王剛 羅彩明 張曉東

摘要：為了解決宇稱-時(shí)間（Parity-Time，PT）對(duì)稱結(jié)構(gòu)存在結(jié)構(gòu)復(fù)雜、奇異點(diǎn)難以調(diào)諧的問題，基于壓電分流技術(shù)，設(shè)計(jì)一種針對(duì)彎曲波的PT對(duì)稱梁.推導(dǎo)PT對(duì)稱條件，基于等效介質(zhì)法和有限元法，驗(yàn)證所設(shè)計(jì)增益單元、損耗單元的等效參數(shù)滿足該P(yáng)T對(duì)稱條件，并通過改變諧振頻率和分流電阻研究了奇異點(diǎn)的可調(diào)性.通過傳遞矩陣法和有限元法，對(duì)PT對(duì)稱梁的散射特性進(jìn)行分析，討論單向無反射點(diǎn)與奇異點(diǎn)之間的關(guān)系.理論計(jì)算和仿真結(jié)果表明，PT對(duì)稱梁有包括511 Hz和520.5 Hz在內(nèi)的多個(gè)奇異點(diǎn).彎曲波頻率為511 Hz的彎曲波從右端入射時(shí)反射系數(shù)趨于零，而彎曲波頻率為520.5 Hz時(shí)，它必須施加在左端從而達(dá)到完全透射而不產(chǎn)生反射.

關(guān)鍵詞：壓電材料；彎曲波；宇稱-時(shí)間對(duì)稱；奇異點(diǎn)；單向無反射；散射矩陣

中圖分類號(hào)：TH113文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Study on Scattering Characteristic of PT Symmetric Beam Based on Piezoelectric Shunting Technology

WANG Gang，LUO Caiming，ZHANG Xiaodong

（State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body，Hunan University，Changsha 410082，China）

Abstract：To solve the problems of complex structure and difficulty in tuning the exceptional points in the existing PT-symmetric structures，a PT-symmetric beam for flexural waves is designed based on piezoelectric shunting technology. Firstly，the PT-symmetric condition is derived. Then，based on the effective medium method and finite element simulation，it is verified that the effective parameters of the gain and loss unit meet the PT-symmetric condition，and the tunability of exception points is studied by changing the resonant frequency and the shunting resistance. Finally，the scattering property of the PT-symmetric beam is derived by the transfer matrix method and finite element simulation，and the relationship between exceptional points and unidirectional non-reflection is illustrated. The calculated and simulated results show that the PT-symmetric beam has several exceptional points including 511 Hz and 520.5 Hz. When the incident flexural wave of 511 Hz is applied at the right side of the PT-symmetric beam，the reflection coefficient is close to zero. However，when the frequency of the incident flexural waves changes to 520.5 Hz，it should be applied on the left side of the PT-symmetric beam to gain an entire transmission without reflection.

Key words：piezoelectric materials；flexural wave；Parity-Time（PT）symmetric；exceptional point；unidirectional non-reflection；scattering matrix

宇稱-時(shí)間（Parity-Time，PT）對(duì)稱由Bender和Boettcher于1998年提出[1]，他們發(fā)現(xiàn)在滿足PT對(duì)稱的條件下，系統(tǒng)的哈密頓量即使是非厄米的也可以具有實(shí)數(shù)的本征值.系統(tǒng)具有PT對(duì)稱性的條件是勢(shì)函數(shù)共軛對(duì)稱，即勢(shì)函數(shù)的實(shí)部偶對(duì)稱、虛部奇對(duì)稱.PT對(duì)稱系統(tǒng)的一個(gè)重要性質(zhì)為PT對(duì)稱性的自發(fā)性破缺，具體表現(xiàn)是：當(dāng)勢(shì)函數(shù)虛部在某一閾值以下時(shí)，哈密頓量的本征值全部為實(shí)數(shù)，系統(tǒng)處于PT對(duì)稱相；當(dāng)勢(shì)函數(shù)虛部越過該閾值時(shí)，哈密頓量的本征值開始有復(fù)數(shù)產(chǎn)生，此時(shí)對(duì)應(yīng)于PT破缺相.這一閾值也被稱為相變點(diǎn)或奇異點(diǎn)（Exceptional Point）.PT對(duì)稱將量子力學(xué)拓展到了非厄米范圍，此后它便成了量子力學(xué)中的一個(gè)重要研究方向.現(xiàn)階段非厄米PT對(duì)稱的研究工作已經(jīng)拓展到光學(xué)和聲學(xué)領(lǐng)域中，表現(xiàn)出許多奇特的物理現(xiàn)象.在光學(xué)領(lǐng)域的研究中，調(diào)節(jié)折射率的分布，使折射率在傳播方向上滿足實(shí)部偶對(duì)稱、虛部奇對(duì)稱，即可構(gòu)造PT對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)[2-6]；而在聲學(xué)領(lǐng)域的研究中，當(dāng)聲學(xué)系統(tǒng)滿足一定條件時(shí)，它也會(huì)有PT對(duì)稱性，例如Fleury等人[7]通過調(diào)節(jié)兩個(gè)麥克風(fēng)連接的阻抗使得麥克風(fēng)的等效質(zhì)量密度共軛對(duì)稱，從而利用PT對(duì)稱性實(shí)現(xiàn)了一種聲學(xué)隱身傳感器.

PT對(duì)稱性的關(guān)鍵點(diǎn)在于引入均衡的增益和損耗，而目前，固體介質(zhì)中針對(duì)彎曲波的PT對(duì)稱性的研究相對(duì)較少，其中一個(gè)重要的原因是自然介質(zhì)難以實(shí)現(xiàn)能量損耗和能量增益之間的平衡.壓電材料由于能夠?qū)崿F(xiàn)機(jī)械能與電能之間的轉(zhuǎn)化，并且具有易于調(diào)控的特點(diǎn)，有望解決這一問題.Christensen等人[4]利用壓電半導(dǎo)體中的聲電效應(yīng)構(gòu)造了聲子PT對(duì)稱系統(tǒng)，并分析了其中的單向無反射現(xiàn)象.Hou等人[8]基于壓電分流單元，提出了一種可調(diào)PT對(duì)稱系統(tǒng)，通過改變分流電路的阻抗便可以調(diào)節(jié)PT對(duì)稱系統(tǒng)奇異點(diǎn)出現(xiàn)的頻率.上述研究工作所提出的PT對(duì)稱系統(tǒng)均是針對(duì)縱波而言的，所獲得的研究成果為PT對(duì)稱系統(tǒng)的應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ).而與縱波相比，彎曲波的理論模型更為復(fù)雜，因此針對(duì)彎曲波的PT對(duì)稱系統(tǒng)同樣值得研究.

本文首先基于歐拉梁的假設(shè)，推導(dǎo)了針對(duì)彎曲波的PT對(duì)稱條件；然后基于該條件，利用壓電分流單元設(shè)計(jì)一種PT對(duì)稱梁，并采用等效介質(zhì)法和有限元仿真，得到增益單元、損耗單元的等效質(zhì)量密度和等效彎曲剛度；最后通過傳遞矩陣法和有限元仿真證明了PT對(duì)稱梁中的單向無反射現(xiàn)象，并通過計(jì)算散射矩陣的特征值和特征向量說明了單向無反射現(xiàn)象源于奇異點(diǎn)的存在.本文所提出的PT對(duì)稱梁對(duì)于彎曲波有許多潛在的應(yīng)用，包括增強(qiáng)傳感、彎曲波放大和非對(duì)稱控制等.

1PT對(duì)稱梁的設(shè)計(jì)與分析

1.1彎曲波PT對(duì)稱條件

根據(jù)歐拉梁假設(shè)，彎曲波沿x軸傳播時(shí)滿足控制方程[9]：

式中：w（x）、D_eff（x）、ρ_eff（x）和h_b分別表示梁的橫向位移、等效彎曲剛度、等效質(zhì)量密度和厚度.若梁滿足PT對(duì)稱性，則根據(jù)式（1）可以得到：

公式（3）和公式（4）表明，若滿足PT對(duì)稱性，則要求等效質(zhì)量密度ρ_eff（x）和等效彎曲剛度D_eff（x）關(guān)于原點(diǎn)共軛對(duì)稱.

1.2PT對(duì)稱梁設(shè)計(jì)

壓電分流單元已經(jīng)被證明可以有效地改變基體材料的等效彎曲剛度而幾乎不改變其等效質(zhì)量密度[10]，因此，可以通過設(shè)計(jì)合理的壓電分流單元使其滿足公式（3）和（4）所提出的等效質(zhì)量密度和等效彎曲剛度共軛對(duì)稱條件.圖1（a）為所設(shè)計(jì)的PT對(duì)稱梁示意圖，基體梁上表面貼有兩塊壓電片，兩塊壓電片分別連接由正、負(fù)電阻與電感并聯(lián)組成的分流電路，從而與基體梁部分構(gòu)成損耗單元、增益單元.分流電路中，正、負(fù)電阻的作用分別是衰減和放大彎曲波. 正電阻R_sh和電感L_sh并聯(lián)后的分流阻抗Z_L、負(fù)電阻-R_sh與電感L_sh并聯(lián)后的分流阻抗Z_G分別為：

式中：ω為角頻率.

PT對(duì)稱梁中的負(fù)電阻可以通過圖1（b）所示的Non-Foster電路來實(shí)現(xiàn)[11-12]，大電感可以用圖1（c）所示的Antoniou's模擬電感電路實(shí)現(xiàn)[13-14].此外，分流電路中的電感會(huì)與壓電片的固有電容產(chǎn)生諧振，從而使得增益單元、損耗單元的等效彎曲剛度D_eff（x）與彎曲波頻率相關(guān)，該現(xiàn)象在第2節(jié)進(jìn)一步說明.

1.3PT對(duì)稱梁的特性分析

本節(jié)基于等效介質(zhì)理論計(jì)算增益單元、損耗單元的等效參數(shù)，并通過傳遞矩陣法，針對(duì)圖1（a）所示PT對(duì)稱梁，計(jì)算彎曲波分別從左端和右端兩種入射情況下的透射系數(shù)和反射系數(shù).同時(shí)，使用有限元軟件COMSOL Multiphysics進(jìn)行有限元仿真，以驗(yàn)證理論計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性.

如圖2所示，令基體梁的厚度及彈性模量分別為h_b、E_b，壓電片的厚度和長度分別為h_p、L_p.假設(shè)壓電片除了垂直于x軸的端面外，其余表面均為自由狀態(tài)，且壓電片僅在z軸存在極化，因此壓電片的本構(gòu)方程可簡化為[15-16]：

另外，圖2所示單元內(nèi)任意一點(diǎn)x方向的位移u（x，z）為縱波位移u₀（x）與彎曲波位移w^p（x）的組合：

由于壓電片的厚度與基體梁的厚度處于同一個(gè)

數(shù)量級(jí)，因此電場強(qiáng)度E₃在z方向不能被認(rèn)為是恒定的.本文采用文獻(xiàn)［17］提出的假設(shè)，認(rèn)為電場強(qiáng)度E₃在z方向呈線性分布，即電場強(qiáng)度E₃和電勢(shì)V（x，z）可以用如下公式表述：

電位移D₃滿足控制方程[18]：

聯(lián)立公式（6）～公式（10），便可以求出系數(shù)a（x）、b（x）、c（x）和壓電片上表面的電壓V_up[17]：

以基體梁的中性面為基準(zhǔn)面，對(duì)應(yīng)力求積分，可以得到單元x-y截面上的彎矩M、法向力N和剪切力T：

其中系數(shù)I、J、K、F和G通過下式計(jì)算：

基于公式（15）～公式（17），圖2所示單元的運(yùn)動(dòng)控制方程為：

和彎曲波w^p（x）的表達(dá)式分別為：

對(duì)于基體梁中未貼壓電片的部分及貼有壓電片的部分，本文分別定義向量Y_b和Y_p：

根據(jù)公式（22）～公式（28），公式（15）～公式（17）可以用以下矩陣形式表述：

Y_p=B_p（x）A_p（31）

Y_b=B_bA_b（32）

其中：

根據(jù)連續(xù)性條件，結(jié)合公式（31）和公式（32），可以得到增益單元或損耗單元的傳遞矩陣M_i，其中i=G表示增益單元，i=L表示損耗單元：

式中：P_p為對(duì)角矩陣.

1.3.1等效參數(shù)

本文僅對(duì)波長遠(yuǎn)大于單元長度L_p的低頻彎曲波進(jìn)行分析，采用等效介質(zhì)理論計(jì)算結(jié)構(gòu)的等效參數(shù)[20].因?yàn)樵鲆鎲卧蛽p耗單元的等效參數(shù)求解原理相同，對(duì)應(yīng)的等效參數(shù)計(jì)算過程相同，所以本文僅以損耗單元為例介紹等效參數(shù)求解過程.

令x=0，根據(jù)公式（36），Y_b（L_p）與Y_b（0）之間滿足：

求解等效質(zhì)量密度ρ_eff時(shí)，需要獲取單元的質(zhì)量，這要求單元任意一點(diǎn)的橫向加速度均相同.如圖2 （a）所示，損耗單元整體相對(duì)于虛線方框所示的原始位置作幅值為A₁的橫向簡諧振動(dòng)，并且限制其左、右邊界的縱向位移和旋轉(zhuǎn)角度為0.依據(jù)上述邊界條件，基于公式（38）可求解向量中Y_b（0）、Y_b（L_p）的未知元素，從而得到損耗單元的等效質(zhì)量密度ρ_eff：

為了驗(yàn)證等效介質(zhì)法計(jì)算結(jié)果的正確性，本文針對(duì)損耗單元和增益單元，使用COMSOL分別建立了如圖2所示2種情況下的二維有限元模型.有限元模型中，認(rèn)為單元滿足平面引力假設(shè)，施加的邊界條件與等效介質(zhì)法中的邊界條件一致.

求解等效質(zhì)量密度ρ_eff時(shí)，分別在左、右邊界上，對(duì)單元所受的z方向力求線積分即可得到對(duì)應(yīng)邊界上的剪切力T（0）、T（L_p）；而求解等效彎曲剛度D_eff時(shí)，在右邊界上對(duì)單元所受的y方向力矩求線積分可得到力矩M（L_p）.得到剪切力和力矩之后，便可以通過公式（39）和公式（40）分別計(jì)算得到單元的等效質(zhì)量密度ρ_eff及等效彎曲剛度D_eff.

等效參數(shù)法和有限元仿真中，損耗單元和增益單元的幾何參數(shù)及材料參數(shù)如表1所示.另外，電感與壓電片的固有電容會(huì)產(chǎn)生諧振，因此取諧振頻率f₀=500Hz，分流電阻R_sh=1 000Ω.等效參數(shù)法和有限元仿真的計(jì)算結(jié)果在2.1節(jié)進(jìn)行討論.

1.3.2透射系數(shù)及反射系數(shù)

為了表述方便，本文用下標(biāo)l表示彎曲波從左端入射，用下標(biāo)r表示彎曲波從右端入射，將彎曲波從左端入射時(shí)的透射系數(shù)和反射系數(shù)分別定義為左透射系數(shù)t₁和左反射系數(shù)r₁.同理，定義彎曲波從右端入射時(shí)的右透射系數(shù)t_r和右反射系數(shù)r_r.

在PT對(duì)稱梁的左端或右端施加一個(gè)單位位移，即

式中：L表示兩塊壓電片之間的距離.求解公式（41）便可以分別得到左透射系數(shù)t₁、左反射系數(shù)r₁、右反射系數(shù)r₁、右透射系數(shù)t_r，進(jìn)而可以得到彎曲波的散射矩陣S[21]：

為驗(yàn)證傳遞矩陣法計(jì)算結(jié)果的正確性，本文使用COMSOL軟件建立如圖3所示的有限元仿真模型，基體梁上含有增益單元、損耗單元.分別在左端激勵(lì)點(diǎn)和右端激勵(lì)點(diǎn)施加力載荷，產(chǎn)生彎曲波.為了抑制邊界反射，基體梁的兩端各連接一個(gè)完美匹配層，其他邊界保持自由狀態(tài).完美匹配層的長度至少為研究波長的1/2[22]，在本文中，波長的最大值約為0.384 4 m，則本文中完美匹配層的長度設(shè)為0.2 m. 由于激勵(lì)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，所以觀測(cè)點(diǎn)相對(duì)原點(diǎn)也要對(duì)稱分布.為了避免受到激勵(lì)點(diǎn)的影響，觀測(cè)點(diǎn)與激勵(lì)點(diǎn)之間要保持一定距離.觀測(cè)點(diǎn)A和觀測(cè)點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為（-0.35 m，0）和（0.35 m，0），左端激勵(lì)點(diǎn)和右端激勵(lì)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-0.5 m，8.0×10^-4m）和（0.5m，8.0×10^-4m）.圖4為試驗(yàn)裝置圖，在圖4中，梁的兩端附著有藍(lán)丁膠，用來減少反射.信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生的信號(hào)經(jīng)過功率放大器后作用在壓電激勵(lì)器上，產(chǎn)生彎曲激勵(lì).激光測(cè)振儀用來測(cè)量指定點(diǎn)的位移響應(yīng)，它與信號(hào)調(diào)理器、數(shù)據(jù)采集卡、電腦共同組成信號(hào)采集處理系統(tǒng).試驗(yàn)中所需要的負(fù)電阻和電感可以分別通過圖1（b）和圖1（c）所示電路來實(shí)現(xiàn).

傳遞矩陣法和有限元仿真中，壓電片長度L_p=45 mm，兩塊壓電片之間的距離L = 300 mm，分流電阻R_sh=1 900Q，分流電路的諧振頻率f₀=500 Hz，其他參數(shù)與表1中所列參數(shù)相同.有限元仿真模型的長度為2 005 mm.

2結(jié)果和討論

2.1等效參數(shù)

基于上述等效介質(zhì)法和有限元仿真，計(jì)算得到增益單元和損耗單元的等效質(zhì)量密度ρ_eff和等效彎曲剛度D_eff.為了表達(dá)方便，本文采用歸一化等效質(zhì)量密度ρ_eff/ρ_b和歸一化等效彎曲剛度D_eff/D_b來表征增益單元、損耗單元的等效參數(shù).等效介質(zhì)法和有限元仿真計(jì)算得到的歸一化等效參數(shù)分別如圖5和圖6所示.由圖5（a）可知，通過2種方法得到的增益單元和損耗單元的歸一化等效質(zhì)量密度實(shí)部Re（ρ_eff/ρ_b）在計(jì)算頻率范圍內(nèi)幾乎保持不變，并且與分流阻抗無關(guān).由圖5（b）可知，歸一化等效質(zhì)量密度虛部Im（ρ_eff/ρ_b）數(shù)值很小，可以認(rèn)為，等效質(zhì)量密度ρ_eff在計(jì)算的頻率范圍內(nèi)為實(shí)數(shù).由圖6（a）和圖6（b）可以發(fā)現(xiàn)，增益單元和損耗單元的等效彎曲剛度D_eff共軛.因此，本文提出的PT對(duì)稱梁滿足公式（3）和公式（4）所提出的等效質(zhì)量密度ρ_eff和等效彎曲剛度D_eff共軛對(duì)稱條件.由于電感和分流電阻R_sh的存在，增益單元和損耗單元的等效彎曲剛度D_eff與彎曲波頻率相關(guān).等效介質(zhì)法和有限元仿真獲取的結(jié)果總體上相吻合，存在部分差異的原因主要在于等效介質(zhì)法存在的局限性，如壓電片z方向上電場線性分布的假設(shè)等.

為了進(jìn)一步表征歸一化等效彎曲剛度D_eff/D_b與分流電阻R_sh、彎曲波頻率的關(guān)系，本文采用等效介質(zhì)法計(jì)算不同分流電阻R_sh及不同頻率的彎曲波激勵(lì)下?lián)p耗單元的歸一化等效彎曲剛度D_eff/D_b，計(jì)算結(jié)果分別如圖7和圖8所示.由圖7可知，當(dāng)彎曲波的頻率遠(yuǎn)離530 Hz時(shí)，分流電阻R_sh的取值不會(huì)影響歸一化等效彎曲剛度實(shí)部Re（D_eff/D_b）和虛部Im（D_eff/D_b），并且虛部Im（D_eff/D_b）接近0，表明此時(shí)損耗單元幾乎沒有消耗彎曲波能量；當(dāng)彎曲波頻率為530 Hz附近時(shí)，歸一化等效彎曲剛度實(shí)部Re（D_eff/D_b）出現(xiàn)極值，并且增大分流電阻R_sh會(huì)使得歸一化等效彎曲剛度虛部Im（D_eff/D_b）數(shù)值減小，從而加強(qiáng)損耗作用.當(dāng)分流電路的諧振頻率f₀=800 Hz時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)圖8（a）和圖8（b）所示結(jié)果分別與圖7（a）和圖7（b）所示結(jié)果相近，只是歸一化等效彎曲剛度D_eff/D_b的梯度變大，并且隨著分流電路諧振頻率f₀的改變，極值出現(xiàn)的頻率變?yōu)?50 Hz附近.

由圖5～圖8可知，本文提出的PT對(duì)稱梁滿足公式（3）和公式（4）所提出的等效質(zhì)量密度ρ_eff和等效彎曲剛度D_eff共軛對(duì)稱條件.通過改變分流電阻R_sh和諧振頻率f₀，增益單元、損耗單元的彎曲剛度D_eff會(huì)產(chǎn)生較大變化.因此，本文所提出的PT對(duì)稱梁具有易于調(diào)控的特點(diǎn).

2.2透射系數(shù)、反射系數(shù)及散射矩陣

基于傳遞矩陣法和有限元仿真得到的透射系數(shù)和反射系數(shù)分別如圖9和圖10所示.圖9表示彎曲波分別從左端和右端入射的情況下透射系數(shù)的幅值，由圖9可知，2種方法得到的透射系數(shù)幅值一致，這是因?yàn)镻T對(duì)稱梁具有互易性，即左透射系數(shù)與右透射系數(shù)相等.在圖9中的陰影部分內(nèi)，透射系數(shù)的幅值大于1，這是由于PT對(duì)稱梁是非保守系統(tǒng)，與外界存在能量交換.圖10（a）和圖10（b）分別表示左反射系數(shù)幅值和右反射系數(shù)幅值.由圖10可以發(fā)現(xiàn)，PT對(duì)稱梁對(duì)彎曲波的非對(duì)稱散射特性，即當(dāng)彎曲波分別從左、右兩端入射時(shí)，2種情況下的反射系數(shù)幅值不相等，2種情況下的反射系數(shù)都存在零點(diǎn)，該零點(diǎn)對(duì)應(yīng)的彎曲波頻率即為單向無反射點(diǎn)，如圖10（a）中的520.5 Hz及圖10（b）中的511 Hz.由圖9可以發(fā)現(xiàn)，在單向無反射點(diǎn)511 Hz和520.5 Hz，透射系數(shù)的幅值接近1.

根據(jù)PT對(duì)稱性，左反射系數(shù)r_l、右反射系數(shù)r₁、透射系數(shù)t之間滿足：

根據(jù)公式（44），可以得到廣義守恒定律[23]：

為了更好地闡述單向無反射特性，本文從有限元仿真的結(jié)果中，提取PT對(duì)稱梁在2個(gè)單向無反射點(diǎn)511 Hz和520.5 Hz下的歸一化彎曲波位移場幅值，結(jié)果如圖11所示.由圖11可知，區(qū)域I和區(qū)域II能直觀地體現(xiàn)PT對(duì)稱梁的散射特性，區(qū)域I代表左端激勵(lì)點(diǎn)到損耗單元左邊界的范圍；區(qū)域II代表增益單元右邊界與右端激勵(lì)點(diǎn)之間的范圍.當(dāng)511 Hz 的彎曲波從左端入射時(shí)，區(qū)域I中有明顯的干涉條紋，表明區(qū)域I中入射彎曲波與反射彎曲波形成了駐波，導(dǎo)致區(qū)域I中各點(diǎn)的彎曲位移幅值明顯不一致.當(dāng)511 Hz的彎曲波從右端入射時(shí)，區(qū)域II中各點(diǎn)的彎曲位移幅值近似相等，表明區(qū)域II中只有向右傳播的彎曲波而幾乎不存在反射彎曲波，并且區(qū)域I和區(qū)域II的彎曲位移幅值相近，表明此時(shí)PT對(duì)稱梁對(duì)右端入射的彎曲波完全透射.當(dāng)520.5 Hz的彎曲波從左端入射時(shí)，區(qū)域I中幾乎無反射彎曲波存在，并且彎曲波幾乎完全透射至區(qū)域II；而從右端入射時(shí)，區(qū)域II中反射彎曲波與入射彎曲波形成了駐波，導(dǎo)致區(qū)域II中各點(diǎn)之間的彎曲位移幅值有較大差別.

3結(jié)論

1）利用壓電分流單元設(shè)計(jì)一種針對(duì)彎曲波的PT對(duì)稱梁，其中壓電分流單元連接了正/負(fù)電阻并聯(lián)電感組成的分流電路，構(gòu)成損耗單元、增益單元；采用等效介質(zhì)法計(jì)算損耗單元、增益單元的等效彎曲剛度和等效質(zhì)量密度，并通過有限元仿真對(duì)等效介質(zhì)法進(jìn)行驗(yàn)證.結(jié)果表明，本文所提出的設(shè)計(jì)滿足等效質(zhì)量密度和等效彎曲剛度共軛對(duì)稱.

2）采用傳遞矩陣法計(jì)算PT對(duì)稱梁的透射系數(shù)和反射系數(shù)，并與有限元仿真的結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證傳遞矩陣法的正確性.傳遞矩陣法和有限元仿真的結(jié)果表明，所提出的PT梁針對(duì)彎曲波具有非對(duì)稱散射特性，并且存在單向無反射點(diǎn).

3）通過計(jì)算散射矩陣的特征值與特征向量，分析PT對(duì)稱梁的奇異點(diǎn)與單向無反射點(diǎn)之間的關(guān)系，結(jié)果表明，PT對(duì)稱梁的奇異點(diǎn)即為單向無反射點(diǎn).

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