胡德義，賀 丹

(沈陽航空航天大學(xué) 遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點實驗室，沈陽 110136)

隨著纖維復(fù)合材料在濕熱環(huán)境中的廣泛應(yīng)用，準(zhǔn)確預(yù)測其在濕熱載荷作用下的力學(xué)響應(yīng)變得愈加重要。Lee等[1]基于Kirchhoff經(jīng)典層合板理論(CPT)研究了在不同邊界條件下，濕熱效應(yīng)對橫向載荷作用下層合板彎曲的影響。CPT的缺點在于忽略了橫向剪切變形的影響，因此不能反映出濕熱載荷引起的橫向剪切應(yīng)力，而橫向剪切應(yīng)力恰恰是造成復(fù)合材料層合板分層破壞的主要原因之一。Reddy和Hsu[2]基于Mindlin[3]的一階剪切變形理論(FSDT)，并采用了一種新型有限單元，對復(fù)合材料層合板進行熱分析。Sai Ram和Sinha[4,5]采用二次等參板彎曲單元，并結(jié)合FSDT研究了濕熱對層合板彎曲和自由振動行為的影響。FSDT雖然能計算橫向剪切應(yīng)力，但精度不高，且需要引入一個橫向剪切修正因子。為了克服FSDT的缺點，人們開始研究高階理論并對層合板進行濕熱分析。Reddy[6]提出了一種著名的三階剪切變形理論(TSDT)，其位移為厚度方向坐標(biāo)的三次函數(shù)，可自然滿足自由表面條件，且不需要引入剪切修正因子，他們將這種理論運用于復(fù)合材料層合板的機械/熱分析，預(yù)測結(jié)果與精確解吻合良好。Khdeir和Reddy[7]采用了精細(xì)板理論對正角鋪設(shè)層合板進行了熱分析。Savoia和Reddy[8]為簡支各向異性層合板的熱應(yīng)力提供了一種三維彈性解。Ali，Bhaskar和Varadan[9]提出了一種位移場中包含一個zigzag函數(shù)項的高階理論，并對對稱層合板進行了熱分析。展全偉等[10]對濕熱環(huán)境下開孔復(fù)合材料層合板的力學(xué)性能進行了試驗測定，其結(jié)果表明，濕熱會降低壓縮強度、剛度等材料性能。劉述倫等[11]基于細(xì)觀力學(xué)理論對濕熱環(huán)境下的纖維增強復(fù)合材料層合板進行了屈曲分析。吳振等[12]基于高階整體-局部理論對濕熱載荷下復(fù)合材料層合板進行了力學(xué)性能分析，并考慮了橫向剪切力連續(xù)條件和橫法向正應(yīng)變，給出了更為準(zhǔn)確的橫向剪切應(yīng)力。

Karama，Afaq和Mistou[13]提出了一種新穎的指數(shù)剪切變形理論(ESDT)，其位移模型中除線性項外，還包含了一個指數(shù)項，但未知變量的個數(shù)與FSDT相同。他們的研究結(jié)果表明，ESDT所預(yù)測的撓度和應(yīng)力結(jié)果都與精確解吻合良好。然而，他們的研究工作還沒有推廣到濕熱耦合作用的復(fù)雜情況。本文的主要目的是基于ESDT理論給出一種模型來準(zhǔn)確的預(yù)測層合板在濕熱載荷耦合作用下的位移和應(yīng)力響應(yīng)。

1 指數(shù)剪切變形理論

考慮一個如圖1所示的N層矩形層合板，長為a，寬為b，厚度為h。中平面定義為z=0，上下表面分別為z=±h/2。

層合板某一點(x,y,z)處的位移場可以表示為

(1)

其中，u,v,w分別為沿x軸、y軸和z軸的位移，u0,v0,w0為中面處位移。u0,v0,w0,φ,ψ都是關(guān)于x和y的函數(shù)?！?x’和‘,y’分別表示對x和y求偏導(dǎo)數(shù)。F(z)是關(guān)于z的指數(shù)函數(shù)，F(xiàn)(z)=ze-2(z/h)2。由式(1)可得到應(yīng)變分量為

圖1 交叉層合板的幾何尺寸、坐標(biāo)系和外載荷

(2)

層合板中第k層的本構(gòu)關(guān)系可以寫成

(3)

(4)

其中，c=cosθk，s=sinθk，θk為鋪層角度，Qij為層合板的材料剛度，即

(5)

其中，Δ=1-vxyvyx-vyzvzy-vxzvzx-2vyxvzyvxz，Ei為材料的彈性模量，vij為泊松比，Gij為剪切模量，此處i、j表示按x、y、z輪換。

通過對式(3)在厚度上積分，可以得到層合板的內(nèi)力和內(nèi)力矩

(6)

2 平衡方程和邊界條件

由虛功原理可得

(7)

對式(7)進行分部積分，并令δu、δv、δw、δφ和δψ的系數(shù)為零，可以得到以內(nèi)力表示的平衡方程為

(8)

對應(yīng)的邊界條件為

(9)

平衡方程亦可用未知變量u0，v0，w0，φ和ψ重新表示為

δu0:

(10)

δv0:

(11)

δw0:

(12)

δφ:

(13)

δψ:

(14)

式中

(15)

(16)

3 算例分析

3.1 四邊簡支正交鋪設(shè)層合板的求解

考慮一個如圖1所示的受濕熱載荷作用的正交鋪設(shè)的(0°/90°/0°)三層板，各單層的厚度與材料均相同。其幾何參數(shù)為a/h=10，a/b=1；邊界條件為四邊簡支

atx=0，x=a:v0=w=ψ=ω=Nx=Mx=Sx=0

aty=0，y=b:u0=w=φ=ω=Ny=My=Sy=0

(17)

層合板所受的溫度場和濕度場為

(18)

其中，下標(biāo)1、2和3分別表示與x、y和z方向相關(guān)的屬性。

橫向機械載荷q、溫度載荷Tm和濕度載荷Cm分別為

(19)

(20)

此外，對于正交鋪設(shè)層合板，有αxy=0，βxy=0。

滿足邊界條件的位移試函數(shù)可取為

(21)

式(21)中，Uij，Vij，Wij，Φij和Ψij為待定參數(shù)。將式(15)～(21)代入式(10)～(14)中，得到如下矩陣方程

[K]{Δ}={f}

(22)

其中，剛度矩陣[K]的元素為

K11=-(A11α2+A66β2),K12=-(A12+A66)αβ,K13=B11α3+(B12+2B66)aβ2,

(23)

位移向量為

{Δ}={Uij,Vij,Wij,Φij,Ψij}T

(24)

載荷向量{f}的元素為

(25)

根據(jù)方程(22)，可求出未知系數(shù)Uij，Vij，Wij，Φij和Ψij。將這些系數(shù)代入式(21)中，得到相應(yīng)的位移和應(yīng)力。橫向剪切應(yīng)力通過三維平衡方程來計算，因此可自然滿足層間的剪應(yīng)力連續(xù)條件。

(26)

3.2 結(jié)果分析

首先通過與三維彈性解進行比較，證明了在熱載荷單獨作用時，本文模型給出的位移和應(yīng)力解具有良好的精度；然后研究了濕、熱載荷共同作用時層合板的位移和應(yīng)力響應(yīng)，并與文獻中的結(jié)果進行了對比。

層合板的材料參數(shù)取為

(27)

為了便于比較，對結(jié)果進行如下無量綱處理

(28)

表1給出了不同理論給出的層合板受載時

表2中的所有結(jié)果是根據(jù)理論計算所得，其顯示了熱和濕熱條件下正應(yīng)力和剪切應(yīng)力在不同a/h下的值，從表2中數(shù)據(jù)可以看出，本文模型預(yù)測的應(yīng)力值與精確解吻合良好。FSDT低估了面內(nèi)應(yīng)力值；CPT則因為完全忽略了橫向剪切變形，導(dǎo)致應(yīng)力計算結(jié)果的誤差更大。從結(jié)果也可以看出，濕載荷對應(yīng)力的影響也非常明顯。

表2 濕、熱載荷共同作用時層合板的應(yīng)力

圖2為熱載荷和濕、熱載荷作用兩種情況下，撓度w隨邊厚比(a/h)的變化。從圖2可以看出，當(dāng)邊厚比小于50時，CPT的誤差就開始變得明顯。FSDT的精度雖然好于CPT，但其總是傾向于低估板的撓度。另外，還可以看出濕載荷明顯增大了板的撓度。隨著a/h值得增大，不同理論的預(yù)測值趨于一致。

圖3a和圖3b分別為熱載荷和濕、熱載荷作用兩種情況下，面內(nèi)位移u沿厚度z方向的變化。幾種理論的預(yù)測結(jié)果基本一致，且濕載荷明顯增大了面內(nèi)位移。

圖2 撓度w隨邊厚比(a/h)的變化

圖3 面內(nèi)位移u沿厚度z方向的分布

圖4和圖5給出了熱載荷和濕、熱載荷作用兩種情況下正應(yīng)力σx和σy沿厚度方向的變化圖。其中CPT對σy的預(yù)測結(jié)果與其他幾種理論的預(yù)測相差較大，且濕載荷明顯增大了正應(yīng)力。

圖4 正應(yīng)力σx沿厚度方向的分布

圖6給出了面內(nèi)剪切應(yīng)力τxy在厚度上的分布情況，可以看出各種理論的預(yù)測結(jié)果是基本一致的，且濕載荷明顯增大了面內(nèi)剪切應(yīng)力。

圖7和圖8給橫向剪切應(yīng)力τzx和τyz在z方向上的分布。其中，層間界面的橫向剪應(yīng)力均為利用三維平衡方程求得，因此自然滿足層間界面的連續(xù)條件。從圖中可以看出，本文模型和TSDT的預(yù)測結(jié)果比較接近，CPT的預(yù)測結(jié)果偏大。另外，濕載荷明顯增大了橫向剪切應(yīng)力。

圖5 正應(yīng)力σy沿厚度的分布

圖6 面內(nèi)剪切應(yīng)力τxy在厚度上的分布

圖7 橫向剪切應(yīng)力τzx沿厚度的分布

圖8 橫向剪切應(yīng)力τyz沿厚度的分布

4 結(jié)論

本文基于指數(shù)剪切變形理論建立了機械、濕、熱載荷耦合作用的層合板靜力分析模型，并以正交鋪設(shè)層合板為例進行了計算和分析，結(jié)論如下：

(1)對于熱載荷單獨作用的情況，本文模型能夠較為精確的預(yù)測位移和應(yīng)力響應(yīng)，尤其與經(jīng)典層合板理論及一階剪切變形理論相比優(yōu)勢明顯。

(2)當(dāng)濕、熱載荷共同作用時，本文模型所預(yù)測出的撓度、面內(nèi)應(yīng)力及橫向剪切應(yīng)力都比經(jīng)典理論或一階剪切變形理論精確的多。但本文模型的解與三階剪切變形理論相比是非常接近的，因此可作為三階剪切理論的一種替代。

(3)濕載荷會顯著的增加結(jié)構(gòu)的撓度和應(yīng)力水平，因此在實際應(yīng)用中要特別加以注意。

(4)為了便于與文獻結(jié)果進行對比，本文算例中未考慮機械載荷作用。然而，該模型是通用的，可適用于機械、熱和濕載荷共同作用的情況。