裴秀艷

運(yùn)城職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)課教學(xué)部，山西 運(yùn)城 044000

0 引言

排隊(duì)現(xiàn)象在日常生活中司空見(jiàn)慣，現(xiàn)實(shí)生活中的排隊(duì)，包含有形的排隊(duì)，比如人們?cè)诔信抨?duì)等待收銀;在醫(yī)院就醫(yī)排隊(duì)叫號(hào)，分診預(yù)約，等待檢查;在銀行辦理業(yè)務(wù)時(shí)，客戶排隊(duì)等待接受服務(wù)等等.還有一些排隊(duì)，比如等待打印的文件，網(wǎng)絡(luò)或者電話訂票等都屬于無(wú)形的排隊(duì).由此，排隊(duì)模型可以是關(guān)于人的排隊(duì)，也可以是關(guān)于物的排隊(duì).

關(guān)于負(fù)顧客的排隊(duì)模型已有大量的研究［1］，負(fù)顧客即負(fù)因子是相對(duì)于正常接受服務(wù)的顧客而言的，它可以看成是業(yè)務(wù)員操作時(shí)的一次失誤操作或者是服務(wù)系統(tǒng)的一次災(zāi)難，比如:計(jì)算機(jī)受到病毒的攻擊或者突然的斷電等等.負(fù)顧客為一類特殊的顧客，它不接受服務(wù)，但是它的到來(lái)會(huì)移除部分或全部正在接受服務(wù)的正顧客［2］.此外，還可將負(fù)顧客看成是一個(gè)誘發(fā)因子，它可將客戶從一個(gè)隊(duì)列轉(zhuǎn)移到另一個(gè)隊(duì)列.本文以排隊(duì)論的相關(guān)理論為依據(jù)，研究了一類帶有負(fù)顧客，且銀行柜員具有隨機(jī)休假，客戶可重試接受服務(wù)的可修排隊(duì)，將柜員隨機(jī)休假，客戶的重試這些實(shí)際情況考慮其中，具有更現(xiàn)實(shí)的應(yīng)用意義.

1 排隊(duì)論簡(jiǎn)介

1.1 排隊(duì)論的發(fā)展

排隊(duì)論是運(yùn)籌學(xué)的重要組成部分，也稱為隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng).排隊(duì)論起源于20世紀(jì)初丹麥數(shù)學(xué)家，電氣工程師Erlang對(duì)通訊系統(tǒng)的研究.第二次世界大戰(zhàn)后，排隊(duì)論得到迅猛的發(fā)展，它逐漸滲透到經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)、服務(wù)管理及國(guó)防等諸多方面.費(fèi)勒(W.Feller)在20世紀(jì)30年代中期在排隊(duì)論中引入擬生滅過(guò)程，至此，排隊(duì)論才被公認(rèn)為是一門重要的學(xué)科.隨后，肯德?tīng)?D.G.kendall)采用嵌入馬氏鏈的方法研究排隊(duì)論，使其得到進(jìn)一步發(fā)展.從此，大量的學(xué)者開始研究有關(guān)排隊(duì)論的課題，許多問(wèn)題都得到了精確地解決，排隊(duì)論也有了更廣泛的應(yīng)用.

1.2 排隊(duì)系統(tǒng)各部分組成

排隊(duì)系統(tǒng)［3］的結(jié)構(gòu)包括:輸入過(guò)程、排隊(duì)規(guī)則、服務(wù)過(guò)程三個(gè)部分，其一般結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 排隊(duì)系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)Fig.1 General structure of queuing system

(1)輸入過(guò)程:指客戶按照怎樣的規(guī)則到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)，一般來(lái)說(shuō)客戶源可以是有限的，也可以是無(wú)限的，到達(dá)系統(tǒng)可以單個(gè)到達(dá)，也可以成批到達(dá).顧客到達(dá)的時(shí)間間隔可服從如下概率分布、泊松分布、負(fù)指數(shù)分布、幾何分布、一般分布、超幾何分布等.

(2)排隊(duì)規(guī)則:損失制、等待制、混合制為排隊(duì)論中的排隊(duì)規(guī)則.損失制指客戶到達(dá)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)后，若遇見(jiàn)服務(wù)臺(tái)繁忙，則不進(jìn)入等候隊(duì)列而主動(dòng)離開系統(tǒng);等待制指客戶到達(dá)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)后，若遇見(jiàn)服務(wù)臺(tái)繁忙，則等待接受服務(wù)，其服務(wù)規(guī)則為:先到先服務(wù)、后到先服務(wù)、隨機(jī)抽取顧客服務(wù)等形式;混合制指損失制和等待制的綜合形式.

(3)服務(wù)過(guò)程:描述服務(wù)臺(tái)的服務(wù)模式:a.服務(wù)臺(tái)數(shù):是單個(gè)服務(wù)臺(tái)還是多個(gè)服務(wù)臺(tái);b.各服務(wù)臺(tái)之間的關(guān)聯(lián)，是串聯(lián)服務(wù)還是并聯(lián)服務(wù);c.服務(wù)形式:是單個(gè)對(duì)客戶進(jìn)行服務(wù)還是批量服務(wù)，以及服務(wù)員的休假規(guī)則，顧客的重試規(guī)則等情況.

1.3 排隊(duì)系統(tǒng)的符號(hào)表示

排隊(duì)系統(tǒng)的模型一般用符號(hào)A/B/C/D來(lái)表示，其中A表示客戶的到達(dá)時(shí)間分布;B表示客戶接受服務(wù)的服務(wù)時(shí)間分布;C表示隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中擁有的服務(wù)臺(tái)數(shù);D表示隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中允許的容納隊(duì)長(zhǎng).排隊(duì)系統(tǒng)中用M表示指數(shù)分布，用G表示一般分布，且假設(shè)到達(dá)的時(shí)間間隔為獨(dú)立的隨機(jī)分布序列.

2 銀行排隊(duì)模型的建立

銀行排隊(duì)系統(tǒng)中，服務(wù)臺(tái)為銀行柜臺(tái)，排隊(duì)等待接受服務(wù)的客戶稱為顧客，它們組成排隊(duì)系統(tǒng)，即隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，以下對(duì)該休假重試［4］M/G/1排隊(duì)可修排隊(duì)模型描述如下:

(1)假設(shè)該模型中存在正、負(fù)兩類不同的顧客，它們分別以λ+和λ－為參數(shù)的泊松過(guò)程到達(dá)，系統(tǒng)中服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)為1，負(fù)顧客不接受服務(wù).當(dāng)服務(wù)臺(tái)工作時(shí)，到達(dá)的負(fù)顧客導(dǎo)致服務(wù)器故障，并帶走一名正在接受服務(wù)的顧客(正顧客);當(dāng)服務(wù)臺(tái)空閑或休假時(shí)，負(fù)顧客不影響服務(wù)臺(tái).

(2)假設(shè)該模型的排隊(duì)規(guī)則為損失制，若服務(wù)臺(tái)空閑，正顧客到達(dá)時(shí)可當(dāng)即被服務(wù);若服務(wù)臺(tái)忙碌或休假，正顧客到達(dá)后可進(jìn)入Orbit(重試區(qū))中，Orbit中的顧客按參數(shù)為σ的指數(shù)分布反復(fù)重試，直到服務(wù)臺(tái)空閑，即可接受服務(wù).

(3)系統(tǒng)中服務(wù)員在空閑或工作時(shí)均可休假，休假到來(lái)時(shí)，被服務(wù)的顧客被迫進(jìn)入Orbit，中斷服務(wù).休假終止時(shí)，中斷服務(wù)的顧客可重新接受服務(wù)，若Orbit中有顧客，則先服務(wù)Orbit中的顧客;若Orbit中無(wú)顧客，等待到達(dá)的新顧客.休假間隔遵循參數(shù)為η的指數(shù)分布.

(4)故障的服務(wù)臺(tái)會(huì)及時(shí)修理，且能修復(fù)如新.假設(shè)服務(wù)顧客的時(shí)間為G(x)，服務(wù)員的休假長(zhǎng)度為V(x)，故障維修時(shí)間H(x)均為一般連續(xù)型隨機(jī)變量，服從如下分布:

3 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)方程組及其求解

3.1 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)方程組

設(shè)tn為完成服務(wù)或者是完成故障修復(fù)的時(shí)刻，則{tn，n∈N}為一組連續(xù)的時(shí)間序列.記n=tn－tn－1為第n個(gè)正顧客從重試到完成服務(wù)的時(shí)間段，即:n為第n個(gè)顧客服務(wù)期間的重試時(shí)間、故障修復(fù)時(shí)間、休假時(shí)間總和.為了建立分布函數(shù)(x)，構(gòu)建一個(gè)新的排隊(duì)系統(tǒng)，設(shè)t=0系統(tǒng)處于空閑狀態(tài)，被觀察的顧客離開系統(tǒng)時(shí)的狀態(tài)定義為嵌入馬氏鏈的吸收態(tài).用I(t)表示服務(wù)臺(tái)在t時(shí)刻的狀態(tài)，有如下定義:

穩(wěn)態(tài)條件下，令N(t)表示t時(shí)刻位于Orbit(重試區(qū))中的(正)顧客數(shù)，上述I(t)表示服務(wù)臺(tái)所處的不同狀態(tài)，特定系統(tǒng)各時(shí)期的狀態(tài)概率如下:

分析可得穩(wěn)態(tài)情況下系統(tǒng)的微分方程組:

其中，σn，m是Kronecker函數(shù)，穩(wěn)態(tài)下的邊界條件:

3.2 模型求解

定義如下母函數(shù)(|z|≤1)，以便求解上述方程組:

分別將(1)式 ～(7)式兩端乘以zn關(guān)于n≥0求和可得:

4 相關(guān)性能指標(biāo)

5 數(shù)值分析

以銀行的實(shí)際數(shù)據(jù)為依托，設(shè)定該模型中的系統(tǒng)參數(shù)，研究不同參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)服務(wù)性能各項(xiàng)指標(biāo)的影響.

設(shè)G(t)，V(t)，H(t)均服從參數(shù)為μs，μv，μr的負(fù)指數(shù)分布.分別考察λ－，η和σ對(duì)各排隊(duì)指標(biāo)的影響.固定參數(shù) μs=1/u=5，μv=1/v=3，μr=1/r=7，λ+=2，此時(shí)當(dāng)λ－，η，σ 取不同值時(shí)，得到表1 ～表3.

表1 λ－取不同值時(shí)，系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)(σ，η)=(5，0.6)Tab.1 When different λ－ are taken，various performance indexes of the system(σ，η)=(5，0.6)

表2 η取不同值時(shí)，系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)(λ－，σ)=(0.2，5)Tab.2 When different η are taken，various performance indexes of the system(λ－，σ)=(0.2，5)

表3 σ 取不同值時(shí)，系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)(λ－，η)=(0.2，0.6).Tab.3.When different σ are taken，various performance indexes of the system(λ－，η)=(0.2，0.6)

表1的數(shù)值結(jié)果顯示，若參數(shù)(σ，η)=(5，0.6)固定時(shí)，Ps，PV會(huì)隨著負(fù)顧客到達(dá)率λ－的增加而逐漸遞減，而PR會(huì)隨著λ－的增加逐漸遞增.表2的數(shù)值結(jié)果顯示，若參數(shù)(λ－，σ)=(0.2，5)固定時(shí)，PV會(huì)隨著休假率η的增加而呈逐漸遞增的趨勢(shì)，但PS，PR不受η的變化影響.表3的數(shù)值結(jié)果顯示，若參數(shù)(λ－，η)=(0.2，0.6)固定時(shí)，排隊(duì)指標(biāo)不受重試率σ影響.因此，作為銀行來(lái)說(shuō)要維護(hù)系統(tǒng)的平穩(wěn)運(yùn)行，應(yīng)盡量減少負(fù)顧客的到達(dá)率，降低顧客損失率，從而提高服務(wù)系統(tǒng)的可靠度.

其次，在參數(shù)μs=1/u=5，μv=1/v=3，μr=1/r=7，λ+=2確定的情況下，休假率η取不同值時(shí)，考察λ－對(duì)平均隊(duì)長(zhǎng)E(Ls)的影響，見(jiàn)圖2.

從圖2可看出:(1) 參數(shù)μs，μv，μr，λ+，σ，η被固定時(shí)，平均隊(duì)長(zhǎng)E(Ls) 會(huì)隨著負(fù)顧客到達(dá)率λ－的逐漸增大而遞減.到達(dá)的負(fù)顧客降低了系統(tǒng)的平均隊(duì)長(zhǎng)，卻也降低了服務(wù)的滿意度，因此要盡量減少負(fù)顧客的到達(dá).(2) 參數(shù)μs，μv，μr，λ+，λ－，σ被固定時(shí)，服務(wù)員的休假率η越大，平均隊(duì)長(zhǎng)越大，所以銀行要在滿足客戶需求的情況下，增加服務(wù)員的休假率，從而保證柜員適當(dāng)?shù)男菹r(shí)間，同時(shí)進(jìn)一步提高服務(wù)質(zhì)量和服務(wù)效率.(3)當(dāng)λ－無(wú)限大時(shí)，E(Ls)的取值趨于平穩(wěn)，且當(dāng)時(shí)，E(Ls) 的取值存在.例:當(dāng)η=0.6時(shí)，

再次，考慮服務(wù)員休假率η對(duì)系統(tǒng)平均隊(duì)長(zhǎng)E(Ls)的影響.固定系統(tǒng)參數(shù)μs=1/u=5，μv=1/v=3，μr=1/r=7，λ+=2，此時(shí)變化λ－的取值，考察平均隊(duì)長(zhǎng)E(Ls)受休假率η的影響，見(jiàn)圖3.

從圖3 可看出:(1) 參數(shù) μs，μv，μr，λ+，σ，λ－被固定時(shí)，隨著休假率 η 的逐漸增大，平均隊(duì)長(zhǎng) E(Ls) 逐漸遞增.因?yàn)樾菁龠^(guò)程會(huì)增加重試區(qū)域中的等待人數(shù)，從而增加系統(tǒng)的平均隊(duì)長(zhǎng).(2)休假率η越大，對(duì)系統(tǒng)的平均隊(duì)長(zhǎng)的影響也越大.

6 小結(jié)

本文討論了帶隨機(jī)休假策略，且負(fù)顧客到達(dá)引起服務(wù)臺(tái)故障的重試可修排隊(duì).借助吸收狀態(tài)的馬氏鏈求T的分布，得到“廣義服務(wù)時(shí)間”分布的Laplace-Stieltjes變換.利用補(bǔ)充變量法，根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移，列出穩(wěn)態(tài)方程并對(duì)方程組進(jìn)行求解，在滿足系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分布的條件下，得到了系統(tǒng)在不同時(shí)期狀態(tài)下穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)概率母函數(shù)的具體表達(dá)式.最后，通過(guò)實(shí)際的算例，用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)反映出主要參數(shù)對(duì)系統(tǒng)排隊(duì)指標(biāo)的影響.

圖2 負(fù)顧客到達(dá)率對(duì)系統(tǒng)平均隊(duì)長(zhǎng)的影響Fig.2 Mean queue length influence by negative customer arrival rate

圖3 休假率對(duì)系統(tǒng)平均隊(duì)長(zhǎng)的影響Fig.3 Mean queue length influence by vacation rate