朱道泉 項(xiàng)玉 孫風(fēng)瀟? 何瓊毅2)

1) (北京大學(xué)物理學(xué)院，人工微結(jié)構(gòu)和介觀物理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100871)

2) (北京大學(xué)，教育部納光電子前沿科學(xué)中心，北京 100871)

1 引言

以量子物理為基礎(chǔ)的量子信息技術(shù)，在保障信息安全、提高運(yùn)算速度、提升測(cè)量靈敏度等方面具有巨大的潛力.其中，量子存儲(chǔ)是量子信息處理的關(guān)鍵步驟[1-5]，是未來拓展量子通信應(yīng)用[6，7]，實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算[8-10]，建立大尺度量子網(wǎng)絡(luò)[11-13]等量子信息前沿應(yīng)用的核心技術(shù)之一.隨著量子技術(shù)的加速發(fā)展，各類量子信息處理任務(wù)對(duì)量子存儲(chǔ)的要求也越來越高.以量子計(jì)算為例，為了實(shí)現(xiàn)更大規(guī)模的集成通用型計(jì)算線路，需要將不同節(jié)點(diǎn)處的量子處理器連接起來進(jìn)行分布式量子計(jì)算提升對(duì)量子態(tài)的處理能力[14-16].這不僅要保證每個(gè)節(jié)點(diǎn)處對(duì)量子態(tài)進(jìn)行長時(shí)間、高保真的存儲(chǔ)，還需要實(shí)現(xiàn)量子態(tài)在不同節(jié)點(diǎn)之間的高保真?zhèn)鬏擺7，17-20]與按需讀取[20-29].所謂按需讀取，是指量子態(tài)寫入存儲(chǔ)器以后再根據(jù)需求決定讀出的時(shí)間，這為更大的量子通信或計(jì)算單元實(shí)現(xiàn)同步操作提供可能.比如，2020 年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)首次實(shí)現(xiàn)了按需式讀取的可集成固態(tài)量子存儲(chǔ)器[27].

目前，人們已經(jīng)在多種物理體系中對(duì)量子存儲(chǔ)進(jìn)行了深入的研究，在單個(gè)原子[30]、原子系綜[7，12，20，31-39]、光學(xué)腔[40-42]、微波腔[19，25，43，44]、固態(tài)體系[4，21-24，26，29，45-51]、混合體系[28，52，53]等物理體系中已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了量子態(tài)存儲(chǔ).大多數(shù)的研究工作中量子態(tài)的寫入與讀取操作是在同一節(jié)點(diǎn)處進(jìn)行，再將量子態(tài)傳輸?shù)搅硪还?jié)點(diǎn)，存儲(chǔ)與傳輸是兩個(gè)分開的過程.而在超導(dǎo)體系中，微波波導(dǎo)既可以設(shè)計(jì)為高品質(zhì)因子的微波諧振腔，作為量子存儲(chǔ)器進(jìn)行量子態(tài)存儲(chǔ)[25，43]，又可以作為微波傳輸線實(shí)現(xiàn)量子態(tài)傳輸[17-19]，因此基于微波波導(dǎo)可以將兩個(gè)過程結(jié)合起來.比如，已經(jīng)有實(shí)驗(yàn)利用單一微波諧振腔同時(shí)實(shí)現(xiàn)了單量子比特的量子態(tài)存儲(chǔ)與傳輸[43]，這里為了實(shí)現(xiàn)量子態(tài)存儲(chǔ)，波導(dǎo)長度需要設(shè)計(jì)為其諧振波長的一半.進(jìn)一步，2021 年清華大學(xué)采用超導(dǎo)多諧振器的動(dòng)態(tài)調(diào)控與微波傳輸線相結(jié)合的結(jié)構(gòu)，首次在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)了對(duì)單光子水平微波脈沖的存儲(chǔ)與按需讀取[25].那么，是否可以簡化模型，利用單一波導(dǎo)實(shí)現(xiàn)量子態(tài)的高保真存儲(chǔ)和按需讀取，同時(shí)解除對(duì)波導(dǎo)長度的設(shè)計(jì)限制，對(duì)此我們?cè)谙旅孢M(jìn)行了初步的理論探討.

一種可能的方案是利用受激拉曼絕熱路徑(stimulated Raman adiabatic passage，STIRAP)將待傳遞的量子態(tài)編碼到體系的暗態(tài)上[54]，這樣可以將量子態(tài)絕熱地從一個(gè)模式通過中間的微波波導(dǎo)傳輸?shù)搅硪粋€(gè)模式[55，56].進(jìn)一步，我們?cè)谠糞TIRAP方案的基礎(chǔ)上在兩個(gè)控制脈沖之間引入延遲，使得它們分別作用在波導(dǎo)兩端作為寫入與讀出脈沖，將輸入量子態(tài)存儲(chǔ)到中間的微波波導(dǎo)中.具體的，考慮圖1 所示的由兩端超導(dǎo)諧振腔和中間微波波導(dǎo)構(gòu)成的量子電路模型.兩端的諧振腔分別作為量子態(tài)的寫入和讀取單元，中間的波導(dǎo)用來存儲(chǔ)和傳輸量子態(tài).以存儲(chǔ)高斯態(tài)為例，我們采用正弦波形脈沖，通過設(shè)計(jì)寫入與讀出脈沖的持續(xù)時(shí)間以及二者的延遲時(shí)間，數(shù)值模擬后發(fā)現(xiàn)寫入脈沖的持續(xù)時(shí)間在一定范圍時(shí)，一旦量子態(tài)在波導(dǎo)中的存儲(chǔ)時(shí)間超過某一臨界值，在之后的任意時(shí)刻都可以施加讀出脈沖對(duì)量子態(tài)進(jìn)行讀取，在理想條件下讀出量子態(tài)的保真度可高達(dá)0.999.這樣就可以根據(jù)任務(wù)需求決定讀出時(shí)間，實(shí)現(xiàn)量子態(tài)的異地高保真按需讀取.并且，通過對(duì)比相同保真度下的脈沖持續(xù)時(shí)間可以看出，本方案可以將脈沖面積降為原始STIRAP方案的三分之一，消耗能量更少.最后，考慮到體系暗態(tài)與外界解耦，因此量子態(tài)受波導(dǎo)模式耗散與噪聲的影響很小，可以保持較穩(wěn)定的量子態(tài)存儲(chǔ).據(jù)此，我們對(duì)結(jié)果進(jìn)行了魯棒性分析，證實(shí)本方案對(duì)中間波導(dǎo)中的平均熱光子數(shù)和讀取脈沖的持續(xù)時(shí)間具有較強(qiáng)的魯棒性.

圖1 量子態(tài)存儲(chǔ)與異地讀取方案圖.EC，EL 分別代表兩端讀寫腔的電容充電能和電感能量.EC，B 和 EL，B 為波導(dǎo)中每個(gè)單元的電容充電能和電感能量Fig.1.Setup for quantum state storage and remote retrieval.EC，EL are the capacitive and inductive energies of both writing and reading cavities，respectively.EC，B and EL，B are the capacitive and inductive energies for the unit cell within the waveguide.

2 體系模型

2.1 離散波導(dǎo)模型

本文對(duì)位于中間的波導(dǎo)采用離散化模型[57]描述，把波導(dǎo)看成 2N0+1 個(gè)單元(N0≥0)，每一個(gè)單元包含1 個(gè)電容和1 個(gè)電感.這樣在正則量子化后，1 個(gè)單元可以用1 對(duì)共軛算符來描述.設(shè)波導(dǎo)單位長度的電容為cB，單位長度的電感為lB，每個(gè)單元的長度為x.則每個(gè)單元的電容的充電能為EC，B=e2/(2cBδx)，電感能量為，其中Φ0=?/(2e)，為約化磁通量量子.整個(gè)波導(dǎo)的哈密頓量為

式中，無量綱電荷算符nk和磁通量算符φk構(gòu)成一組共軛算符，滿足對(duì)易關(guān)系 [φk，nk]=i.理想波導(dǎo)需要滿足連續(xù)性極限假設(shè)[58]，即 2N0+1→∞，且波導(dǎo)長度d固定，這就要求每個(gè)單元的長度δx=d/(2N0+1)→0 .在這一極限下，我們可以得到波導(dǎo)中的色散關(guān)系為

2.2 體系的演化方程

諧振腔與波導(dǎo)之間通過互感相互作用耦合，體系的總哈密頓量可以表示為

式 中:EC=e2/(2C) ，EL=Φ02/L，C，L分別為 微波腔的電容和電感強(qiáng)度;M是波導(dǎo)與微波腔的互感強(qiáng)度;下標(biāo) 0 代表寫入腔，下標(biāo) 2N0+2 代表讀出腔.需要注意的是，哈密頓量的半正定性要求M≤從(3)式中可以得到兩微波腔的頻率為ω=，我們根據(jù)這一頻率對(duì)系統(tǒng)中的所有時(shí)間ti、頻率ωi進(jìn)行無量綱化處理，即ti →ωti，ωi →ωi/ω.

一般而言，體系的維度隨著模式個(gè)數(shù)的增加會(huì)指數(shù)增長，數(shù)值求解多體系統(tǒng)的完整動(dòng)力學(xué)演化是比較困難的.對(duì)于某些量子態(tài)，我們可以通過計(jì)算其不同階矩來對(duì)體系進(jìn)行刻畫，這樣就使得系統(tǒng)維度由原本的指數(shù)增長降為多項(xiàng)式增長.因?yàn)轶w系哈密頓量的形式是關(guān)于所有共軛算符的二次型，所以如果體系的初始量子態(tài)為高斯態(tài)，那么體系將一直處于高斯態(tài)上.這樣我們只需獲得其一階矩和二階矩就足夠?qū)w系進(jìn)行完美刻畫.接下來，我們就以高斯態(tài)為例，研究它在體系中的傳輸規(guī)律.

首先對(duì)于共軛量 {(φi，ni)，i=0，1，2，···，2N0+2}，可以定義如下的場(chǎng)算符矢量v=[φ0，φ1，···，φ2N0+2，n0，n1，···，n2N0+2]T.其一階矩與二階矩可以被表示為

式中，〈·〉代表期望，{A，B}=AB+BA，為反對(duì)易子.場(chǎng)算符矢量v所滿足的動(dòng)力學(xué)方程為線性方程

式中，F(xiàn)(t) 表示v的演化矩陣.通過海森堡方程，我們可以確定F(t) 的各個(gè)矩陣元，

由(6)式可以得到v的前兩階矩的運(yùn)動(dòng)方程分別為

3 量子態(tài)存儲(chǔ)與按需讀取的理論方案

3.1 受激拉曼絕熱路徑

首先對(duì)原始的STIRAP 做一個(gè)簡單介紹.對(duì)于1 個(gè)Λ型三能級(jí)體系，我們可以通過施加兩束控制光ΩP和ΩS，分別控制 1?2 與 2?3 之間的 躍遷.在旋波近似、雙光子共振的條件下，體系的哈密頓量為

其中取|2〉 能 級(jí)能量為零，Δ為|1〉、|3〉 能級(jí)與|2〉 能級(jí)之間的躍遷頻率.通過求解體系的本征能量，可以發(fā)現(xiàn)該體系存在1 個(gè)僅由|1〉 和|3〉 構(gòu)成的暗態(tài)|dark〉=cosθ|1〉 -sinθ|3〉，其中tanθ=ΩP/ΩS.根據(jù)絕熱定理，如果系統(tǒng)初始時(shí)刻處于系統(tǒng)哈密頓量的本征態(tài)上，那么當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)行絕熱演化時(shí)，系統(tǒng)將一直處于該本征態(tài)上.因此通過緩慢調(diào)節(jié)脈沖，使其由初始時(shí)刻的ΩP(0)?ΩS(0) 緩慢變化到末時(shí)刻的ΩP(tf)?ΩS(tf)，可以將體系從|1〉 絕熱地演化到|3〉 .需要指出的是，STIRAP 方法不僅對(duì)三能級(jí)體系適用，也適用于三模式系統(tǒng)，使其中A 模式的量子態(tài)絕熱地傳遞到與之不相鄰的C 模式中，且對(duì)中間模式B 的耗散魯棒[55，56].

3.2 基于改進(jìn)的STIRAP 方案實(shí)現(xiàn)量子態(tài)按需讀取

在原始STIRAP 的方案中需要全過程施加脈沖，導(dǎo)致其脈沖能量利用率比較低.因此我們需要對(duì)STIRAP 進(jìn)行一定的改進(jìn)，希望僅僅通過簡單的脈沖調(diào)控就能提高能量利用率并實(shí)現(xiàn)量子態(tài)的按需高保真讀取.考慮到波包在波導(dǎo)中傳播需要一定的時(shí)間，我們這里在原始STIRAP 方案中的兩脈沖之間引入時(shí)間間隔 ΔT，得到本方案中的寫入脈沖ΩW(t) 和讀出脈沖ΩR(t)

式中，A為脈沖的最大幅值，T為脈沖持續(xù)時(shí)間，ΔT為讀出脈沖的可控延遲.

為了刻畫讀取出量子態(tài)的保真度，這里采用基于寫入和讀出量子態(tài)的Wigner 函數(shù)的保真度定義[59]

在 2N0+1=11，A=0.1ω，且波導(dǎo)中熱光子數(shù)為零的條件下，數(shù)值遍歷所有的T和 ΔT的取值，我們得到如圖2 所示的結(jié)果，可以看出，圖中存在1 個(gè)可用于量子態(tài)長時(shí)間高保真存儲(chǔ)的區(qū)域.在該系統(tǒng)參數(shù)取值下，主要數(shù)值模擬結(jié)果已經(jīng)收斂，因此可認(rèn)為 2N0+1=11 已經(jīng)近似滿足連續(xù)性極限假設(shè).圖中所有的時(shí)間、頻率都以讀寫腔的頻率ω進(jìn)行了無量綱化.

圖2 讀出量子態(tài)與寫入量子態(tài)之間的保真度隨著讀寫脈沖持續(xù)時(shí)間 T、讀出脈沖延遲 Δ T 的變化關(guān)系圖.這里的讀出脈沖與寫入脈沖最大強(qiáng)度均為 A=0.1ω .圖中所有的時(shí)間、頻率都以讀寫腔的頻率 ω 為參考進(jìn)行無量綱化.當(dāng)脈沖寫入時(shí)間滿足 1 00/ω ?T ?200/ω 時(shí)，讀出脈沖可以在臨界時(shí)間 TC 之后的任意時(shí)刻對(duì)量子態(tài)進(jìn)行高保真讀取Fig.2.The fidelity of the scheme as a function of the duration of the pulse T and the delay of the reading pulse Δ T .The amplitudes of both the writing and reading pulse are A=0.1ω .Each frequency and time scale in this figure are normalized by the bare frequency ω of the writing/reading cavities.One can notice that once the duration of the writing pulse satisfies the condition 1 00/ω ?T ?200/ω，highfidelity quantum state retrieval is possible after the critical time TC .

基于圖2 的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn):1)當(dāng) ΔT=0 時(shí)我們的方案就回歸到原始的STIRAP 方案(實(shí)現(xiàn)態(tài)傳遞，但未實(shí)現(xiàn)態(tài)的存儲(chǔ))，可以看出，它只在脈沖持續(xù)時(shí)間足夠長(T?500/ω)的時(shí)候才能實(shí)現(xiàn)量子態(tài)讀出的保真度大于0.999;2)基于我們改進(jìn)后的STIRAP 方案，當(dāng)脈沖持續(xù)時(shí)間滿足 100/ω?T?200/ω時(shí)，延遲時(shí)間 ΔT只需大于某一臨界時(shí)間TC，此后的任意時(shí)刻讀出量子態(tài)的保真度都可以大于0.999.這與中間模式為單一模式時(shí)的情況截然不同.當(dāng)中間模式為單一模式時(shí)，讀出脈沖與寫入脈沖之間的大的延遲時(shí)間會(huì)嚴(yán)重破壞體系的絕熱性質(zhì)，導(dǎo)致體系發(fā)生非絕熱演化，從而無法實(shí)現(xiàn)有效的態(tài)讀取[54].

根據(jù)(11)式和(12)式，脈沖面積正比于脈沖持續(xù)時(shí)間.比較獲取相同保真度時(shí)，原始STIRAP(ΔT=0 時(shí))所需的脈沖持續(xù)時(shí)間為T～500/ω，而本方案中考慮波導(dǎo)中傳輸時(shí)間引入脈沖延遲(以ΔT=400/ω為例)所需的脈沖時(shí)間為T～150/ω，對(duì)比發(fā)現(xiàn)，后者所需的脈沖能量大約為前者的三分之一.需要注意的是，以上結(jié)果是在不考慮體系耗散的理想情況下得到的，考慮微波波導(dǎo)諧振腔的品質(zhì)因子很高，可高達(dá) 1 06～108[17，60]，因此我們這里考慮的存儲(chǔ)時(shí)間 ΔT遠(yuǎn)小于體系的相干時(shí)間，這意味著耗散不會(huì)對(duì)上述結(jié)果造成顯著影響.

接著，根據(jù)圖2 的結(jié)果，選擇脈沖持續(xù)時(shí)間為T=150/ω，兩脈沖之的延遲為 ΔT=400/ω，我們?cè)趫D3 中展示寫入和讀取量子態(tài)的Wigner 分布，以及相應(yīng)的寫入和讀出脈沖波形及延遲.以初態(tài)為壓縮態(tài)相干態(tài)|ψ(0)〉=S(r)D(α)|0〉=|α，r〉為例進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.其中平移算符與壓縮算符分別為參數(shù)取值分別為，r=0.5 .這里a?和a是正則量子化后得到的產(chǎn)生、湮滅算符，即φ=φZPF(a+a?) ，n=nZPF×i(a-a?)，其中φZPF=(2EC/EL)1/4，nZPF=[EL/(32EC)]1/4分別為磁通量和電荷的零點(diǎn)振蕩.圖3(a)和圖3(b)分別為寫入和讀出量子態(tài)在相空間的Wigner 準(zhǔn)概率分布，通過(12)式計(jì)算得到量子態(tài)的保真度為0.9997.圖3(c)展示了寫入脈沖ΩW(t) 和讀出ΩR(t) 脈沖波形.

圖3 量子態(tài)的存儲(chǔ)與讀取結(jié)果展示 (a)和(b)分別為寫入量子態(tài)與讀出量子態(tài)的Wigner 準(zhǔn)概率分布;(c)所需寫入脈沖與讀出脈沖的波形以及量子態(tài)的讀取保真度.參數(shù)取值分別為:T=150/ω，Δ T=400/ω，A=0.1ωFig.3.Numerical results for the storage and the retrieval of a quantum state in a waveguide:(a) and (b) are Wigner distributions of the initial state and the final state，respectively;(c) shows the pulses of our protocol used for storing and retrieving the quantum state.The related parameters are T=150/ω，Δ T=400/ω，A=0.1ω .

在原始STIRAP 中要求初始時(shí)刻ΩW(0)?ΩR(0)，末時(shí)刻ΩW(tf)?ΩR(tf)，而本方案的脈沖不滿足上述條件，因此接下來我們對(duì)本方案量子態(tài)讀取的魯棒性進(jìn)行研究.在圖4 中，我們固定脈沖 .延遲 ΔT=400/ω，寫入脈沖時(shí)間T=150/ω.圖4(a)和圖4(b)分別考慮了保真度與中間波導(dǎo)模式的平均熱光子數(shù)Nth以及讀出脈沖的持續(xù)時(shí)間T2之間的關(guān)系.從圖4(a)中可以看出，保真度對(duì)于波導(dǎo)中的平均熱光子數(shù)有較強(qiáng)魯棒性，在熱光子數(shù)大約為80 時(shí)保真度仍然保持在0.90 左右.圖4(b)中的結(jié)果同樣展示出保真度對(duì)于讀出脈沖的時(shí)間具有較強(qiáng)魯棒性，隨著讀寫脈沖持續(xù)時(shí)間差別|T -T2|的增大，保真度發(fā)生緩慢下降，當(dāng)這一差別|T -T2|為寫入脈沖持續(xù)時(shí)間T的一半時(shí)，保真度依然大于0.90.因此我們的方案可以實(shí)現(xiàn)魯棒、高保真的量子態(tài)存儲(chǔ)與按需讀取.

圖4 量子態(tài)保真度的魯棒性.將寫入腔的初態(tài)制備在1 個(gè)壓縮態(tài)|ψ(0)〉=|α，r〉，其中 α=，r=0.5 .(a)和(b)分別展示了保真度對(duì)微波腔中平均熱光子數(shù)，以及對(duì)讀出脈沖持續(xù)時(shí)間的魯棒性.參數(shù)取值分別為:寫入脈沖持續(xù)時(shí)間 T=150/ω，讀出脈沖延遲 Δ T=400/ω，脈沖的最大幅值 A=0.1ωFig.4.Robustness of the fidelity for the retrieval of the quantum state.The initial state in the writing cavity is prepared to be asqueezed coherent state|ψ(0)〉=|α，r〉 with α= and r=0.5 .(a) and (b) show the robustness of the fidelity against the average number of thermal photons inside the waveguide and the duration of the reading pulse，respectively.Here we fix the duration of the writing pulse T=150/ω，the delay of the reading pulse Δ T=400/ω and the maximum amplitude for both pulses A=0.1ω

4 結(jié)論

本文在STIRAP 方案的基礎(chǔ)之上，通過設(shè)計(jì)正弦波形寫入脈沖的持續(xù)時(shí)間，并對(duì)讀出脈沖引入可控延遲，實(shí)現(xiàn)了量子態(tài)在微波波導(dǎo)中的長時(shí)間存儲(chǔ)與異地高保真按需讀取.以體系初態(tài)制備在高斯態(tài)為例，我們的結(jié)果表明，在理想條件下量子態(tài)在波導(dǎo)中存儲(chǔ)時(shí)間達(dá)到某一臨界值之后，可以在任意時(shí)刻施加讀出脈沖讀取量子態(tài)，且保真度高達(dá)0.999，由此實(shí)現(xiàn)了對(duì)量子態(tài)的高保真按需讀取.并且，所得到的保真度對(duì)波導(dǎo)中的平均熱光子數(shù)、讀出脈沖的持續(xù)時(shí)間都有較好的魯棒性.這些結(jié)果展示了利用微波波導(dǎo)作為中間模式進(jìn)行量子態(tài)存儲(chǔ)與讀取的優(yōu)越性.目前還有一些開放性問題值得后續(xù)繼續(xù)研究，比如，這里展示的結(jié)果是針對(duì)高斯態(tài)，對(duì)于非高斯態(tài)，基于波導(dǎo)的方案是否依然能夠保持很好的魯棒性;將處于糾纏態(tài)的某一方利用該方案存儲(chǔ)并傳輸?shù)疆惖?，是否仍然可以保持良好的糾纏特性，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)基于糾纏的各種量子任務(wù);盡管高品質(zhì)的微波波導(dǎo)腔耗散小，不會(huì)對(duì)現(xiàn)有理想條件下的結(jié)果造成顯著影響，但考慮未來實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)的可能性，依然需要進(jìn)一步考慮實(shí)際物理體系的各項(xiàng)參數(shù)，以及與環(huán)境耦合導(dǎo)致的耗散等因素，為方案的具體實(shí)施提供進(jìn)一步理論依據(jù).