別是數(shù)學(xué)教師，上課時(shí)不能一遇到畫(huà)圖、復(fù)雜計(jì)算就強(qiáng)調(diào)原因，少講、不講甚至跳過(guò)，這不利于教學(xué)質(zhì)量的提高。要讓教師知道，電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)使數(shù)學(xué)的教學(xué)面貌也煥然一新，計(jì)算機(jī)將某些定理精美而玄妙的證明改變?yōu)椤熬?xì)”而“機(jī)械”的程序設(shè)計(jì)，把靈活的數(shù)學(xué)技巧改變?yōu)椤按舭濉钡木幊碳夹g(shù)[1]。

就大學(xué)數(shù)學(xué)課程中，無(wú)論是高等數(shù)學(xué)，還是線性代數(shù)與解析幾何等課程，若沒(méi)有計(jì)算機(jī)的參與，就缺少了形象直觀的圖形，很多概念很難講清楚?，F(xiàn)在的教學(xué)強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，要調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，最重要的就是要讓學(xué)生親自動(dòng)手，自己借助于計(jì)算機(jī)去“折騰”數(shù)學(xué)，在“折騰”的過(guò)程中去學(xué)習(xí)，去觀察，去探索，去發(fā)現(xiàn)，而不是由老師教他們多少內(nèi)容[2]，由此誕生了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的開(kāi)設(shè)。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程中，若能添上具有交互式操作的圖形用戶(hù)界面，必將大大提高教學(xué)質(zhì)量，這就需要有很好的交互式課件來(lái)幫助教學(xué)。

如何選擇開(kāi)發(fā)交互式課件的工具軟件，楊澤忠在其所著《CAMI 導(dǎo)論 計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)》一書(shū)中提出所使用的數(shù)學(xué)課件編寫(xiě)工具一般有四類(lèi)：第一類(lèi)，用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言來(lái)編寫(xiě)數(shù)學(xué)課件的方法；第二類(lèi)，利用專(zhuān)門(mén)的課件語(yǔ)言來(lái)編寫(xiě)的方法；第三類(lèi)，利用課件著作工具編寫(xiě)的方法；第四類(lèi)，利用某些數(shù)學(xué)問(wèn)題解決或發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的軟件來(lái)編寫(xiě)數(shù)學(xué)課件的方法[3]。不管選擇哪一類(lèi)，學(xué)習(xí)難度由第一類(lèi)依次遞減，影響了數(shù)學(xué)課件的開(kāi)發(fā)進(jìn)程。

能否有一種軟件能按照數(shù)學(xué)的思維方式開(kāi)發(fā)課件呢？這種軟件即要能做數(shù)值計(jì)算與符號(hào)運(yùn)算，也能繪圖并進(jìn)行程序設(shè)計(jì)，更重要的是能否在程序代碼中表示想調(diào)節(jié)的參數(shù)與交互式控件架起一個(gè)橋梁，使程序或課件的運(yùn)行結(jié)果以圖形用戶(hù)界面展示給用戶(hù)，以方便習(xí)慣于Windows 的用戶(hù)操作。不要去調(diào)節(jié)代碼中的參數(shù)，再重新生成課件等繁瑣的操作，而且要開(kāi)發(fā)周期短，甚至可以在教學(xué)時(shí)開(kāi)發(fā)與交互式演示操作在課堂內(nèi)完成，讓學(xué)生體驗(yàn)到以過(guò)程為中心的教學(xué)方式。

Mathematica 是最符合數(shù)學(xué)教師使用的數(shù)學(xué)軟件，6.0 以后的版本中開(kāi)發(fā)的Manipulate 函數(shù)，架起了代碼與圖形用戶(hù)界面交互式操作的橋梁，開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)交互式課件也變得容易，不管從事高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、微分方程、數(shù)值分析等眾多數(shù)學(xué)課程教學(xué)，只要教師按照自己的教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方式，簡(jiǎn)單的幾行代碼，加上Manipulate 的包裝，一個(gè)具有交互式操作的圖形用戶(hù)界面便躍然屏幕之上，通過(guò)簡(jiǎn)單的拖動(dòng)，加上教師的講解，數(shù)學(xué)思想一點(diǎn)點(diǎn)展現(xiàn)出來(lái)，勝過(guò)千言萬(wàn)語(yǔ)的講解。

2 Manipulate 函數(shù)功能簡(jiǎn)介

Manipulate 是Mathematica6.0 以后版本新開(kāi)發(fā)的用于交互式運(yùn)行函數(shù)和命令的方式，是溝通開(kāi)源式代碼和圖形交互式操作用戶(hù)界面的橋梁與指針。有了它，就能創(chuàng)建一個(gè)圖形用戶(hù)界面來(lái)操縱任意表達(dá)式或圖形，就能像使用Windows 圖形用戶(hù)界面一樣方便。

Manipulate 的最一般書(shū)寫(xiě)格式為：

Manipulate[代碼段，控件1，控件2，…，控件n]

實(shí)際寫(xiě)代碼時(shí)宜采用縮進(jìn)格式，以便于閱讀與修改，養(yǎng)成程序設(shè)計(jì)的風(fēng)格。

代碼段是程序區(qū)，用于完成程序設(shè)計(jì)的書(shū)寫(xiě)，可長(zhǎng)可短，反映的是算法思想的代碼實(shí)現(xiàn)，更能體現(xiàn)程序設(shè)計(jì)風(fēng)格的數(shù)學(xué)化，它實(shí)質(zhì)是一種函數(shù)式的編程語(yǔ)言，有著像C 語(yǔ)言或Pascal 一樣的結(jié)構(gòu)化程序設(shè)計(jì)方式，教師只要有一種程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言的基礎(chǔ)，掌握Mathematica 的程序設(shè)計(jì)方法是很容易的。因?yàn)檎Z(yǔ)言千變?nèi)f化，但萬(wàn)變不離其宗，核心的語(yǔ)句都是4 類(lèi)：賦值語(yǔ)句、基本運(yùn)算語(yǔ)句、條件語(yǔ)句和循環(huán)語(yǔ)句，作用無(wú)非是用來(lái)指揮計(jì)算機(jī)執(zhí)行4 類(lèi)基本功能[4]。而選擇Mathematica 書(shū)寫(xiě)代碼，以思維方式數(shù)學(xué)化的深刻內(nèi)涵為引領(lǐng)，定能編寫(xiě)出高質(zhì)量的好程序、好課件。

控件1，控件2，…，控件n 區(qū)域中的控件，借助于Manipulate 映射到交互式圖形用戶(hù)界面。簡(jiǎn)單地講，Manipulate 函數(shù)就是操控函數(shù)的變量，它能夠調(diào)用各式各樣的控件以用戶(hù)想要的方式進(jìn)行操控，最后完成一個(gè)或多個(gè)變量在其定義域內(nèi)變化而產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)過(guò)程[5]。讓教師真正體會(huì)到計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的核心內(nèi)涵和學(xué)生的探究式與研究性學(xué)習(xí)方式，而且開(kāi)發(fā)周期短，甚至可以在上課時(shí)邊教學(xué)，邊開(kāi)發(fā)，學(xué)生能體會(huì)到數(shù)學(xué)推理、論證、計(jì)算的過(guò)程，能深刻理解數(shù)學(xué)思想。

3 通過(guò)案例掌握控件的使用方法

3.1 泰勒級(jí)數(shù)課件

泰勒級(jí)數(shù)的理解與深刻的數(shù)學(xué)思想內(nèi)涵，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是個(gè)難點(diǎn)，不管教師如何講解，總是達(dá)不到生動(dòng)直觀的形象理解。此時(shí)課件登場(chǎng)，通過(guò)教師的演示與改變參數(shù)，一會(huì)調(diào)節(jié)展開(kāi)的階數(shù)，一會(huì)調(diào)節(jié)在哪一點(diǎn)展開(kāi)，還可選擇被展開(kāi)函數(shù)，調(diào)節(jié)區(qū)間范圍觀察逼近的效果。此課件甚至可以現(xiàn)場(chǎng)制作，讓學(xué)生特別是師范生知道課件編寫(xiě)的流程，再加上教師的教學(xué)方法與自己獨(dú)特的教學(xué)風(fēng)格，師生互動(dòng)，讓學(xué)生深感數(shù)學(xué)的魅力所在。何謂教育數(shù)學(xué)，簡(jiǎn)言之，教育數(shù)學(xué)的目標(biāo)是把數(shù)學(xué)變?nèi)菀譡6]。

通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)課件的制作，把具有交互式控件操作的圖形用戶(hù)界面的課件中所要用到的一些控件代碼的使用方法展示出來(lái)。

本文對(duì)控件的格式、功能與使用，放在代碼中以注釋的方式敘述，可能比羅列一大堆命令后再去使用可能效果要好。請(qǐng)輸入以下代碼并運(yùn)行之，得到交互式圖1。

g[x_]:=Sin[4*x]*Cos[x]; (*在此輸入系統(tǒng)中沒(méi)有定義的函數(shù)表達(dá)式*)

Manipulate[

(*繪出逼近的圖形*)

Plot[Evaluate[{Normal[Series[f[x]，{x，x0，n}]]，f[x]}]，{x，-a，a}]，

(*以下顯示標(biāo)題*)

Item["泰勒級(jí)數(shù)演示"，Alignment-＞Center]，

(*以下是控件區(qū)域，是溝通代碼與圖表用戶(hù)界面的橋梁，注釋掉不運(yùn)行，去掉注釋即可運(yùn)行*)

(*下面的控件操作，任意選擇一行注釋掉不運(yùn)行，去掉注釋即可運(yùn)行*)

{{n，3，" 請(qǐng)拖動(dòng)滑桿以顯示展開(kāi)到幾階"}，1，50，1}， (*相當(dāng)于輸入滑桿*)

{{f，Sin，"請(qǐng)選擇函數(shù)"}，{Sin，Cos，Tan，Exp，g}}，(*以標(biāo)簽選擇輸入*)

(*以下是下拉式菜單選擇輸入*)

(*{{f，Sin，"請(qǐng)選擇函數(shù)"}，{Sin，Cos，Tan，Exp，ArcTan},ControlType-＞PopupMenu},*)

{{x0,0," 請(qǐng)選擇在哪點(diǎn)展開(kāi)"},ControlType-＞InputField}, (*以文本框輸入*)

(*以下是圓按鈕選擇輸入*)

{{a,1,"區(qū) 間 范 圍"},{0.5-＞"[-0.5,0.5]",5-＞"[-5,5]"},ControlType-＞RadioButton},TrackedSymbols-＞All, SaveDefinitions-＞Manipulate]

圖1 泰勒級(jí)數(shù)演示

總而言之，交互式輸入通過(guò)調(diào)節(jié)控件類(lèi)型選項(xiàng)，能夠?qū)崿F(xiàn)類(lèi)似于windows 的文本框、下拉式列表框、選項(xiàng)卡、滑桿、微調(diào)按鈕等常用的交互式操作；也可設(shè)置初值、標(biāo)簽等一些提示信息；還可通過(guò)行列布局命令實(shí)現(xiàn)交互界面的各對(duì)象的布局。

通過(guò)幫助文件，深入學(xué)習(xí)Manipulate 操作命令中的各種選項(xiàng)的使用方法，仔細(xì)品讀示例與模仿練習(xí)，定能提高交互式界面的數(shù)學(xué)課件設(shè)計(jì)水平。

3.2 無(wú)窮小概念課件的制作

在高等數(shù)學(xué)中，有關(guān)無(wú)窮小量的概念學(xué)生較難理解，而通過(guò)下面的演示課件，見(jiàn)圖2，拖動(dòng)區(qū)間調(diào)節(jié)滑桿，觀察圖中兩條曲線的貼近程度，等價(jià)無(wú)窮小的概念的核心思想表現(xiàn)的淋漓盡致，而且能動(dòng)態(tài)輸入函數(shù)，實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)交互，極大地提高了教學(xué)質(zhì)量與效果。

Manipulate[ Plot[{f,g},{x,-a,a}],

Item["以下體會(huì)等價(jià)無(wú)窮小概念",Alignment-＞Center]，

Item [" 請(qǐng)?jiān)趂 [x] 與g [x] 中輸入兩個(gè)函數(shù)"，Alignment-＞Left],

Item [" 然后拖動(dòng)滑塊，觀察兩條曲線"，Alignment-＞Left],

Item["g(x)中還可輸入Tan(x) ArcSin[x] ArcTan[x] Log[1+x] Exp[x]-1 等函數(shù)"，Alignment-＞Left]，{{f,x,"f[x]="}，ControlType-＞InputField}，

{{g,Sin[x],"g[x]="}，ControlType-＞InputField}，

{{a,2,"區(qū)間調(diào)節(jié)"}，2，10^(-5),-10^(-6)}

]

圖2 等價(jià)無(wú)窮小概念理解

4 結(jié)語(yǔ)

限于篇幅，以上只是精選了兩則案例，其實(shí)大學(xué)數(shù)學(xué)課程中的許多概念，都可以編制出交互式操作的課件。數(shù)學(xué)的思想方法以算法的語(yǔ)言方式表現(xiàn)在代碼段，想調(diào)節(jié)哪個(gè)參數(shù)對(duì)象或?qū)傩?，只要在控件區(qū)設(shè)置好，一個(gè)簡(jiǎn)單的Shift+回車(chē)鍵，具有交互式操作的圖形用戶(hù)立即生成。Mathematica 數(shù)學(xué)軟件中的Manipulate 命令，極大地降低了開(kāi)發(fā)交互式數(shù)學(xué)課件的難度，廣大教師早已把它融入到打造模塊化課程的教學(xué)改革之中，并已取得了良好的教學(xué)效果。