鳳寶林　喬興

摘 要：運(yùn)用補(bǔ)充變量法和馬爾科夫過程理論給出了可修復(fù)四機(jī)器人安全系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型.基于抽象柯西問題理論構(gòu)建抽象柯西問題系統(tǒng)模型，運(yùn)用半群理論解決此類系統(tǒng)解的適定性，在可修復(fù)機(jī)器人安全系統(tǒng)中引入預(yù)警功能.

關(guān)鍵詞：預(yù)警功能;四機(jī)器人安全系統(tǒng);數(shù)學(xué)模型

[中圖分類號(hào)]C94?? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

Construction of Mathematical Model of Four-robot SafetySystem with Early Warning Function

FENG Baolin1，QIAO Xing2*

（1.Mudanjiang Normal University School of Mathematical Sciences，Mudanjiang 157011，China;2.Daqing Normal University Department of Mathematics，Daqing 163712，China）

Abstract：In order to ensure the safety and reliability of the system and avoid unexpected accidents，the early warning function is introduced into the repairable robot safety system，and the Markov process theory and supplementary variable method are used to construct a mathematical model of the four-robot safety system with early warning function.Constructing the abstract Cauchy problem system model based on the abstract Cauchy problem theory，to solve the well-posedness of such system solutions by the facilitates use of semigroup theory.

Key words：early warning function;four robots safety systems;mathematical model

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，機(jī)器人得到廣泛的應(yīng)用.機(jī)器人替代人類在危險(xiǎn)環(huán)境中完成各種困難和復(fù)雜的任務(wù)，其安全系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性就成為人們關(guān)注的熱點(diǎn).機(jī)器人安全可靠研究取得了很大進(jìn)展，但仍有很大的改進(jìn)空間.具有預(yù)警功能的機(jī)器人安全系統(tǒng)可以在危險(xiǎn)發(fā)生之前預(yù)先報(bào)警，給經(jīng)營(yíng)管理者發(fā)出報(bào)警信號(hào)，進(jìn)而可以有充分時(shí)間預(yù)判即將要發(fā)生的各種突發(fā)災(zāi)害，減少災(zāi)害給社會(huì)帶來的經(jīng)濟(jì)損失.為保證系統(tǒng)的安全可靠，避免突發(fā)事故的發(fā)生，本文在可修復(fù)機(jī)器人安全系統(tǒng)中引入預(yù)警功能.運(yùn)用馬爾科夫過程理論和補(bǔ)充變量法構(gòu)建具有預(yù)警功能的四機(jī)器人安全系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，基于抽象柯西問題理論構(gòu)建抽象柯西問題系統(tǒng)模型，運(yùn)用半群理論解決此類系統(tǒng)解的適定性.

1 系統(tǒng)模型介紹

機(jī)器人是一個(gè)包括機(jī)械、電子、電氣、液壓氣動(dòng)、計(jì)算機(jī)等多學(xué)種類型的元部件和控制軟件在內(nèi)的復(fù)雜系統(tǒng)，其可靠性、安全性研究相對(duì)來說比較復(fù)雜.為了更清楚地考慮這個(gè)問題，本文假設(shè)機(jī)器人安全系統(tǒng)由四個(gè)機(jī)器人、安全裝置和一名修理工組成.假設(shè)整個(gè)系統(tǒng)不考慮修理和替換過程，在t=0時(shí)刻開始運(yùn)行.在t=0時(shí)刻，所有機(jī)器人和安全裝置都是新的，系統(tǒng)開始正常運(yùn)轉(zhuǎn)，修理工開始休假.如果系統(tǒng)出現(xiàn)故障時(shí)，修理工立即終止休假，進(jìn)入維修故障系統(tǒng)狀態(tài).假設(shè)：

（1）故障是隨機(jī)獨(dú)立的.

（2）整個(gè)系統(tǒng)由四個(gè)機(jī)器人+安全裝置+三個(gè)冗余熱備機(jī)器人構(gòu)成.

（3）四個(gè)機(jī)器人完全相同且修復(fù)如新.

（4）只有當(dāng)四個(gè)機(jī)器人都失效時(shí)（或由常規(guī)原因?qū)е碌陌踩b置失效），整個(gè)系統(tǒng)處于故障狀態(tài).

（5）系統(tǒng)處于狀態(tài)i的壽命Xi分布為：FXi（t）=1-e-λcit，t≥0，λci≥0，i=0，1，2，3，

修理時(shí)間的分布函數(shù)是Gc（t）=∫t0gc（x）dx=1-e-μct，t≥0，μc≥0.

（6）正常工作狀態(tài)機(jī)器人的壽命X的分布為：Fx（t）=1-eλt，t≥0，λ≥0，

修理時(shí)間的分布函數(shù)是G1（t）=∫t0g1（x）dx=1-e-μt，t≥0，μ≥0.

（7）熱儲(chǔ)備狀態(tài)機(jī)器人壽命Y1的分布為：

FY1（t）=1-e-αt，t≥0，α≥0.

（8）安全裝置修復(fù)如新，安全裝置的壽命Y的分布為：

FY（t）=1-e-λst，t≥0，λs≥0，

修理時(shí)間的分布函數(shù)是

G2（t）=∫t0g2（x）dx.

（9）令Xi（i=4，5）是系統(tǒng)每次故障所需的維修時(shí)間，具有分布函數(shù)Gi（x）和概率密度函數(shù)gi（x）且滿足：

Gi（t）=∫t0gi（x）dx=1-e-∫t0μi（x）dx，

且

E[Xi]=1μi.

（10）X，Y，Y1，Xi（i=0，1，2，3，4，5）是相互獨(dú)立的.

若用N（t）表示t時(shí)刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)，則系統(tǒng)有6種狀態(tài)：

狀態(tài)0 一個(gè)機(jī)器人和安全裝置工作，三個(gè)機(jī)器人熱備狀態(tài);

狀態(tài)1 一個(gè)機(jī)器人和安全裝置工作，一個(gè)機(jī)器人發(fā)生故障，兩個(gè)機(jī)器人熱備狀態(tài);

狀態(tài)2 一個(gè)機(jī)器人和安全裝置工作，兩個(gè)機(jī)器人發(fā)生故障，一個(gè)機(jī)器人熱備狀態(tài);

狀態(tài)3 一個(gè)機(jī)器人和安全裝置工作，三個(gè)機(jī)器人發(fā)生故障的狀態(tài);

狀態(tài)4 四個(gè)機(jī)器人均發(fā)生故障的狀態(tài);

狀態(tài)5 安全裝置發(fā)生故障時(shí)系統(tǒng)所處的狀態(tài);

狀態(tài)c 常規(guī)故障系統(tǒng)所處的狀態(tài).

N（t），t≥0并不是Markov過程，但可以利用補(bǔ)充變量的方法使之成為一高維Markov過程：

假設(shè)故障系統(tǒng)正處于維修狀態(tài)，令Xi（t）（i=4，5）表示開始執(zhí)行維修到當(dāng)前為止的維修用時(shí)，令

Z（t）=N（t），N（t）=0，1，2，3cN（t），X4（t），N（t）=4N（t），X5（t），N（t）=5.

顯然，Z（t），t≥0構(gòu)成Markov過程.令Pi（t）（i=0，1，2，3，c）表示t時(shí)刻系統(tǒng)處于狀態(tài)i的概率，Pi（t，x）（i=4，5）表示t時(shí)刻系統(tǒng)處于狀態(tài)i并且故障部分已經(jīng)維修了x時(shí)間的概率密度，即

Pi（t）=PN（t）=i（i=0，1，2，3，c），Pi（t，x）dx=Px

系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖1所示：

? 由概率分析可得與圖1中所描述的模型相關(guān)聯(lián)的積分微分方程組為[1-2]：

其中，λ表示運(yùn)行系統(tǒng)機(jī)器人由本身原因引起的損壞率，λci表示在狀態(tài)i系統(tǒng)發(fā)生常規(guī)故障率（i=0，1，2，3），λs表示運(yùn)行系統(tǒng)發(fā)生人為故障率，α表示熱備機(jī)器人的損壞率，μ表示運(yùn)行機(jī)器人的常數(shù)修復(fù)率，μc表示運(yùn)行系統(tǒng)的常數(shù)修復(fù)率，Pi（t）表示t時(shí)刻系統(tǒng)處于狀態(tài)i的概率（i=0，1，2，3，c），Pi（t，x）表示t時(shí)刻系統(tǒng)處于狀態(tài)i且已修時(shí)間x的概率，（x，t）∈[0，∞）×[0，∞）.μi（x）表示x時(shí)刻系統(tǒng)處于狀態(tài)i時(shí)的修復(fù)率，且滿足

記作：

2 基于抽象柯西問題構(gòu)建系統(tǒng)模型

為方便后面討論，把系統(tǒng)方程（1）-（9）轉(zhuǎn)化為Banach空間中的一個(gè)抽象Cauchy問題.

設(shè)X定義為：

其中，P=P0，P1，P2，P3，Pc，P4（x），P5（x）.很容易證明X，·是一個(gè)Banach空間.

定義算子A，B：

是絕對(duì)連續(xù)函數(shù)且滿足

因此，系統(tǒng)方程（1）-（9）可改寫成Banach空中的抽象柯西問題[3]（ACP）：

3 結(jié)束語

本文運(yùn)用補(bǔ)充變量法和馬爾科夫過程理論給出了可修復(fù)四機(jī)器人安全系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，為了今后運(yùn)用半群理論討論此類問題解的存在唯一，基于抽象柯西問題理論構(gòu)建一個(gè)巴拿赫空間中的抽象柯西問題模型.

參考文獻(xiàn)

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編輯：吳楠

? 收稿日期：2020-10-07

基金項(xiàng)目：牡丹江市2018年指導(dǎo)性科技計(jì)劃項(xiàng)目技術(shù)攻關(guān)項(xiàng)目（G2018q2465）;黑龍江省省屬高等學(xué)校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)科研項(xiàng)目（1353MSYYB017）

作者簡(jiǎn)介：鳳寶林（1980-），男，吉林公主嶺人.副教授，碩士，主要從事系統(tǒng)可靠性和算子理論研究;喬興（1978-），男，吉林松原人.副教授，博士，主要從事系統(tǒng)可靠性和算子理論研究.