曲登科 范毅 薛鵬

1) (東南大學(xué)物理學(xué)院，南京 211189)

2) (北京計(jì)算科學(xué)研究中心，北京 100084)

3) (中國人民解放軍陸軍步兵學(xué)院，石家莊 050083)

1 引言

量子力學(xué)要求封閉系統(tǒng)的物理可觀測值由具有實(shí)特征值的厄密算子表示.然而在自然界中，由于耗散現(xiàn)象的普遍存在，不可避免地存在能量、粒子以及信息等物理量的丟失，物理量的守恒性會(huì)被破壞.因此真實(shí)的物理系統(tǒng)實(shí)際上是非厄米系統(tǒng).近年來，非厄米系統(tǒng)及其動(dòng)力學(xué)特性越來越受到人們的關(guān)注[1-20].研究量子系統(tǒng)與環(huán)境之間的相互作用是至關(guān)重要的，此相互作用可以導(dǎo)致耗散、衰退和退相干等現(xiàn)象.值得一提的是如果系統(tǒng)滿足宇稱-時(shí)間對稱性，則一類非厄米哈密頓量可以具有完全為實(shí)數(shù)的本征能量[21-23].非厄米哈密頓量的本征能量為實(shí)數(shù)的一個(gè)充分條件是哈密頓量滿足宇稱時(shí)間對稱性，并且哈密頓量的本征函數(shù)同時(shí)是宇稱-時(shí)間對稱算子的本征函數(shù).滿足宇稱-時(shí)間對稱性的非厄米系統(tǒng)包含兩個(gè)相區(qū)域:宇稱-時(shí)間對稱性保持的區(qū)域，在此區(qū)域內(nèi)整個(gè)本征譜都為實(shí)數(shù)，在宇稱-時(shí)間對稱性破壞的區(qū)域本征值形成復(fù)共軛對的形態(tài).在這兩個(gè)相區(qū)間存在著奇異點(diǎn)，在奇異點(diǎn)處會(huì)有非常規(guī)的相變發(fā)生[24].

在增益和損耗平衡的經(jīng)典系統(tǒng)已經(jīng)預(yù)測和觀察到宇稱-時(shí)間對稱系統(tǒng)的幾個(gè)獨(dú)特的性質(zhì)[25-32].自從第一次在光學(xué)系統(tǒng)中觀測到宇稱-時(shí)間對稱性破壞和功率振蕩[25，26]以來，研究人員相繼報(bào)道了非守恒系統(tǒng)中獨(dú)有的豐富的波的現(xiàn)象，如單向性[30]和多功能設(shè)備中的光傳輸[27].相關(guān)現(xiàn)象已經(jīng)在物理學(xué)的其他子領(lǐng)域進(jìn)行了研究，包括電路[28]和機(jī)械振蕩器[29].在量子體系中，同樣研究了宇稱-時(shí)間對稱系統(tǒng)的各個(gè)方面[33-43]，如玻色-哈伯德二聚體[33]、糾纏[34]以及臨界現(xiàn)象[39-42].

雖然損耗通常被認(rèn)為會(huì)對系統(tǒng)的相干性產(chǎn)生損壞[44，45]，但是滿足宇稱-時(shí)間對稱性的經(jīng)典系統(tǒng)中的獨(dú)特的現(xiàn)象和有用的應(yīng)用說明了平衡增益和損耗的作用.從經(jīng)典系統(tǒng)的研究成果來看，滿足宇稱-時(shí)間對稱性的量子系統(tǒng)有望顯示出對退相干的魯棒性，可能會(huì)導(dǎo)致量子信息處理中的長相干時(shí)間.近年來，滿足宇稱-時(shí)間對稱性的系統(tǒng)的信息論表征開始被探索[40-42，46].除了實(shí)際的重要性之外，這種信息論表征對于更深入地理解宇稱-時(shí)間對稱系統(tǒng)可以作為開放量子系統(tǒng)是必備的.在開放量子系統(tǒng)中宇稱-時(shí)間對稱的非幺正動(dòng)力學(xué)的一個(gè)典型的例子就是系統(tǒng)與環(huán)境之間信息流動(dòng)的可逆-不可逆的臨界性[46].

在2019 年，中國和日本的研究小組利用兩能級的光學(xué)系統(tǒng)，借助量子態(tài)間的可區(qū)分性量化信息的流動(dòng)，實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證了當(dāng)系統(tǒng)處于宇稱-時(shí)間對稱相區(qū)域時(shí)，流入環(huán)境的信息可以完全恢復(fù)[40].當(dāng)系統(tǒng)自發(fā)破壞宇稱-時(shí)間對稱性時(shí)，信息的流動(dòng)是不可逆的.同時(shí)，在宇稱-時(shí)間轉(zhuǎn)變點(diǎn)周圍信息的流動(dòng)具有獨(dú)特的臨界性，通過該點(diǎn)時(shí)，可逆的信息變得不可逆，反之亦然.然而對于宇稱-時(shí)間對稱系統(tǒng)的量子信息的可逆性的學(xué)習(xí)目前還限于二維希爾伯特空間的系統(tǒng)中，在本文中，將重點(diǎn)介紹在高維希爾伯特空間中，在宇稱-時(shí)間對稱性保持的相區(qū)域，損失到環(huán)境中的信息仍然可以完全恢復(fù)，在靠近奇異點(diǎn)區(qū)域時(shí)，量子態(tài)間的可區(qū)分性會(huì)出現(xiàn)冪律的行為.我們使用量子態(tài)間的可區(qū)分性這一物理量統(tǒng)一量化了低維與高維量子系統(tǒng)與環(huán)境之間的信息流動(dòng).

宇稱-時(shí)間對稱系統(tǒng)中的信息恢復(fù)為更好地控制量子系統(tǒng)的行為提出了新的可能性，其方式不同于量子芝諾效應(yīng)[47-49]或動(dòng)態(tài)解耦[50-52].動(dòng)態(tài)解耦依賴于脈沖注入的時(shí)間反轉(zhuǎn)，而本文中的信息恢復(fù)是有對稱性保護(hù)的隱藏的糾纏伙伴引起的.這其中潛在的物理本質(zhì)上不同于無退相干的子空間，在無退相干的子空間中，幺正態(tài)的演化由一定的對稱性保持[53-59];相比之下，在宇稱時(shí)間對稱性保持與破壞的相區(qū)域，宇稱-時(shí)間對稱的動(dòng)力學(xué)過程本質(zhì)上都是非幺正的.本文第2 節(jié)會(huì)介紹信息流動(dòng)的定義.第3 節(jié)回顧兩維希爾伯特空間中信息流動(dòng)的恢復(fù)與臨界性.第4 節(jié)介紹高維希爾伯特空間中使用量子態(tài)間的可區(qū)分性來衡量信息的流動(dòng).最后對全文進(jìn)行總結(jié)與展望.

2 信息流動(dòng)

控制的動(dòng)力學(xué)可以由下式表示[60]:

這里，通常使用希爾伯特-施密特內(nèi)積.考慮一個(gè)通用的N能級量子系統(tǒng)，并根據(jù)同一系統(tǒng)的兩個(gè)量子態(tài)之間的跡距離來表征進(jìn)出系統(tǒng)的信息流動(dòng)[61]:

馬爾可夫演化問題的主要解決方法是可以基于可除性[66，69，74，75]、態(tài)的可區(qū)分性[67]、量子糾纏[69]、量子費(fèi)舍爾信息流動(dòng)[76]、保真度[76]、互信息[70，77]、幾何表征[78]等物理量.但并不是所有的物理量都可以很好地量化表示宇稱-時(shí)間對稱的動(dòng)力學(xué)，由于非線性的原因，可除性等物理量就無法探測宇稱-時(shí)間對稱系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)的非馬爾可夫性.然而，量子態(tài)之間的可區(qū)分性仍然可以作為宇稱-時(shí)間動(dòng)力學(xué)中的非馬爾可夫性的一種度量，因?yàn)檫@種度量可以直接量化系統(tǒng)與環(huán)境之間的信息流動(dòng)，從而檢測記憶效應(yīng)的存在，即使動(dòng)力學(xué)是非線性的.雖然采取其他的測量方法也是可行的，由于跡距離區(qū)分了所有不同的量子態(tài)，并且只取決于系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)，因此跡距離非常適合作為信息流動(dòng)的測量方法.

非馬爾可夫性起源于本征態(tài)的非正交性.為了解釋這個(gè)，對(1)式表示的宇稱-時(shí)間對稱的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行本征分解:

其中，|φn〉是本征能量為En的右本征矢.當(dāng)動(dòng)力學(xué)過程是幺正過程時(shí)，本征態(tài)是相互正交的，由(3)式的分母給出的歸一化因子始終是一個(gè)常數(shù).在宇稱-時(shí)間對稱的動(dòng)力學(xué)過程中，歸一化因子由于本征態(tài)的非正交性而振蕩，表明系統(tǒng)與環(huán)境之間存在連續(xù)的信息交換.在這一方面，在各種系統(tǒng)中觀測到的功率振蕩可以解釋為信息從環(huán)境中回流的證據(jù)[25-28，44]，以及在宇稱-時(shí)間對稱性保持的相區(qū)域的非馬爾可夫特征.

3 二能級系統(tǒng)中的信息恢復(fù)

值得一提的是，在量子系統(tǒng)中使用單光子實(shí)現(xiàn)宇稱-時(shí)間對稱的動(dòng)力學(xué)演化的難度在于無法實(shí)現(xiàn)單光子的增益.已有實(shí)驗(yàn)通過更少損失與更多損失的交替來替代宇稱-時(shí)間對稱動(dòng)力學(xué)中的增益與損失，從而實(shí)現(xiàn)了滿足宇稱-時(shí)間對稱的量子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化過程[37].基于這種思路，該二能級系統(tǒng)的哈密頓量對應(yīng)的有效非厄米的哈密頓量可以寫為

圖1(a)和圖1(b)給出了在宇稱-時(shí)間對稱的區(qū)域(0＜a ＜1)量子態(tài)之間的可區(qū)分性隨時(shí)間的演化.作為對比，也給出了幺正演化(a=0)的情況.從圖中可以看出，量子態(tài)間的可區(qū)分性隨時(shí)間會(huì)出現(xiàn)一個(gè)周期性振蕩的現(xiàn)象.這也意味著存在一段時(shí)間區(qū)域，在此時(shí)間中量子態(tài)間的可區(qū)分性的一次導(dǎo)數(shù)是大于 0 的.因此，系統(tǒng)恢復(fù)了流入環(huán)境的信息，在宇稱-時(shí)間保持的相區(qū)域展示了獨(dú)特的非馬爾可夫行為.并且從圖1(a)和圖1(b)可以看出，振蕩的時(shí)間周期隨著系統(tǒng)逐漸靠近奇異點(diǎn)的位置也逐漸上升.

圖1 在宇稱-時(shí)間對稱的兩能級系統(tǒng)的信息流動(dòng) (a)，(b) 在宇稱-時(shí) 間對稱保持的區(qū)域(0 ＜a ＜1)，量子態(tài)的可區(qū) 分性表現(xiàn)出周期性振蕩，當(dāng)逐漸靠近奇異點(diǎn)(a=1)時(shí)，信息恢復(fù)的周期會(huì)變長;(c) 在宇稱-時(shí)間對稱性被破壞的區(qū)域(a ＞1)，量子態(tài)的可區(qū)分性在一直在衰減Fig.1.Information flow in the parity-time-symmetric twolevel system:(a)，(b) The distinguishability oscillates with period in the parity-time-unbroken phase (0 ＜a ＜1).When approaching the exceptional point (a=1)，the period of the information retrieval.(c) The distinguishability between quantum states is declining in the parity-time-symmetry-broken regime (a ＞1).

圖1(c)給出了在宇稱-時(shí)間對稱性被破壞的相區(qū)域(a＞1)的量子態(tài)間的可區(qū)分性隨著時(shí)間的演化.可以看出，可區(qū)分性隨時(shí)間呈現(xiàn)指數(shù)衰減的趨勢.若使用函數(shù)D(t)=D(0)e-t/τ對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，其中D(0) 為常數(shù)，τ為弛豫時(shí)間，可以發(fā)現(xiàn)弛豫時(shí)間隨著系統(tǒng)接近奇異點(diǎn)而增加[40].在奇異點(diǎn)的位置(a=1)，可區(qū)分性在長時(shí)間限制內(nèi)可以表現(xiàn)出冪律的行為.如圖2 所示，將計(jì)算的數(shù)據(jù)使用函數(shù)xt-y進(jìn)行擬合，可以得到量子態(tài)間的可區(qū)分性展示出的冪律行為是D(t)～t-2，這與解析結(jié)果是完全符合的[46].

圖2 在宇稱-時(shí)間對稱的兩能級系統(tǒng)在奇異點(diǎn)處(a=1)，量子態(tài)的可區(qū)分性的冪律行為Fig.2.Power-law behavior of the distinguishability of the parity-time-symmetric system at the exceptional point a=1 .

4 四能級系統(tǒng)中的信息恢復(fù)

對于滿足宇稱-時(shí)間對稱性的系統(tǒng)的研究，還大多停留在二維希爾伯特空間中.本節(jié)主要介紹在四維希爾伯特空間中宇稱-時(shí)間對稱的動(dòng)力學(xué)的信息恢復(fù).考慮一個(gè)四能級的宇稱-時(shí)間對稱系統(tǒng)[41，80-82]，其由以下哈密頓量描述:

其中和為SU(2)群的自旋— 3/2 表示.該哈密頓量寫成矩陣表示為

該四能級系統(tǒng)的基態(tài)為計(jì)算基 {|1〉，|2〉，|3〉，|4〉}.該哈密頓量與反線性的宇稱-時(shí)間算符對易，其中宇稱算符為antidiag(1，1，1，1) 且時(shí)間反演算符由它的復(fù)共軛給出.(7)式中前兩個(gè)計(jì)算模代表增益，后兩個(gè)計(jì)算模代表損失.宇稱-時(shí)間對稱哈密頓量的本征能 量可以 表示為λk={-3/2，-1/2，+1/2，，(k=1，2，3，4)，在γ=J的位置產(chǎn)生四階奇異點(diǎn)，表示有 4 個(gè)本征值與 4 個(gè)本征態(tài)都是簡并的.該宇稱-時(shí)間對稱的哈密頓量的能量間隙為，因此在γ＜J時(shí)，系統(tǒng)位于宇稱-時(shí)間對稱性保持的相區(qū)域，在γ＞J時(shí)，系統(tǒng)的宇稱-時(shí)間對稱性被打破.為了衡量在四能級系統(tǒng)中 的信息流動(dòng)，選擇初 態(tài)ρ1=1/2(|1〉+|2〉)(〈1|+〈2|) 和ρ2=1/2(|3〉+|4〉)(〈3|+〈4|) .依 然可以通過通過(2)式計(jì)算兩個(gè)態(tài)隨時(shí)間演化的可區(qū)分性.

如圖3(a)和圖3(b)所示，選擇參數(shù)J=1，對于系統(tǒng)處于幺正演化的情況(γ=0)，量子態(tài)之間的可區(qū)分性始終為 1，也就意味著系統(tǒng)的信息沒有流失.在宇稱-時(shí)間對稱性保持的相區(qū)域(γ＜J)，與二能級系統(tǒng)中展示的宇稱-時(shí)間對稱的動(dòng)力學(xué)過程相同，量子態(tài)之間的可區(qū)分性呈現(xiàn)出周期性振蕩的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象也標(biāo)志著系統(tǒng)流入環(huán)境的信息會(huì)完全恢復(fù).隨著系統(tǒng)逐漸逼近奇異點(diǎn)，振蕩的周期也是逐漸變長，并且信息恢復(fù)的程度也在變大.圖3(c)表示量子態(tài)之間的可區(qū)分性隨著時(shí)間的增加一直在衰減.當(dāng)接近奇異點(diǎn)時(shí)，量子態(tài)的可區(qū)分性漸進(jìn)地表現(xiàn)為D～1/t2.如圖4 所示，在奇異點(diǎn)的位置(γ=J)，量子態(tài)之間的可區(qū)分性在長時(shí)間的演化后表現(xiàn)出冪律行為.將計(jì)算結(jié)果使用函數(shù)xt-y進(jìn)行擬合，可以得到在奇異點(diǎn)處，量子態(tài)的可區(qū)分性表現(xiàn)出的冪律行為是D～1/t2.

圖3 宇稱-時(shí)間對稱的四能級系統(tǒng)的信息流動(dòng) (a)，(b) 在宇稱-時(shí)間對稱保持的區(qū)域(γ ＜J)，量子態(tài)的可區(qū)分性表現(xiàn)出周期 性振蕩，當(dāng)逐漸靠近奇 異點(diǎn)(γ=J)時(shí)，信 息恢復(fù)的周期會(huì)變長;(c) 在宇稱-時(shí)間對稱性被破壞的區(qū)域(γ ＞J)，量子態(tài)的可區(qū)分性在一直在衰減Fig.3.Information flow in the parity-time-symmetric fourlevel system:(a)，(b) The distinguishability oscillates with period in the parity-time-unbroken phase (γ ＜J).When approaching the exceptional point (γ=J)，the period of the information retrieval.(c) The distinguishability between quantum states is declining in the parity-time-symmetrybroken regime (γ ＞J).

圖4 在宇稱-時(shí)間對稱的四能級系統(tǒng)在奇異點(diǎn)處(γ=J)，量子態(tài)的可區(qū)分性的冪律行為.Fig.4.Power-law behavior of the distinguishability of the parity-time-symmetric system at the exceptional point γ=J .

由于線性增益放大器中噪聲的量子限制[83]，不可能在量子領(lǐng)域中創(chuàng)建具有平衡增益和損失的量子系統(tǒng)[84].奇異點(diǎn)的簡并現(xiàn)象也可以在具有模式選擇損失的耗散系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn).這種被動(dòng)的宇稱-時(shí)間對稱系統(tǒng)已經(jīng)在量子領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)，如單光子[85-88]、超冷原子[36]、超導(dǎo)傳輸子[89].基于以上基礎(chǔ)，針對本文提出的高維希爾伯特空間中的信息恢復(fù)與臨界性的方案，也可以借助單光子光源去實(shí)現(xiàn)耗散系統(tǒng)[90-96]，從而觀測到宇稱-時(shí)間對稱動(dòng)力學(xué)演化的臨界現(xiàn)象.

5 總結(jié)和展望

高維的宇稱-時(shí)間對稱系統(tǒng)可以視為兩個(gè)或者多個(gè)最小的非厄米量子系統(tǒng)的組合，為宇稱-時(shí)間對稱性與奇異點(diǎn)簡并性的相互作用的量子模型提供了一個(gè)新的起點(diǎn).本文發(fā)現(xiàn)流入環(huán)境中的信息可以在高維的宇稱-時(shí)間對稱系統(tǒng)中恢復(fù).在非厄米動(dòng)力學(xué)過程中，奇異點(diǎn)扮演著臨界點(diǎn)的角色，當(dāng)系統(tǒng)穿越該點(diǎn)時(shí)，信息流動(dòng)的可逆性變?yōu)椴豢赡?，反之亦?在臨界點(diǎn)的周圍，量子態(tài)間的可區(qū)分性這一物理量表現(xiàn)出冪律行為.并且使用量子態(tài)的可區(qū)分性統(tǒng)一量化了低維與高維宇稱-時(shí)間對稱系統(tǒng)中的信息流動(dòng).這些發(fā)現(xiàn)可能在量子控制中找到新的應(yīng)用.