溥 江，趙 鑫，張秀華，

(1.貴州民族大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，貴陽 550025；2.貴州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，貴陽 550025 )

0 引言

齒輪是機(jī)械設(shè)備中最重要的部件之一，通過齒面接觸傳遞動(dòng)力，其傳動(dòng)性能取決于齒面接觸狀況。由于惡劣的工作環(huán)境、較高的工作負(fù)載、長(zhǎng)時(shí)間的運(yùn)轉(zhuǎn)，齒輪易出現(xiàn)點(diǎn)蝕等失效模式。齒輪表面的損壞會(huì)降低時(shí)變嚙合剛度(time-varying mesh stiffness,TVMS)，因此齒輪齒面點(diǎn)蝕的嚴(yán)重與否可以通過TVMS的減小量來衡量。

上述大部分研究都是將點(diǎn)蝕作為規(guī)則形狀進(jìn)行的，這并不能客觀體現(xiàn)真實(shí)點(diǎn)蝕對(duì)時(shí)變嚙合剛度帶來的影響。本文提出一種基于矩陣模擬點(diǎn)蝕發(fā)生與擴(kuò)展的方法，將模擬點(diǎn)蝕與真實(shí)發(fā)生點(diǎn)蝕形狀相對(duì)應(yīng)，應(yīng)用改進(jìn)勢(shì)能法分析了點(diǎn)蝕擴(kuò)展對(duì)TVMS的影響，為后續(xù)繼續(xù)研究點(diǎn)蝕變化規(guī)律提供一種手段。

1 三類實(shí)際齒面點(diǎn)蝕與點(diǎn)蝕模擬方法

1.1 三類實(shí)際點(diǎn)蝕齒面

齒輪由于表面材料的去除導(dǎo)致嚙合時(shí)有效接觸面積減小，從而使嚙合剛度發(fā)生減小，嚙合剛度的變化是沖擊與動(dòng)載荷產(chǎn)生的原因。齒輪點(diǎn)蝕由于形成原因不同，其形狀、位置、深度也不盡相同。而大部分學(xué)者在研究齒輪點(diǎn)蝕時(shí)將點(diǎn)蝕形狀模擬為規(guī)則圖形，圓形、矩形、橢圓形、V形等。然而規(guī)則的形狀只能模擬特定的情況，不能代表所有點(diǎn)蝕，應(yīng)用規(guī)則形狀來模擬點(diǎn)蝕雖然會(huì)使計(jì)算變得簡(jiǎn)單，但可能會(huì)導(dǎo)致較大的計(jì)算誤差。

圖1為幾種齒面點(diǎn)蝕，圖1a為規(guī)則形狀橢圓形點(diǎn)蝕。圖1b為不規(guī)則形狀點(diǎn)蝕，圖1c[11]為節(jié)線附近正態(tài)分布多點(diǎn)蝕坑點(diǎn)蝕,這類點(diǎn)蝕通常是由于節(jié)線下方區(qū)域油膜厚度較低，且為齒頂與齒根接觸區(qū)域，應(yīng)力集中較為明顯，潤(rùn)滑油進(jìn)入微小裂紋形成裂紋，裂紋擴(kuò)展形成微點(diǎn)蝕，當(dāng)多個(gè)微點(diǎn)蝕連接時(shí)，點(diǎn)蝕會(huì)在節(jié)線下方一定區(qū)域擴(kuò)展、增多，隨著運(yùn)行時(shí)間增長(zhǎng)，附近輪齒上也會(huì)相繼出現(xiàn)這種點(diǎn)蝕。

(a) 規(guī)則形狀點(diǎn)蝕 (b) 不規(guī)則形狀點(diǎn)蝕

(c) 節(jié)線附近正態(tài)分布多點(diǎn)蝕坑點(diǎn)蝕圖1 三種點(diǎn)蝕

1.2 點(diǎn)蝕模擬方法

以3個(gè)二維n階方陣x(i,j)、y(i,j)、z(i,j)分別代表沿齒厚方向矩陣、齒寬方向矩陣、齒高方向矩陣。提出一種基于該3個(gè)方陣的變化用于模擬點(diǎn)蝕發(fā)生與擴(kuò)展程度的方法。即任一矩陣數(shù)值發(fā)生變化時(shí)表示曲面在相對(duì)應(yīng)的方向上發(fā)生變化，利用這種原理可以模擬點(diǎn)蝕發(fā)生與擴(kuò)展。即當(dāng)齒面發(fā)生點(diǎn)蝕時(shí)，點(diǎn)蝕向著齒厚方向生長(zhǎng)，致使齒厚矩陣發(fā)生變化。

齒輪齒面為漸開線，由于漸開線的發(fā)生線沿基圓滾過的長(zhǎng)度等于基圓上被滾過的弧長(zhǎng)的特性，齒輪得以正確嚙合。漸開線齒廓方程為式(1)

(1)

其中，φ為漸開線發(fā)生線與基圓切點(diǎn)與圓心連線與漸開線起始點(diǎn)與圓心連線的夾角，rb為漸開線基圓半徑。

為了在模擬點(diǎn)蝕發(fā)生與擴(kuò)展時(shí)點(diǎn)蝕在齒面上的各個(gè)位置上的幾率相同。由于齒面為弧面，需將齒面沿漸開線弧長(zhǎng)方向等弧長(zhǎng)離散。根據(jù)平面曲線弧長(zhǎng)公式求得漸開線弧長(zhǎng)為：

(2)

則沿漸開線方向等弧長(zhǎng)離散的每個(gè)微元長(zhǎng)度為：

(3)

第i個(gè)微元對(duì)應(yīng)的角度φi為：

(4)

則等弧長(zhǎng)離散后的漸開線方程為式(5)：

(5)

依照上述模擬方法畫出齒輪齒面如圖2a所示，圖2b為真實(shí)三維齒面模型。

(a) 模擬齒面(b) 真實(shí)齒面圖2 齒面對(duì)比

點(diǎn)蝕會(huì)在齒面上發(fā)生，面積在齒面上逐漸變大，深度向著齒厚方向逐漸加深。為了模擬點(diǎn)蝕，首先建立一個(gè)n×n的零矩陣作為點(diǎn)蝕矩陣的初始矩陣，如圖3a所示。將該矩陣與齒厚方向矩陣相加得到未發(fā)生點(diǎn)蝕時(shí)的齒面方程，當(dāng)齒輪發(fā)生點(diǎn)蝕時(shí)點(diǎn)蝕矩陣一部分值發(fā)生變化，如圖3b所示，數(shù)值變化大小相當(dāng)于點(diǎn)蝕坑在該位置的深度，將該矩陣與齒厚方向矩陣相加，得到點(diǎn)蝕齒面方程。

(a) 健康齒面點(diǎn)蝕矩陣 (b) 發(fā)生點(diǎn)蝕后的點(diǎn)蝕矩陣

模擬得到的點(diǎn)蝕齒面如圖4a，圖4b為齒面發(fā)生矩形點(diǎn)蝕的真實(shí)情況，兩圖對(duì)比可發(fā)現(xiàn)該方法可以較為準(zhǔn)確的模擬齒面點(diǎn)蝕。通過對(duì)點(diǎn)蝕矩陣設(shè)置不同的算法，從而模擬不同形狀、位置的點(diǎn)蝕，而不是僅限于矩形，這樣會(huì)與真實(shí)情況更為接近。對(duì)點(diǎn)蝕矩陣進(jìn)行迭代，模擬點(diǎn)蝕生長(zhǎng)。

(a) 矩形點(diǎn)蝕模擬 (b) 真實(shí)矩形點(diǎn)蝕齒面圖4 矩形點(diǎn)蝕對(duì)比

2 勢(shì)能法計(jì)算嚙合剛度

勢(shì)能法計(jì)算點(diǎn)蝕狀態(tài)下的TVMS如下：

(17)

(18)

(19)

(20)

其中，E為彈性模量，Ix為面積慣性矩，Ax為輪齒截面積，α1為任一時(shí)刻壓力角。式中各參數(shù)計(jì)算如下[11]：

(2)

由式(17)～式(20)可知當(dāng)齒輪發(fā)生點(diǎn)蝕時(shí)接觸線長(zhǎng)減少量為ΔL，橫截面積減小量為ΔAx，面積慣性矩減小量為ΔIx，其余參數(shù)不變。

圖5 齒輪點(diǎn)蝕部位橫截面積示意圖

圖5中dx為齒面發(fā)生點(diǎn)蝕后圖形中心軸偏移量，則面積慣性矩變化量ΔIx計(jì)算方法如下：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

式中，Ix為原圖形相對(duì)于x軸的慣性矩，Ix2為截面積少了橢圓形bco時(shí)相對(duì)于x軸的慣性矩，Ix′為截面積少了橢圓形bco時(shí)相對(duì)于軸線偏移dx后的慣性矩。

3 點(diǎn)蝕擴(kuò)展與嚙合剛度計(jì)算

點(diǎn)蝕面積擴(kuò)展速率與運(yùn)行時(shí)間呈正比關(guān)系,齒輪受力越大點(diǎn)蝕擴(kuò)展速度越快。當(dāng)點(diǎn)蝕面積超過50%時(shí)，齒輪失效。

點(diǎn)蝕成長(zhǎng)形狀：點(diǎn)蝕體積與直徑的2.1次方呈正比關(guān)系υ∝D2.1，點(diǎn)蝕深度與直徑的0.1次方呈正比關(guān)系h∝D0.1。點(diǎn)蝕坑的深度在達(dá)到極限值后停止發(fā)生變化，點(diǎn)蝕的面積會(huì)持續(xù)擴(kuò)大[7]。

齒面點(diǎn)蝕由于制造誤差、安裝誤差、后期運(yùn)行、潤(rùn)滑等原因出現(xiàn)的形狀、位置各不相同。在實(shí)際情況中點(diǎn)蝕很少會(huì)形成規(guī)則圖形，大部分研究為了便于計(jì)算將點(diǎn)蝕模擬為圓形或橢圓形，橢圓形點(diǎn)蝕生長(zhǎng)代碼流程見表1，模擬點(diǎn)蝕如圖6a所示，此圖與圖1a相對(duì)應(yīng)。圖6b～圖6d為點(diǎn)蝕矩陣迭代100、300、500次的結(jié)果，為點(diǎn)蝕的生長(zhǎng)過程，隨著迭代次數(shù)增加，點(diǎn)蝕面積逐漸變大，點(diǎn)蝕深度在增加到一定深度后不再發(fā)生變化。

表1 橢圓形點(diǎn)蝕矩陣控制MATLAB代碼流程

(a) 橢圓形點(diǎn)蝕 (b) 迭代100次點(diǎn)蝕

(d) 迭代300次點(diǎn)蝕 (e) 迭代500次點(diǎn)蝕圖6 橢圓形點(diǎn)蝕生長(zhǎng)

齒面點(diǎn)蝕的形狀通常為不規(guī)則的，而且隨著運(yùn)行環(huán)境的不同，點(diǎn)蝕不會(huì)朝著同一個(gè)方向擴(kuò)展，而是以原有點(diǎn)蝕坑為中心向著四周以不同的速率生長(zhǎng)。此類點(diǎn)蝕模擬MATLAB代碼與橢圓形點(diǎn)蝕類似，只是將表1中3行代碼修改為如表2所示，其余代碼不變。圖7a為不規(guī)則形狀點(diǎn)蝕，此點(diǎn)蝕對(duì)應(yīng)圖1b的不規(guī)則形狀點(diǎn)蝕。圖7b～圖7d為點(diǎn)蝕矩陣迭代100、300、500次的結(jié)果，點(diǎn)蝕形狀會(huì)根據(jù)點(diǎn)蝕矩陣迭代次數(shù)不同而變化。

表2 不規(guī)則點(diǎn)蝕矩陣控制MATLAB代碼流程

(a) 任意形狀點(diǎn)蝕 (b)迭代100次點(diǎn)蝕

(c) 迭代300次點(diǎn)蝕 (d)迭代500次點(diǎn)蝕圖7 任意形狀點(diǎn)蝕生長(zhǎng)

點(diǎn)蝕通常不會(huì)單個(gè)出現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)蝕出現(xiàn)時(shí)，其附近會(huì)更容易出現(xiàn)新的點(diǎn)蝕，通常情況下，點(diǎn)蝕的深度、面積會(huì)逐漸增大，附近也會(huì)相繼出現(xiàn)新的點(diǎn)蝕，直至齒輪失效。而這類點(diǎn)蝕主要會(huì)在應(yīng)力較大的地方出現(xiàn)，點(diǎn)蝕沿節(jié)線附近生長(zhǎng)，節(jié)線附近點(diǎn)蝕坑較深、面積較大，遠(yuǎn)離節(jié)線處，點(diǎn)蝕面積小，深度淺。此類點(diǎn)蝕代碼流程見表3。點(diǎn)蝕模擬如圖8a，此圖對(duì)應(yīng)圖1c的情況,圖8b～圖8d為此類點(diǎn)蝕生長(zhǎng)過程。

表3 節(jié)線附近正態(tài)分布多點(diǎn)蝕坑點(diǎn)蝕矩陣MATLAB代碼流程

續(xù)表

(a) 節(jié)線附近點(diǎn)蝕 (b) 迭代100次點(diǎn)蝕

(c) 迭代300次點(diǎn)蝕 (d) 迭代500次點(diǎn)蝕圖8 節(jié)線附近點(diǎn)蝕生長(zhǎng)

圖9 正態(tài)分布點(diǎn)蝕

4 幾種點(diǎn)蝕TVMS對(duì)比

以橢圓形點(diǎn)蝕為例，隨著點(diǎn)蝕面積逐漸增大，深度加深，TVMS降低越來越快。圖10a與文獻(xiàn)[4]得出曲線數(shù)值、趨勢(shì)相同，得以驗(yàn)證本文所述方法準(zhǔn)確性。圖11b為同樣大小點(diǎn)蝕，出現(xiàn)位置不同時(shí)的TVMS曲線。由圖可知，勢(shì)能法計(jì)算點(diǎn)蝕齒輪嚙合剛度并不能得出點(diǎn)蝕在齒寬方向位置信息；在齒高方向，點(diǎn)蝕越靠近單齒嚙合區(qū)中部，嚙合剛度降低越多，越靠近齒根或齒頂，嚙合剛度降低越少。

(a) 不同面積深度點(diǎn)蝕

(b) 不同位置點(diǎn)蝕圖10 幾種不同情況TVMS對(duì)比

對(duì)比不規(guī)則點(diǎn)蝕與節(jié)線附近正態(tài)分布多點(diǎn)蝕坑點(diǎn)蝕的TVMS，得出結(jié)論與橢圓點(diǎn)蝕相同。

5 結(jié)論

基于矩陣方程提出一種橢圓形、不規(guī)則形狀、節(jié)線附近正態(tài)分布多點(diǎn)蝕坑點(diǎn)蝕模擬方法，根據(jù)點(diǎn)蝕發(fā)生機(jī)理與擴(kuò)展速率模擬了點(diǎn)蝕擴(kuò)展，并列出了相關(guān)代碼流程。并得出以下兩條結(jié)論：

(1)將勢(shì)能法進(jìn)行改進(jìn)，使其可以計(jì)算本文提出的點(diǎn)蝕擴(kuò)展情況下的TVMS，并與已有文獻(xiàn)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了該方法的正確性。

(2)得出了點(diǎn)蝕擴(kuò)展過程中的TVMS，結(jié)果表明點(diǎn)蝕坑中心越靠近單齒嚙合區(qū)的中部導(dǎo)致TVMS降低越多，點(diǎn)蝕面積越大，深度越深TVMS降低越多。