白天宇，劉 軍，許志明，唐文俏

(上海電機(jī)學(xué)院電氣學(xué)院，上海 201306)

0 引言

永磁同步電機(jī)(permanent magnet synchronous motor，PMSM)具有功率密度高，轉(zhuǎn)子損耗小等優(yōu)點(diǎn)，被應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。要對(duì)永磁同步電機(jī)實(shí)施高性能控制，那么精準(zhǔn)的轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速信息的獲取變得至關(guān)重要。由于機(jī)械傳感器會(huì)增加電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的成本和體積，而且在一些極端環(huán)境下機(jī)械傳感器的使用存在著許多不便。因此，無傳感器控制技術(shù)成為了永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)的研究熱點(diǎn)[1-5]。

目前，PMSM無傳感器控制獲取電機(jī)轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置的方法主要分以下兩種：基于電機(jī)的數(shù)學(xué)模型和基于電機(jī)的凸極效應(yīng)[6]?；陔姍C(jī)數(shù)學(xué)模型主要有適用于電機(jī)中高速運(yùn)行階段的模型參考自適應(yīng)法[7]、滑模觀測器法[8-9]、擴(kuò)展卡爾曼濾波法[10-11]等?；陔姍C(jī)凸極效應(yīng)的主要有適用于零低速運(yùn)行階段的旋轉(zhuǎn)高頻信號(hào)注入法和脈振高頻信號(hào)注入法。當(dāng)電機(jī)運(yùn)行在中高速階段，通常是對(duì)電機(jī)的反電動(dòng)勢進(jìn)行觀測，從而根據(jù)反電動(dòng)勢來獲得電機(jī)的轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速信息。文獻(xiàn)[12]采用sigmoid函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的符號(hào)函數(shù)來對(duì)反電動(dòng)勢進(jìn)行估計(jì)，在一定程度上削弱了系統(tǒng)的抖振問題。文獻(xiàn)[13]采用一種分段型指數(shù)函數(shù)作為滑模觀測器的切換函數(shù)，可以有效的削弱抖振，但電機(jī)啟動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)速誤差較大。文獻(xiàn)[14]采用反正切方法來估算轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速，導(dǎo)致了較大的估計(jì)誤差。文獻(xiàn)[15]采用鎖相環(huán)的方法來估算轉(zhuǎn)子位置，但是轉(zhuǎn)子位置的觀測值受到轉(zhuǎn)速變化的影響，降低了轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速的觀測精度。

本文提出了一種基于冪次趨近律的新型滑模觀測器，該新型滑模觀測器采用新型分段函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)滑模觀測器中的切換函數(shù)，并引入冪次趨近律結(jié)合到新型滑模觀測器的切換函數(shù)中，利用李雅普諾夫(Lyapunov)函數(shù)驗(yàn)證了其穩(wěn)定性，同時(shí)對(duì)用于轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速估計(jì)的鎖相環(huán)進(jìn)行改進(jìn)，消除了轉(zhuǎn)速對(duì)轉(zhuǎn)子位置觀測精度的影響。最后通過仿真對(duì)比分析，結(jié)果表明該控制方法提高了轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速的觀測精度，減弱了系統(tǒng)的高頻抖振，具有良好的控制性能。

1 永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

假定永磁同步電機(jī)為理想電機(jī)，并滿足條件: ①忽略定子鐵芯飽和，磁路為線性，電感參數(shù)不變；②轉(zhuǎn)子永磁體磁場在氣隙空間分布為正弦波；③不計(jì)鐵芯和渦流損耗；④轉(zhuǎn)子上無阻尼繞組,則表貼式永磁同步電機(jī)在兩相靜止坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型為：

(1)

(2)

式中，iα、iβ為定子電流在α、β軸上的電流分量，Rs為定子電阻，Ls為定子電感，uα、uβ為定子電壓在α、β軸上的電壓分量，Eα、Eβ為α、β軸上的反電動(dòng)勢分量，ψf為永磁體磁鏈，ωe為電角速度，θ為轉(zhuǎn)子位置角度。

由式(1)可得，轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速信息包含在反電動(dòng)勢中，因此，可以通過對(duì)反電動(dòng)勢進(jìn)行觀測，從而得到轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速。

2 傳統(tǒng)滑模觀測器

為了獲得反電動(dòng)勢的估計(jì)值，傳統(tǒng)滑模觀測器設(shè)計(jì)通常如下：

(3)

(4)

(5)

式中，k為滑模切換增益，且k滿足：

k>max(|Eα|,|Eβ|)

(6)

為了獲得連續(xù)的反電動(dòng)勢，需要對(duì)式(6)進(jìn)行低通濾波處理，濾波后得：

(7)

式中，ωc為低通濾波器的截止頻率，可得到反電動(dòng)勢的估算值，由式(2)可得轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速的觀測值為：

(8)

(9)

由于低通濾波器的使用，會(huì)引起相位滯后和幅值變化，因此為了獲得較為精確的轉(zhuǎn)子位置信息，需要對(duì)轉(zhuǎn)子位置角進(jìn)行補(bǔ)償，即：

(10)

3 新型滑模觀測器

3.1 切換函數(shù)

傳統(tǒng)滑模觀測器的抖振現(xiàn)象主要是因?yàn)榍袚Q函數(shù)的不連續(xù)性所引起的，傳統(tǒng)滑模觀測器大多使用的是符號(hào)函數(shù)，因此使得系統(tǒng)存在大量的高次諧波，本文設(shè)計(jì)了一種新型分段函數(shù)作為滑模觀測器的切換函數(shù)，其公式為：

(11)

圖1 分段型冪函數(shù)曲線

式中，Δ為邊界層厚度。該分段函數(shù)的函數(shù)特性曲線如圖1所示，由圖可知，在邊界層內(nèi)，函數(shù)f(x)為光滑上升曲線，在邊界層外，函數(shù)f(x)可以使電流的誤差值飽和，所以能夠使估算反電動(dòng)勢更加光滑。

3.2 冪次趨近律新型滑模觀測器

定義滑模面函數(shù)為:

(12)

取冪次趨近律:

(13)

冪次趨近律新型滑模觀測器建立如下：

(14)

式中，k為冪次趨近律新型滑模觀測器的滑模增益。

將式(14)減去式(1)可得滑模觀測器的誤差方程為：

(15)

由式(15)可知，將新型分段函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)滑模觀測器中的符號(hào)函數(shù)，并引入冪次趨近律代替?zhèn)鹘y(tǒng)滑模觀測器的等速趨近律，經(jīng)過濾波器濾波后，可得到觀測的反電動(dòng)勢，從而估算轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和位置信息。

為了驗(yàn)證其穩(wěn)定性，采用李雅普諾夫函數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)對(duì)冪次趨近律新型滑模觀測器進(jìn)行穩(wěn)定性分析，選取李雅普諾夫函數(shù)為：

(16)

對(duì)式(16)求導(dǎo)，并代入電流誤差方程，可得：

(17)

根據(jù)穩(wěn)定性條件，需要滿足：

(18)

k>max(|Eα|,|Eβ|)

(19)

3.3 鎖相環(huán)估計(jì)轉(zhuǎn)子位置

基于反正切函數(shù)的轉(zhuǎn)子位置估算方法會(huì)導(dǎo)致較大的轉(zhuǎn)子位置估算角度誤差，因此本文采用鎖相環(huán)來獲取轉(zhuǎn)子位置的觀測值。

當(dāng)定子電壓電流經(jīng)過冪次趨近律新型滑模觀測器后，可以得到觀測的反電動(dòng)勢，在反電動(dòng)勢中包含電機(jī)的轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速信息，故轉(zhuǎn)子位置誤差信號(hào)為：

(20)

誤差信號(hào)ΔE經(jīng)過PI調(diào)節(jié)器，再經(jīng)過積分可以得到轉(zhuǎn)子位置，鎖相環(huán)的傳遞函數(shù)為：

(21)

(22)

由式(21)可知，速度的變化會(huì)影響鎖相環(huán)估算轉(zhuǎn)子位置的精度，因此在傳統(tǒng)鎖相環(huán)中加入一個(gè)除法環(huán)節(jié)，可提高觀測器的觀測精度。改進(jìn)后的鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

圖2 鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)圖

因此可得：

(23)

此時(shí)鎖相環(huán)的傳遞函數(shù)為：

(24)

該鎖相環(huán)可濾除反電動(dòng)勢中的高頻諧波分量，提高轉(zhuǎn)子位置的觀測精度。

4 仿真結(jié)果及分析

圖3為基于冪次趨近律新型滑模觀測器的永磁同步電機(jī)無傳感器控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖，采用Matlab/Simulink軟件，搭建了基于冪次趨近律新型滑模觀測器的永磁同步電機(jī)無傳感器控制系統(tǒng)仿真模型，并對(duì)參數(shù)如表1的表貼式永磁同步電機(jī)進(jìn)行了系統(tǒng)仿真。

圖3 PMSM無傳感器控制框圖

表1 電機(jī)參數(shù)表

圖4為采用傳統(tǒng)滑模觀測器系統(tǒng)的實(shí)際轉(zhuǎn)速、觀測轉(zhuǎn)速以及轉(zhuǎn)速誤差波形。圖5為采用冪次趨近律新型滑模觀測器系統(tǒng)的實(shí)際轉(zhuǎn)速與觀測轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)速誤差波形。由圖可知，傳統(tǒng)滑模觀測器起動(dòng)性能差，起動(dòng)階段轉(zhuǎn)速誤差較大，穩(wěn)定后轉(zhuǎn)速觀測誤差為±13r/min,基于冪次趨近律的新型滑模觀測器減弱了系統(tǒng)的抖振問題，起動(dòng)階段轉(zhuǎn)速誤差較小，響應(yīng)速度快，可以很好地跟蹤實(shí)際轉(zhuǎn)速并且穩(wěn)定在目標(biāo)轉(zhuǎn)速，穩(wěn)定后轉(zhuǎn)速觀測誤差為±0.1r/min,提高了系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速觀測精度。

(a)轉(zhuǎn)速實(shí)際值與估計(jì)值 (b)轉(zhuǎn)速誤差圖4 傳統(tǒng)滑模觀測器控制的響應(yīng)波形

(a)轉(zhuǎn)速實(shí)際值與估計(jì)值 (b)轉(zhuǎn)速誤差圖5 冪次趨近律新型觀測器控制的響應(yīng)波形

圖6為使用傳統(tǒng)滑模觀測器系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子實(shí)際位置、觀測位置和轉(zhuǎn)子位置觀測誤差響應(yīng)波形。圖7為使用冪次趨近律新型滑模觀測器系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子實(shí)際位置、觀測位置和轉(zhuǎn)子位置觀測誤差波形。根據(jù)圖6和圖7對(duì)比分析可得，傳統(tǒng)滑模觀測器對(duì)于電機(jī)轉(zhuǎn)子位置的觀測在初始階段存在著明顯的抖振現(xiàn)象，而且轉(zhuǎn)子位置觀測誤差較大，基于冪次趨近律的新型滑模觀測器可以快速準(zhǔn)確地觀測轉(zhuǎn)子位置，減弱了系統(tǒng)的高頻抖振，轉(zhuǎn)子位置誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)滑模觀測器，觀測精度較高。

(a)轉(zhuǎn)子位置實(shí)際值與估計(jì)值 (b)轉(zhuǎn)子位置誤差圖6 傳統(tǒng)滑模觀測器控制的響應(yīng)波形

(a)轉(zhuǎn)子位置實(shí)際值與估計(jì)值 (b)轉(zhuǎn)子位置誤差圖7 冪次趨近律新型觀測器控制的響應(yīng)波形

5 結(jié)論

針對(duì)傳統(tǒng)滑模觀測器存在的高頻抖振、觀測精度差等問題，本文采用新型分段函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)滑模觀測器中的符號(hào)函數(shù)，并引入冪次趨近律結(jié)合新型分段函數(shù)，同時(shí)采用改進(jìn)鎖相環(huán)技術(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速進(jìn)行估計(jì)。仿真結(jié)果表明基于冪次趨近律的新型滑模觀測器能夠減弱系統(tǒng)的高頻抖振，準(zhǔn)確地估算轉(zhuǎn)子位置及轉(zhuǎn)速，具有良好的控制性能。