李東兵，胡文林

（1.海軍參謀部某訓(xùn)練中心，北京100841；2.92728部隊(duì)，上海200436）

在定時(shí)截尾試驗(yàn)中，對于高可靠性、高精度的產(chǎn)品，經(jīng)常會出現(xiàn)極少失效甚至是無失效數(shù)據(jù)的情形[1-4]。如何在無失效數(shù)據(jù)情況下對產(chǎn)品的可靠性參數(shù)進(jìn)行科學(xué)合理的評估，具有重要的理論和實(shí)用價(jià)值[5-10]。

文獻(xiàn)[11]給出了泊松分布參數(shù)的期望Bayes（Expected Bayes，E-Bayes）表達(dá)式；文獻(xiàn)[12]給出了只有一個(gè)失效數(shù)據(jù)時(shí)失效概率的E-Bayes估計(jì)；文獻(xiàn)[13]在特定超參數(shù)先驗(yàn)分布的條件下，推導(dǎo)了失效率的EBayes 估計(jì)；文獻(xiàn)[14]采用修正多層Bayes 方法對某型軸承的失效概率進(jìn)行估計(jì)；文獻(xiàn)[15]研究了復(fù)雜系統(tǒng)可靠度的多層Bayes估計(jì)。

這些文獻(xiàn)雖然對可靠性參數(shù)作出了較為準(zhǔn)確和穩(wěn)健的估計(jì)，但大多只專注于某一類估計(jì)方法。

本文在某型裝備發(fā)動(dòng)機(jī)無失效數(shù)據(jù)服從指數(shù)分布時(shí)，探討失效率的多層Bayes估計(jì)方法和E-Bayes估計(jì)方法，對比2種方法的推導(dǎo)證明過程，并結(jié)合實(shí)例數(shù)據(jù)分析得到可靠度的估計(jì)結(jié)果，指出E-Bayes 估計(jì)方法的結(jié)果更為準(zhǔn)確和穩(wěn)健，且計(jì)算更加方便。

1 失效率的多層Bayes估計(jì)

本文研究對象為某型裝備發(fā)動(dòng)機(jī)，已知其儲存失效數(shù)據(jù)服從指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為：

式（1）中：t>0；0<λ<∞，λ 為指數(shù)分布失效率。

1.1 多層先驗(yàn)分布的確定

在指數(shù)分布下，失效率對應(yīng)的共軛先驗(yàn)分布為Gamma分布[16]，其密度函數(shù)為：

根據(jù)超參數(shù)的減函數(shù)構(gòu)造法[17]，對密度函數(shù)關(guān)于λ 求一階導(dǎo)：

因而，當(dāng)00 時(shí)，π(λ|a,b)為λ 的減函數(shù)?；趯ayes 估計(jì)的穩(wěn)健性考慮，超參數(shù)b 取值越大，先驗(yàn)分布的尾部將越細(xì)，這會使Bayes估計(jì)具有越差的穩(wěn)健性[1]。因此，對b 設(shè)立一個(gè)上界s，s>0 為某一常數(shù)，由此確定超參數(shù)的取值范圍為0

1.2 多層先驗(yàn)密度函數(shù)的確定

考慮a 和b 分別服從[0,1]和[0,s]上的均勻分布，則失效率λ 的多層先驗(yàn)密度函數(shù)為：

1.3 失效率的多層Bayes估計(jì)

對壽命服從指數(shù)分布的產(chǎn)品進(jìn)行m 次定時(shí)截尾試驗(yàn)，結(jié)果為{ }(ni,ri,ti),i=1,2,…,m 。其中：ti為在第i 次試驗(yàn)中的截尾時(shí)間，且t1

假設(shè)失效率λ 的多層先驗(yàn)密度函數(shù)πHB(λ)可由式（3）給出，則在平方損失下，λ 的多層Bayes估計(jì)為：

證明：

1）似然函數(shù)。設(shè)隨機(jī)變量Xi表示第i 次定時(shí)截尾試驗(yàn)中發(fā)生失效的樣品個(gè)數(shù)，則Xi～π(nitiλ)，即Xi服從參數(shù)為nitiλ 的泊松分布：

式中：ri=0,1,2,…,ni，i=1,2,…,m。

事實(shí)上，X1,X2,…,Xm是相互獨(dú)立的，則失效率λ的似然函數(shù)表示為：

試驗(yàn)結(jié)果為無失效情形時(shí)，ri=0，i=1,2,…,m，由此得到無失效情形下失效率λ 的似然函數(shù)為：

2）后驗(yàn)分布。依據(jù)Bayes 定理，λ 的多層后驗(yàn)密度為：

記(b+Q)λ=ξ ，由于b>0，Q>0，0<λ<∞，故0<ξ<∞。代入式（5）右端的分母積分項(xiàng)可得：

代入式（5）可得

3）多層Bayes 估計(jì)。在平方損失下，失效率λ 的多層Bayes估計(jì)為：

令(b+Q)λ=ξ，同式（5）的推導(dǎo)過程，可得：

證畢。

2 失效率的E-Bayes估計(jì)

2.1 先驗(yàn)分布的確定

在式（1）、（2）的基礎(chǔ)上，與1.1節(jié)相同，對b 設(shè)立一個(gè)上界s，s>0 為某一常數(shù)，確定超參數(shù)的取值范圍為0

2.2 失效率的E-Bayes定義

2.3 失效率的E-Bayes估計(jì)

根據(jù)1.3 節(jié)的無失效數(shù)據(jù)的描述，假設(shè)失效率λ的先驗(yàn)密度函數(shù)π(λ|a,b)由式（2）給出，則在平方損失下，λ 的E-Bayes估計(jì)為：

證明：

1）似然函數(shù)。與1.3 節(jié)證明相同，似然函數(shù)為L(0|λ)=exp(-Qλ)。

2）后驗(yàn)分布。若λ 的先驗(yàn)密度函數(shù)由式（2）給出，則依據(jù)Bayes定理，λ 的后驗(yàn)密度為：

記(b+Q)λ=ξ，同式（5）的推導(dǎo)過程，可得：

3）λ 的Bayes估計(jì)。在平方損失下，λ 的Bayes估計(jì)為：

4）λ 的E-Bayes 估計(jì)。在平方損失下，失效率λ的E-Bayes估計(jì)為：

證畢。

3 實(shí)例分析

3.1 可靠度的估計(jì)

產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布，則其可靠度函數(shù)為：

R(t)=exp(-λt)。

由1.3節(jié)和2.3節(jié)分別給出的λ 的多層Bayes估計(jì)和E-Bayes估計(jì)，得出可靠度R(t)的多層Bayes估計(jì)和E-Bayes估計(jì)如下：

3.2 參數(shù)估計(jì)的評價(jià)

穩(wěn)健性是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)專門術(shù)語，20世紀(jì)70年代開始在控制理論的研究中流行起來，用以表征控制系統(tǒng)對特性或參數(shù)擾動(dòng)的不敏感性[18]。本文主要以可靠性參數(shù)估計(jì)值的極差來表征由2種估計(jì)方法得到的估計(jì)值的穩(wěn)健性，極差值越小，反映得到的可靠性參數(shù)估計(jì)值越穩(wěn)健。

3.3 可靠性參數(shù)估計(jì)及分析

表1 發(fā)動(dòng)機(jī)無失效數(shù)據(jù)Tab.1 Zero-failure data of the engine

表2 λ 的2類估計(jì)結(jié)果Tab.2 Calculation results of different estimations on λ ×10-5

表3 R(t)的2類估計(jì)結(jié)果Tab.3 Calculation results of different estimations on R(t)

圖1 s=1 000 時(shí)可靠度的2類估計(jì)值Fig.1 Calculation results of two types of estimations while s=1 000

圖2 可靠度2類估計(jì)值的極差Fig.2 Ranges of two types of estimations on R(t)

（3）在推導(dǎo)和計(jì)算過程中，相比于含有二重積分的多層Bayes估計(jì)，失效率的E-Bayes估計(jì)計(jì)算更為方便簡潔，因而也更適用于工程應(yīng)用中。

4 結(jié)論

下一步將針對壽命服從其他分布情形時(shí)的參數(shù)估計(jì)值進(jìn)行討論，并探討超參數(shù)服從的分布類型對估計(jì)值的影響。