侯麗麗，王 帥

(江蘇理工學院 數(shù)理學院，江蘇 常州 213001)

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又會得到什么物理結果哪？顯然，式(2)所表示的不對稱積分投影算符的構造方式與式(1)大不相同。那么，這樣的投影算符是幺正算符還是厄米算符呢?如果是厄米算符，它是否有著經典對應呢?在本文的工作中，將利用IWOP積分技術研究以上兩個問題。

1 雙模轉動算符的相干態(tài)表象表示

在量子力學中，IWOP積分技術在量子算符的運算以及幺正變換過程中是非常有用的一種積分工具。下面，本文首先利用IWOP積分技術導出式(1)所示的不對稱積分投影算符的顯式。為了便于對不對稱積分投影算符的理解，本文將給出詳細地推導過程。

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該式中符號::的左邊都是產生算符，右邊都是湮滅算符，積分算符本身就是算符的正規(guī)排序形式。因此，式(4)中符號::兩側的算符可以放置到::內，即

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這樣就可以利用IWOP積分技術對式(5)進行積分，給出積分算符的顯式。注意到以下積分公式

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其積分收斂條件Re(ζ)<0，對式(5)直接積分可得

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為了把算符的正規(guī)乘積排序符號::去掉，借助算符恒等式

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最終，不對稱積分投影算符式(1)有如下的簡單形式，即

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該不對稱積分投影算符恰好就是量子相空間中的雙模轉動算符，它是一個幺正算符[12]。

2 宇稱測量算符的相干態(tài)表象表示

接下來，利用IWOP積分技術計算式(2)不對稱積分投影算符的顯式，并討論它的物理意義，這是本文的主要工作。與推導式(9)相類似，首先把式(2)積分投影算符改寫成正規(guī)乘積形式下的積分，即

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這樣就可以利用IWOP積分技術直接對式(10)進行積分了。再次利用積分公式(6)，可得式(10)的積分顯式為

(11)

與式(9)不同，容易證明下式中左右兩端積分投影算符相等，即

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所以，式(2)(或式(11))不對稱積分投影算符是一個厄米算符。既然它是一個厄米算符，在量子力學中也許有其經典物理對應，即對應某個物理量或某種物理測量。特別地，當φ=0時，式(11)就簡化為文獻[13]中的結果，即

(13)

同時，文獻[13]證明了式(13)對應的是在馬赫-曾德爾(MZI)干涉儀中的宇稱測量，具體來講就是參數(shù)化后的雙模量子態(tài)光場經過最后一個分束器后的宇稱測量(光子數(shù)的奇偶測量)。下面按照同樣的思路，我們推廣文獻[13]的研究結果，解析地證明式(2)(或式(11))代表的是雙模量子態(tài)光場經過更為一般分束器后的宇稱測量方案。

圖1 基于馬赫-曾德爾干涉儀的量子精密測量方案示意圖，虛線框為宇稱測量部分

如圖1所示，MZI干涉儀是一個具有兩個輸入端口和兩個輸出端口的光學儀器，在量子精密測量中有著重要且廣泛的應用[14-17]。虛線框前的部分為光場量子態(tài)經過第一塊分束器BS1后，再經過相位產生器(phase shifter)，這一過程通常稱為參數(shù)化過程。參數(shù)化后的量子態(tài)用|Ψ〉ab表示。這里相位產生器描述光經過干涉儀的兩條光路所產生的相位差φ。在真實的實驗中，它可以用于模擬諸如引力波或者存在某種介質等因素所引起的兩條光路的相位改變，這正是需要測量的相位。在MZI干涉儀輸出端光場的量子態(tài)下，計算宇稱算符的期望值稱為宇稱測量。方便起見，本文考慮的宇稱測量方案包括MZI干涉儀最后一塊分束器BS2在內，如圖1中虛線框所示。此時，宇稱測量可以表示為

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并存在如下幺正變換關系

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該式右邊算符的正規(guī)排序好了。因此，利用IWOP技術對該式右邊積分可得，

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當θ=π/2時，即考慮平衡分束器時，上式簡化為

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比較式(11)和式(20)，最終可得

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可見，如式(2)所示的厄米算符確實有其經典物理對應，即雙模量子態(tài)經過更為一般分束器后的宇稱測量，式(21)就是本文最重要的一個研究結果。

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3 結論