韓雨成，羅姝彤，趙宇，劉阿鵬

山西工程技術學院，山西 陽泉 045000

量子糾纏在量子信息處理(QIP)［1］中起著決定性作用，它在量子通信中是一種重要的量子資源，例如量子隱形傳送［2］、量子密鑰分發(fā)［3］、量子秘密分配［4］、量子密集編碼［5，6］、量子安全直接通訊［7，8］等等.為了完成一些重要的量子信息處理任務，完整地分析糾纏態(tài)是很有必要的.多體系統(tǒng)［9～12］的糾纏態(tài)，例如:Greenberger-Horne-Zeilinger(GHZ)態(tài)［13］，已經(jīng)被廣泛地研究了.1998 年，Pan 和 Zeilinger［14］在線性光學元件的基礎上提出了第一個光子 GHZ態(tài)分析［11，12］方案.1999年，利用線性光學元件，兩個 Bell態(tài)分析(BSA)方案被提出.然而由于線性光學量子門的概率特性，八個三光子GHZ態(tài)中只有兩個可以被區(qū)分出來［12］.這之后，利用交叉科爾非線性，Barrett［10］等人和 Guo［13］等人分別提出了 Bell態(tài)和 GHZ 態(tài)的分析方案.

基于GaAs/InAs的帶電量子點(QD)內(nèi)的電子自旋，是一個對固態(tài)量子計算有前景的候選者.最近的工作說明，它在量子信息處理和量子網(wǎng)絡中有廣闊的前景［15～27］.一個帶電量子點的電子自旋的相干時間可以長達 3 μs［15，16］，并且電子自旋的弛豫時間會更長( ～ ms)［27，28］.此外，將一個量子點嵌入到固態(tài)腔中相對較容易，并且易操控和初始化［19～21］.基于一個囚禁在光學腔內(nèi)的帶電量子點，許多有趣的量子信息處理方案已被提出［22～26］.然而，在實際條件中，對于基于腔量子電動力學(腔QED)系統(tǒng)的量子信息處理任務來說，由于不完美的非線性相互作用，它們的保真度和成功概率會或多或少被量子點-腔系統(tǒng)的參數(shù)影響.盡管人們可以利用錯誤更正方案解決這個問題，但這會消耗更多資源［27］，所以找到一種自避錯的方式來實現(xiàn)量子操作對于量子通信和量子計算會有重要意義.2011年，Kastorynao［28］等人提出一個方案來制備最大糾纏態(tài)，即利用腔衰退來提高保真度，這可以預告出錯誤.在2012年，基于一維波導內(nèi)單發(fā)射子的光子散射過程，Li［29］等人提出一個高保證度的方案來實現(xiàn)原子-光子糾纏門，即使在弱耦合條件下，也可以實現(xiàn)高保證度的最大糾纏門.之后，兩個相似的通過腔輔助光子散射過程的自避錯量子計算方案分別被Li［30］等人和Borges［31］等人提出.2016年，利用量子點雙邊腔系統(tǒng)［32］，另外一個自避錯的超糾纏Bell態(tài)制備和分析方案也被提出.之后，幾個自避錯量子計算方案也被提出［33～38］，在這些方案中，計算錯誤可以被光子損失預告出來，這是一個對于量子通信和量子計算很有意義的特性.

本文中，我們提出光子和量子點之間的受控相位反轉(zhuǎn)門，對于光子的Bell態(tài)分析.由于弱耦合、原子自發(fā)輻射或者輸入光子的頻率不匹配所引起的物理錯誤，都被投影到預告性的光子探測上而不會導致計算錯誤.所以這些方案對于實驗缺陷具有內(nèi)稟的魯棒性，同時對于未來的量子通信和量子計算很有意義.

圖1 負電荷激子X-的自旋依賴躍遷示意圖(a)單邊光學微柱腔內(nèi)的單電荷量子點，(b)量子點的相對能級和光學躍遷.Fig.1 Schematic for the spin-dependent transitions for negatively charged exciton X-.(a)A singly charged QD inside a single-sided optical micropillar cavity，(b)The relative energy levels and the optical transitions of a QD

1 一個量子點腔耦合系統(tǒng)的單光子輸入輸出過程

我們考慮一個量子系統(tǒng)，它由一個量子點耦合到一個單邊微柱腔組成，如圖(1a)所示.單電子基態(tài)有Jz=±1/2，分別表示為|↑〉和|↓〉，光激發(fā)態(tài)是由兩個單態(tài)反對稱電子和一個Jz=±3/2(|?〉和|?〉)組成的trion態(tài)(|↑↓?〉或|↓↑?〉).基態(tài)和trion態(tài)之間的躍遷|↑〉?|↑↓?〉和|↓〉?|↑↓?〉分別對應吸收一個右圓極化光子和一個左圓極化光子.在弱激發(fā)近似下，我們可以絕熱地消除腔模，得到反射系數(shù)為

通過設置g=0，量子點未耦合到腔的冷腔反射系數(shù)可以寫為

這里γ代表量子點衰減率，κ和κs分別描述腔衰減率和腔泄漏率.式(1)和(2)表明入射光子的反射系數(shù)不同，它們?nèi)Q于量子點在空腔中的自旋態(tài)［23，24］.具體的說，假設量子點最初被制備在|↓〉態(tài)，當腔內(nèi)注入左(右)圓極化單光子脈沖時，它應由量子點-腔系統(tǒng)反射，并成為輸出脈沖|ψ〉out，L=r1(ω)|L〉(|ψ〉out，R=r0(ω)|R〉).相反，如果量子點自旋處于態(tài) |↑〉，則輸出結(jié)果為 |ψ〉out，R=r1(ω)|R〉(|ψ〉out，L=r0(ω)|L〉).

假設一個左圓極化態(tài)的光子|L〉被注入自避錯單元，這個自避錯單元如圖2虛線框所示，其中量子點被初始化為|ψ+〉=α|↑〉+β|↓〉(|α|2+|β|2=1).如虛線框所示，光子將穿過半波片(H1)并被量子點-腔系統(tǒng)反射，或由于入射光子與腔模不匹配而直接被腔反射［39］.然后，由原子和光子組成的系統(tǒng)態(tài)演變?yōu)?沒有歸一化)

這里的η是輸入耦合率，用于測量腔模與入射單光子脈沖之間的模式匹配［39］.光子通過H2和X后，復合系統(tǒng)態(tài)變?yōu)?/p>

2 一個光子和一個量子點自旋之間的自避錯受控相位反轉(zhuǎn)門

利用上述過程，我們現(xiàn)在說明怎樣實現(xiàn)光子和電子自旋之間的自避錯受控相位反轉(zhuǎn)門.假設光子和電子自旋的初始態(tài)分別是:|φ〉p= αp|R〉+ βp|L〉和|ψ+〉e= αe|↑〉+ βe|↓〉，這里|αp|2+|βp|2=|αe|2+| βe|2=1.

光子被注入到極化光分束器1(PBS1)的入口，它透射右圓極化光子而反射左圓極化光子.右圓極化的波包|R〉將會直接穿過部分透射鏡而左圓極化波包|L〉將會穿過如圖2中虛線框所示的自避錯單元.

圖2 自避錯相位反轉(zhuǎn)門和雙光子極化Bell態(tài)分析儀的原理圖.虛線框中的部分是自避錯單元(ERU).PBSi(i=1，2，3)是一個圓極化光分束器，它分別在右圓極化中傳輸光子在左圓極化中反射光子.Hi(i=1，2)是對光子的極化自由度進行Hadamard操作的半波片.X是一個對光子執(zhí)行極化比特翻轉(zhuǎn)操作的半波片，T是一個具有透射系數(shù)為T的部分透射鏡.Fig.2 Schematic for the error-rejecting CPF gate and two-photon polarization Bell state analyzer.The part in the dashed box is an error-rejecting unit(ERU).PBSi(i=1，2，3)is a circularly polarized beam splitter which transmits the photon in the right-circular polarization|R〉and reflects the photon in the left-circular polarization|L〉，respectively.Hi(i=1，2)is a half-wave plate which performs Hadamard operationon the polarization DOF of photon.X is a halfwave plate which performs a polarization bit-flip operation σx=|R〉〈L|+|L〉|R〉on the photon.T is a partially transmitted mirror with the transmission coefficient T.

具體來看，左圓極化波包首先會通過H1并且與量子點-腔系統(tǒng)相互作用，然后由量子點-腔系統(tǒng)反射的波包會通過H2和X，這個復合系統(tǒng)的態(tài)變?yōu)?/p>

這里|ψ－〉e=αe|↑〉－βe|↓〉.如果右圓極化波包|R〉穿過PBS2并且被探測到(帶下劃線的那一項)在自避錯單元內(nèi)的單光子探測器響應了，這個受控相位反轉(zhuǎn)門就失敗了.如果對于兩個光子，單光子探測器都沒有響應，這個過程就繼續(xù)，左圓及右圓極化的兩個波包會在PBS3處重新結(jié)合到一起，最終包括光子和量子點的復合系統(tǒng)的態(tài)可以表述為

它本質(zhì)上就是一個在量子點自旋和光子量子比特之間的兩量子比特受控相位反轉(zhuǎn)門.我們應該注意到，在最終的態(tài)里，反射系數(shù)rm僅僅出現(xiàn)在一個整體系數(shù)T里，如方程(6)所示.因此一旦此受控相位反轉(zhuǎn)門成功，它的保真度是魯棒的，并且對于實際實驗條件是有抵抗性的.

3 自避錯兩光子Bell態(tài)分析

如圖2所示，我們的兩光子Bell態(tài)分析方案可以兩步實現(xiàn).假設兩光子處于一個可因式分解的態(tài)，

這里 | α1|2+| β1|2=| α2|2+| β2|2=1.同時，輔助量子點自旋是在態(tài)下制備的.

首先，光子p1被注入到極化光分束器的入口，類似于第2部分.光子通過H2和X后，由量子點和光子組成的復合系統(tǒng)演化為

這里帶有下劃線的項將由檢測器檢測到.

其次，另一個光子(標簽p2)被注入到極化光分束器的入口.同樣，光子通過H2和X后，演化結(jié)果由下式給出

我們應該省略右極化光子的那一項，因為它們將被檢測器D吸收，從而導致態(tài)變?yōu)?/p>

4 成功概率與實驗可行性

在以前的基于腔量子電動力學的方案中，光子損耗、腔衰減、原子自發(fā)輻射和不完全耦合率等非預期的實驗有害因素可能會降低方案的保真度并引起計算錯誤.因此，為了達到高的保真度，參數(shù)和 g2＞ ＞ κTγ(κT= κ+κs)是需要的［15～18］.但是在我們的方案中，由于反射系數(shù)r1和r0只出現(xiàn)在全局系數(shù)中，因此計算錯誤被映射到預示性的光子探測中.因此，方案的保真度僅與單量子比特操作有關，而由局域?qū)嶒炄毕菀鸬腻e誤只會降低成功概率，而不會降低保真度.利用光子與量子點之間自避錯的相位反轉(zhuǎn)門，我們構造了光子量子點的Bell態(tài)分析器，它可以在自避錯模式下工作.

圖3 實線和虛線分別是無回收程序的相位反轉(zhuǎn)門的成功概率與g/κ的函數(shù)關系，當κs=0.2κ和κs=0.1κ.這里取ω =ωc= ωX－，γ =0.1κ，這些在實驗上可以實現(xiàn).Fig.3 The solid line and the dashed line are success probabilities of the CPF gate without recycling procedure vs g/κ for κs=0.1κ and κs=0.2κ ，respectively.γ =0.1κ，which is experimentally achievable，and ω = ωc= ωX－ are taken here.

當利用理想單光子探測器，即使在幾乎真實的條件下，單光子探測器的未響應也標志著具有魯棒保真度的相位反轉(zhuǎn)門的成功，這對于光子量子比特的Bell態(tài)分析至關重要.探測器D探測到右圓偏振的一個光子的概率是

它等于無回收程序的相位反轉(zhuǎn)門的成功概率.

在自避錯相位反轉(zhuǎn)門過程中，單光子探測器D的響應表明相位反轉(zhuǎn)門失敗.如公式(5)所示，當圖2中的單光子探測器響應時，量子點自旋被投射到|ψ+〉狀態(tài)，這與量子點自旋的初始狀態(tài)完全相同.發(fā)生這種情況的概率為

我們可以輸入另一個處于|φ〉p狀態(tài)的光子，重復相同的步驟，直到探測器沒有探測到光子.這一過程可能最終將量子點-光子系統(tǒng)投射到所需的態(tài)|ψ〉3，從而使相位反轉(zhuǎn)門的成功概率更高.當使用一個每秒產(chǎn)生10 000個單光子的高效單光子源時［40］，我們可以在短時間內(nèi)完成該方案.

考慮到回收過程，自避錯相位反轉(zhuǎn)門的總成功概率ξt為

同樣地，根據(jù)方程(10)，我們得到了光子的Bell態(tài)分析成功概率為

為了簡單起見，我們首先取η=1，因為它不會影響保真度，只降低我們方案的成功概率.我們在圖3中繪制了不使用再循環(huán)程序的受控相位翻轉(zhuǎn)門的成功概率ξs作為比率g/κ的函數(shù).當光子與空腔共振時，g/κ=2并且γ/κ =0.1時，在共振散射的情況下，總成功概率可以分別達到ξt=0.664和ξt=0.468當κs/κ=0.1和κs/κ=0.2時.此外，在基于腔量子電動力學的方案中，單光子脈沖線寬通常會引入額外的失真度［15～18］.但是，就像利用單色光子波包那樣，它不會給現(xiàn)有方案帶來計算錯誤［30］.考慮到計算錯誤成功概率的降低，實際輸入-輸出耦合率η＜1［39］，我們的方案可能會比以前的方案更有效和實用.

5 總結(jié)

綜上所述，利用一個量子點-單邊腔單元，我們提出了一種自避錯形式的光子與量子點自旋之間的相位反轉(zhuǎn)門，雙光子系統(tǒng)極化自由度的Bell態(tài)分析方案.實驗缺陷會降低成功率，而不會降低保真度，這與以往的光子與量子點腔系統(tǒng)相互作用的方案有很大的不同，因此這些方案具有固有的魯棒性，比以前的方案更實用.所有的優(yōu)點都保證了目前的方案在實際的量子計算和未來的量子通信中的應用.