謝財進，饒軍應(yīng)，劉燈凱，聶崇欣

(貴州大學(xué) 土木工程學(xué)院， 貴州 貴陽 550025)

0 引言

層理泥質(zhì)白云巖在西南地區(qū)許多隧洞及地下工程中大量賦存，而層狀巖體常常會表現(xiàn)出各向同性特征，特點為水平方向與垂直方向上力學(xué)特性不同，對圍巖變形、應(yīng)力大小有顯著影響[1-5]。巖石力學(xué)性能研究的方法主要有數(shù)值分析和試驗研究。

在數(shù)值分析方面，潘睿等[6]基于能量分析法，對層狀巖石的各向同性水平和垂直層理方向的斷裂差異開展研究，對優(yōu)選射孔位置和施工排量、提高壓裂的增產(chǎn)效果具有參考意義。劉運思等[7]指出巖體各向同性體力學(xué)特性在不同的層面傾角下存在較大的差異，基于Helmholtz自由能與不可逆熱力學(xué)的基本原理，對其體積模量和剪切模量與層面傾角的函數(shù)關(guān)系式、內(nèi)時損傷本構(gòu)方程開展研究，描述損傷發(fā)生前后的變形特點，有效地反映各向同性巖體的非線性和剪脹擴容等物理力學(xué)現(xiàn)象。謝云躍等[8]通過將層狀巖體開展單軸壓縮數(shù)值試驗結(jié)果與巖體各向同性彈塑性本構(gòu)模型嵌入ABAQUS計算結(jié)果對比分析，同時將該模型退化為各向同性模型應(yīng)用于層狀巖體地下工程的計算，計算結(jié)果均能驗證該模型的有效性和實用性。這類研究僅對巖石宏觀力學(xué)性能開展分析，未從巖石微觀上解釋其各向同性存在的本質(zhì)原因以及與宏觀力學(xué)間的聯(lián)系。

在試驗研究方面，李江騰等[9]對不同層理角度的板巖開展單軸壓縮試驗和雙扭常位移松弛試驗，分析板巖試件層理角度與其抗壓強度及斷裂韌度的相關(guān)規(guī)律。張東明等[10]基于改進后的Duncan模型，建立單軸損傷破壞模型,通過對含層理及均質(zhì)巖石試件開展單軸壓縮實驗、CT層析掃描測試，研究層理巖石破壞特征及損傷演化過程中的聲發(fā)射參數(shù)特征、能量耗散與傳遞規(guī)律。已有學(xué)者將巖石的微觀與宏觀結(jié)合考慮，但僅僅停留于巖石微觀表象分析，未能從巖石微觀礦物組成對巖石結(jié)構(gòu)影響入手。

本文對層理主控泥質(zhì)白云巖開展能譜分析試驗(EDS試驗)，對其微觀結(jié)構(gòu)及其礦物組分開展分析，證明其具有各項同性，最后結(jié)合單軸壓縮試驗對其宏觀力學(xué)性能開展研究，建立彈性本構(gòu)方程、動力問題運動平衡微分方程，對不同層理角度下泥質(zhì)白云巖的各向同性力學(xué)性能開展研究。

1 層理泥質(zhì)白云巖各向同性研究

為研究層理泥質(zhì)白云巖晶體特性，對其開展能譜分析試驗(EDS試驗)。由于晶態(tài)物質(zhì)成分、結(jié)構(gòu)不同，使得能譜曲線的脈沖峰數(shù)目、形狀、排列等不同。通過能譜曲線對晶體所含礦物成分進行分析，進而完成樣品成分的定量分析[11-13]。

試驗儀器采用德國卡爾·蔡司∑IGMA掃描電子顯微鏡帶能譜儀(EDS)，試驗原理為：X光量子從Si(li)探測器接收信息后給出電脈沖訊號，這種訊號經(jīng)放大器放大整形，再送入多道脈沖分析器，最后在儀器的顯像管上將脈沖數(shù)—脈沖高度曲線顯示出來，得到X光量子的能譜曲線，試驗步驟不再贅述。通過EDS試驗，獲得層理泥質(zhì)白云巖的物質(zhì)成分譜圖，如圖1～圖4所示。

圖1 樣品A10譜圖Fig.1 Spectrogram of sample A10

圖2 樣品B4譜圖Fig.2 Spectrogram of sample B4

圖3 樣品D7譜圖Fig.3 Spectrogram of sample D7

圖4 樣品F11譜圖Fig.4 Spectrogram of sample F11

能譜分析的結(jié)果顯示，層理泥質(zhì)白云巖含有大量Ca、Si、Mg、Al等元素，其礦物組成基本一致，但由于各種礦物含量不同導(dǎo)致其微觀結(jié)構(gòu)差異化。根據(jù)泥質(zhì)巖體物質(zhì)成分對比分析可知，層理泥質(zhì)白云巖中主要成分為石英、白云母、斜綠泥石等。研究表明，層理泥質(zhì)白云巖中石英晶體的長軸與白云母、斜綠泥石的片狀結(jié)合呈層狀排布，結(jié)構(gòu)有明顯的定向排列特征，單晶體結(jié)構(gòu)相互組合、疊聚將導(dǎo)致片狀疊聚物在水平方向與垂直方向上力學(xué)特性不同，使其具有各向同性的力學(xué)特性。該特征將為層理泥質(zhì)白云巖彈性力學(xué)本構(gòu)模型的建立提供基礎(chǔ)。泥質(zhì)白云巖微觀結(jié)構(gòu)圖如圖5所示。

圖5 泥質(zhì)白云巖微觀結(jié)構(gòu)圖Fig.5 Microstructure of argillaceous dolomite

2 巖體各向同性彈性本構(gòu)方程

將試驗巖樣制成直徑50 mm，高100 mm的圓柱體，巖樣中存在一個各向同性面x′oy′以及與之垂直的旋轉(zhuǎn)主軸z′，建立x′oy′z′坐標系，將y′oz′平面繞x′軸旋轉(zhuǎn)β角后得到新坐標系xoyz，如圖6所示。

圖6 層理泥質(zhì)白云巖整體與局部坐標系Fig.6 Integral and local coordinate systems of the shale dolomite

層理泥質(zhì)白云巖彈性部分應(yīng)變增量為應(yīng)力增量的線性函數(shù)，基于GUATAUM等[14]對科羅拉多頁巖各向同性彈性本構(gòu)方程研究，得出局部坐標系x′oy′z′下層理泥質(zhì)白云巖各向同性彈性本構(gòu)方程為：

(1)

式中：Δε為正應(yīng)變增量；Δγ為切應(yīng)變增量；Eh為平行于各向同性平面彈性模量；Ev為垂直于各向同性平面彈性模量；νhh為平行于各向同性平面內(nèi)泊松比；νvh為垂直于各向同性平面內(nèi)泊松比；Gvh為垂直于各向同性平面剪切模量；Δσ為應(yīng)力增量；Δτ為切應(yīng)力增量。

另外，巖體各向同性的5個彈性常數(shù)有如下熱動力學(xué)約束：

Eh,Ev,Gvh>0,

(2)

-1≤νHH≤1,

(3)

(4)

5個彈性常數(shù)一般都是獨立存在的無理論關(guān)系，但Saint-Venant經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)得出5個常數(shù)間的經(jīng)驗公式[15]：

(5)

由于應(yīng)變能不隨坐標系變化而變化，基于張學(xué)民等[16-17]轉(zhuǎn)軸位移分量的變換關(guān)系，整體坐標系xoyz下的本構(gòu)方程可由式(1)通過應(yīng)力、應(yīng)變和柔度張量變化得到：

(6)

式中:系數(shù)Aij與彈性常數(shù)Eh、Ev、νvh、νhh、Gvh的關(guān)系見參考文獻[7]。

3 巖體各向同性彈性常數(shù)試驗研究

試驗巖樣取自貴陽市軌道交通火車站站～沙沖路站區(qū)間隧道。巖樣埋深40 m，取樣角度(β)為0°、15°、30°、45°、60°、90°(圖7)，采用巖石鉆芯機取樣。巖樣經(jīng)切割、打磨制作成直徑50 mm，高100 mm的圓柱體(圖8)，共25個，試驗巖樣的幾何尺寸見表1。巖樣兩端面不平行度誤差不大于0.05 mm；沿巖樣高度、直徑的誤差不大于0.3 mm；端面垂直于巖樣軸線，偏差不大于0.25°。

圖7 巖石樣本鉆取方向示意圖Fig.7 Drilling direction of rock sample

(a) 鉆芯巖樣

表1 層理泥質(zhì)白云巖單軸壓縮試驗巖樣幾何尺寸Tab.1 Geometric dimensions of rock samples for uniaxial compression test of argillaceous dolomite

巖樣應(yīng)變采用靜態(tài)電阻應(yīng)變儀進行測試，在巖樣上粘貼A1、A2、B1、B2應(yīng)變片，共4片(圖9)，A應(yīng)變片測圓柱體軸向應(yīng)變εz，B應(yīng)變片測圓柱體環(huán)向應(yīng)變εy。在全數(shù)控電液伺服力學(xué)壓力機與靜態(tài)電阻應(yīng)變儀共同作用，測得巖樣的材料強度及變形大小。

(a) 側(cè)視圖

3.1 彈性常數(shù)關(guān)系式

采用單軸壓縮試驗測定各向同性巖石材料強度和變形特征。對不同層理角度的層理泥質(zhì)白云巖，僅在軸向(z方向)施加壓力σz，假定巖樣內(nèi)部的應(yīng)力、應(yīng)變均勻分布，根據(jù)式(1)、式(6)將其應(yīng)力、應(yīng)變的關(guān)系簡化為：

(7)

式(7)中，A13、A23、A33、A53為柔度矩陣中的元素，其分別為：

(8)

(9)

(10)

。

(11)

當巖體由各向異性退化為各向同性彈性體后，其獨立彈性參數(shù)由9個變?yōu)?個，分別為Eh、Ev、νvh、νhh、Gvh。其中，彈性模量視為由單軸壓縮試驗得到的應(yīng)力應(yīng)變曲線在σmax/2(σmax巖樣破壞最大應(yīng)力值)處直線段的斜率，即：

(12)

視泊松比ν為：

(13)

當β=0°時，代入式(12)、式(13)得：

(14)

(15)

當β=90°時，代入式(12)得：

(16)

(17)

由式(14)、式(15)、式(16)將獨立常數(shù)Ev、νvh、Eh求出。νhh、Gvh需建立另外一組取樣角度的巖樣方程與式(17)聯(lián)立求解。故僅需3種不同傾角的巖樣，便可通過單軸壓縮試驗獲得層理泥質(zhì)白云巖各向同性的5個獨立常數(shù)。

3.2 彈性常數(shù)的測定

通過對5個不同取樣角度巖樣開展單軸壓縮試驗，發(fā)現(xiàn)：0°組試件破壞形態(tài)完整，試件表面成塊脫落；30°組試件破壞形態(tài)完整，有一部分沿著試件表面裂縫破壞，試件頂部呈現(xiàn)錐形破壞形態(tài)；45°組試件破壞形態(tài)較為完整，沿著試件45°斜面裂開；60°組試件外部破壞形態(tài)細碎，而試件中間破壞比較完整，試件頂部呈現(xiàn)錐形破壞形態(tài)；90°組試件破壞后呈現(xiàn)條狀，試件沿著加載方向破壞，破壞后較完整(圖10)。

0°

基于單軸壓縮試驗結(jié)果，繪制不同取樣角度下的軸向應(yīng)力—橫向應(yīng)變、軸向應(yīng)力—縱向應(yīng)變圖(圖11)。其應(yīng)力應(yīng)變曲線可大致分為兩個階段：第一階段，加載開始到峰值破壞應(yīng)力和最大應(yīng)變的1/3處，應(yīng)力應(yīng)變曲線呈下凹狀，屬于巖體壓密階段，隨著軸向荷載增加巖樣內(nèi)部的空隙、裂紋閉合，逐漸接近彈性體材料；第二階段，巖樣內(nèi)部的空隙、裂紋完全閉合，應(yīng)力應(yīng)變曲線呈一次函數(shù)，屬于線彈性階段。

(a) 取樣角度β=0°

基于單軸壓縮試驗結(jié)果，對β不同的5組巖樣應(yīng)力應(yīng)變分別進行線性擬合，巖樣單軸抗壓強度與應(yīng)變值滿足下列關(guān)系：

(18)

式(18)中：A、B、C、D為應(yīng)力應(yīng)變擬合系數(shù)。擬合曲線如圖12所示。β不同的5組巖樣應(yīng)力應(yīng)變線性擬合關(guān)系式見表2。

(a) 取樣角度β=0°

表2 不同β角度巖樣應(yīng)力應(yīng)變線性擬合關(guān)系式Tab.2 Linear fitting formula of stress and strain for rock samples with different β angles

基于線性擬合結(jié)果，可計算出不同β下巖樣的視彈性模量E和視泊松比ν(表3)。由式(14)、式(15)、式(16)可得4個彈性常數(shù)Ev=15.95 MPa、Eh=14.48 MPa、νhh=0.24、νvh=0.31。另外，隨取樣角度不同，E、ν也不相同。

表3 不同β巖樣視彈性模量E和視泊松比νTab.3 Apparent elastic modulus E and apparent poisson’s ratio ν of different rock samples β

將表3中巖樣的數(shù)據(jù)代入式(12)中，得3個取樣角度下彈性常數(shù)Gvh(表4)，取其平均值作為層理泥質(zhì)白云巖彈性常數(shù)，Gvh=6.21 GPa。

表4 巖樣彈性常數(shù)GvhTab.4 Elastic constant of rock sample Gvh

3.3 巖體各向同性彈性體動力問題

針對城市地鐵隧道，為更好表征城市路面荷載對圍巖擾動的力學(xué)行為，考慮具有各向同性的泥質(zhì)白云巖在沖擊荷載作用下的動力響應(yīng)，從各向同性彈性軸對稱空間動力問題出發(fā)，利用積分變換，建立各向同性層理泥質(zhì)白云巖結(jié)構(gòu)的解析剛度矩陣，進而分析外部荷載對隧道圍巖的影響?；隰斘∥〉萚18]對各向同性彈性體軸對稱動力問題運動平衡微分方程的研究，可得：

(19)

式(19)中：r、z分別為徑向距離和豎向距離；t為時間變量；ur、uz分別為徑向位移和豎向位移；σr、σθ、σz分別為徑向應(yīng)力、環(huán)向應(yīng)力和豎向應(yīng)力；τzr為剪應(yīng)力。

幾何方程：

(20)

各向同性彈性體的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系式為：

(21)

聯(lián)立式(19)、式(20)、式(21)，得位移表示層理泥質(zhì)白云巖彈性體空間軸對稱動力問題的控制方程：

(22)

對式(22)進行Laplace及Hankel變換后得：

(23)

式(23)中：ξ為Hankel轉(zhuǎn)換常量；s為Laplace轉(zhuǎn)換常量；ρ為巖體密度，泥質(zhì)白云巖密度取各巖樣密度平均值ρ=2.53 g/cm3。

(24)

式(24)中：

可得其通解為：

(25)

代入數(shù)據(jù)后得：

a=2.72ξ2-534.74s2,

(26)

b=0.92ξ4-501.52ξ2·s2+51874.22s4,

(27)

(28)

4 結(jié)論

本文基于巖體各向同性彈性本構(gòu)方程、軸對稱動力問題運動平衡微分方程，通過對層理泥質(zhì)白云巖開展各向同性彈性力學(xué)試驗、EDS試驗研究，得出如下結(jié)論：

① 能譜分析顯示，層理泥質(zhì)白云巖的礦物組成基本一致，造成層理泥質(zhì)白云巖微觀結(jié)構(gòu)的差異化的主要原因是各類礦物含量的不同。其主要成分為石英、白云母、斜綠泥石等，3種成分的晶體結(jié)構(gòu)都會造成巖體微觀力學(xué)各向異性。但當這些晶體結(jié)構(gòu)相互組合、疊聚后，石英晶體的長軸會與白云母、斜綠泥石的片狀結(jié)合呈層狀排布，會使巖體力學(xué)特性發(fā)生改變，使其由單晶體的各向異性變?yōu)槲⒂^結(jié)構(gòu)的各向同性。

② 層理泥質(zhì)白云巖中石英晶體的長軸與白云母、斜綠泥石的片狀結(jié)合呈層狀排布，結(jié)構(gòu)有明顯的定向排列特征，單晶體結(jié)構(gòu)相互組合、疊聚將導(dǎo)致片狀疊聚物在水平方向與垂直方向上力學(xué)特性不同，使其具有各向同性的力學(xué)特性。該特征將為層理泥質(zhì)白云巖彈性力學(xué)本構(gòu)模型的建立提供基礎(chǔ)。

③ 構(gòu)建層理泥質(zhì)白云巖各向同性彈性本構(gòu)方程，通過開展單軸壓縮試驗獲得不同取樣角度下的巖體力學(xué)參數(shù)，進而得到巖體各向同性的5個彈性常數(shù)Ev=15.95 MPa、Eh=14.48 MPa、νhh=0.24、νvh=0.31、Gvh=6.21 GPa。