朱忠熏，楊禹，周鋆鵬

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)，承載著高階高維數(shù)據(jù)信息的張量引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注.類似于矩陣與圖，張量與超圖間亦存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.基于圖譜理論研究和應(yīng)用的成功經(jīng)驗(yàn)，超圖譜理論的研究及其應(yīng)用逐漸成為國(guó)內(nèi)國(guó)際相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者追逐的熱點(diǎn)問(wèn)題.目前，超圖譜理論的最新結(jié)果不斷涌現(xiàn)，比如文獻(xiàn)[1-5].本文致力于一類階為n且具有r個(gè)懸掛點(diǎn)的k一致連通超圖極值結(jié)構(gòu)的研究，對(duì)n-r=1或2，k-3≤n-r≤k-1的情形，文獻(xiàn)[6]刻畫(huà)了其對(duì)應(yīng)的極值結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步地，本文將研究n-r=k-4的情形.

1 準(zhǔn)備知識(shí)

設(shè)G=(V(G),E(G))是一個(gè)超圖，其中V(G)為點(diǎn)集、E(G)為邊集，且E(G)包含于冪集2V(G).對(duì)任意的e∈E(G)，|e|=k，則稱G為k一致超圖.如點(diǎn)u,v同含在一條邊中，稱點(diǎn)u,v相鄰.如v∈e,則稱點(diǎn)v與邊e關(guān)聯(lián).點(diǎn)不同且邊也不同的點(diǎn)邊交錯(cuò)序列稱為一條路；如其第一個(gè)點(diǎn)和最后一個(gè)點(diǎn)相同，而其它點(diǎn)均不相同，稱此點(diǎn)邊交錯(cuò)序列為圈.如果G中的任意兩個(gè)點(diǎn)間均有一條路，稱G是連通的.

對(duì)于正整數(shù)k≤n，張量T=(Ti1i2…ik)是一個(gè)k階n維數(shù)組，其中ij∈{1,…,n}=[n]，j∈[k].如果對(duì)于下標(biāo)的任意置換σ有Ti1…ik=Tσ(i1)…σ(ik)，稱張量T是對(duì)稱的.對(duì)n階k一致超圖，其鄰接張量[7]A(G)=(ai1…ik)，其中:

取n-r≤k-1，r=s(k-n+r)，設(shè)Cn,r是一個(gè)階為n且恰有r個(gè)懸掛點(diǎn)和s條邊的超圖，其每條邊均有k-n+r個(gè)懸掛點(diǎn).

引理1[6]設(shè)1≤n-r≤k-1，r=s(k-n+r)，如G在階為n且具有r個(gè)懸掛點(diǎn)的k一致連通超圖類中譜半徑最大，則G?Cn,r.

取r=s(k-n+r)+1，設(shè)Dn,r是一個(gè)階為n且恰有r個(gè)懸掛點(diǎn)和s條邊的超圖，其僅有一條邊含k-n+r+1個(gè)懸掛點(diǎn)，其余邊均有k-n+r個(gè)懸掛點(diǎn).

引理2[6]設(shè)1≤n-r≤k-1，r=s(k-n+r)+1，如G在階為n且具有r個(gè)懸掛點(diǎn)的k一致連通超圖類中譜半徑最大，則G?Dn,r.

引理3[6]設(shè)3≤n-r≤k-1，r=s(k-n+r)+2，G在階為n且具有r個(gè)懸掛點(diǎn)的k一致連通超圖類中譜半徑最大.

引理4[6]設(shè)1≤n-r≤k-1和r=s(k-n+r)+t(0≤t

(1)s=2和t=0，或s≥3;

(2)G中恰有s條邊，每條邊至少含有一個(gè)懸掛點(diǎn);

引理5[8-10]設(shè)x是連通k一致超圖G的主特征向量，vi,vj∈V(G).如果vi∈e意味著vj∈e，e∈E(G)，則xvj≥xvi.進(jìn)一步地，如果有一條邊僅含有vj而不含vi，則xvj>xvi.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)4≤n-r≤k-1，r=s(k-n+r)+3，s≥4，如G在階為n且具有r個(gè)懸掛點(diǎn)的k一致連通超圖類中譜半徑最大，則:

由上述方程組可得：

(1)

(2)

(3)

(4)

由上述4個(gè)式子可得：

同理，可以得到：

定理3 設(shè)4≤n-r≤k-4,n-r=k-4,G在階為n且具有r個(gè)懸掛點(diǎn)的k一致連通超圖類中譜半徑最大，則：

(1)如果r=0(mod 4)，則G?Cn,n-k+4.

(2)如果r=1(mod 4)，則G?Dn,n-r+4.

3 結(jié)論

對(duì)于n-r=k-4的超圖情況，首先得出了r=s(k-n+r)+3時(shí)具有最大譜半徑的4種超圖，當(dāng)超圖的邊數(shù)s≥4時(shí)，超圖的譜半徑都可以求出，但是當(dāng)邊數(shù)s=3時(shí)，由于特征方程問(wèn)題僅能確定有最大譜半徑的超圖是上述結(jié)果二者之一.因此，當(dāng)n-r=k-4時(shí)，根據(jù)懸掛點(diǎn)的不同就能得出相應(yīng)的有最大譜半徑的k一致連通超圖.