王慶巖，孫媛媛，謝香敏，李亞輝，許慶燊，張 巖

（1. 山東大學(xué)電網(wǎng)智能化調(diào)度與控制教育部重點實驗室,山東省濟南市250061；2. 國網(wǎng)山東省電力公司電力科學(xué)研究院,山東省濟南市250003）

0 引言

當代電力系統(tǒng)中,電力電子裝置廣泛應(yīng)用于電能的發(fā)、輸、配、用各環(huán)節(jié),由此引發(fā)的諧波污染愈加嚴重。諧波潮流計算可有效計算系統(tǒng)中各節(jié)點的諧波畸變水平［1-2］,是諧波治理的基礎(chǔ)。傳統(tǒng)的諧波潮流未考慮隨機因素,只反映系統(tǒng)某一時間斷面的狀態(tài),而當今電力系統(tǒng)中不確定性增強［3-4］,諧波潮流也呈現(xiàn)出隨機性、波動性等特征,研究不確定性諧波潮流具有重要意義。

不確定性諧波潮流的概率分析方法可分為模擬法、解析法與近似法［5］。模擬法以蒙特卡洛仿真（Monte Carlo simulation,MCS）法為代表,基于大量采樣,計算準確但效率低［6］。解析法以卷積法和半不變量法為主,卷積法不易實現(xiàn),半不變量法中諧波潮流方程的線性化較復(fù)雜,且當輸入變量波動較大時,基準點的線性化會引入誤差［7］。近似法以點估計法（point estimate method,PEM）為主［8］,通過少量確定性的計算獲得輸出變量的統(tǒng)計特征,無須對潮流方程進行線性化,計算簡單且較為準確,因此在不確定諧波潮流分析中獲得應(yīng)用。其中,文獻［9］從諧波節(jié)點電壓方程入手,分析了風(fēng)機接入后的諧波水平；多變換器系統(tǒng)中的不確定性諧波也基于點估計法得以計算［10］。然而,無論是2m還是2m+1 點估計,都屬傳統(tǒng)點估計,受限于采樣點數(shù)量,估計精度受隨機變量個數(shù)及分布的影響。另外,上述方法一般結(jié)合級數(shù)展開來實現(xiàn)隨機變量的概率密度函數(shù)擬合,但級數(shù)展開存在截斷誤差,不易擬合概率密度函數(shù)尾部特征,易在部分區(qū)域出現(xiàn)概率密度為負的情況［11］。

傳統(tǒng)點估計方法性能提升可通過構(gòu)造多重采樣點實現(xiàn),因此有文獻研究了多采樣點估計在基波概率潮流中的應(yīng)用［12］。由于概率諧波潮流存在不同的分析場景,相比基波潮流存在頻譜不確定以及諧波電流幅值相角雙重不確定性等問題,分析過程的不確定性以及非線性程度進一步增強,因此不同分析場景下,概率諧波潮流統(tǒng)計特征的準確求解與概率密度函數(shù)的有效擬合仍有待研究。文獻［13］提出基于隨機變量聯(lián)合分布的Rosenblatt 變換,實現(xiàn)原變量空間與標準正態(tài)變量空間的轉(zhuǎn)換,從而簡化采樣點與權(quán)重的計算,進而實現(xiàn)諧波分析,但現(xiàn)實中隨機變量多以樣本形式給出,聯(lián)合分布不易獲取,且僅對諧波潮流的單一分析場景進行研究,同時對多點估計后期的概率密度函數(shù)擬合關(guān)注較少。

為實現(xiàn)不同分析場景下概率諧波潮流中統(tǒng)計特征以及概率密度函數(shù)擬合精確度的提升,提出一種改進多點估計與最大熵（improved multi-point estimate method and maximum entropy,IMPEM&ME）的概率諧波潮流算法?；陔S機變量的離散近似理論,確定獨立標準正態(tài)分布隨機變量的多重采樣點和權(quán)重；根據(jù)隨機變量空間變換,獲得功率、諧波電流等任意分布隨機變量的權(quán)重與采樣點,計算諧波電壓等輸出隨機變量的統(tǒng)計特征,進而基于最大熵分布求取輸出隨機變量的概率分布。所提方法通過采樣點數(shù)的增加,有效提升了待求變量統(tǒng)計特征的計算精確度；基于隨機變量空間變換避免了原變量空間獲取多點時的復(fù)雜計算,并可有效處理變量之間的相關(guān)性；結(jié)合最大熵概率分布,可較好地保證所求概率分布擬合的準確度。

1 改進多點估計和最大熵概率分布

1.1 基于隨機變量離散近似的多點估計

點估計法可應(yīng)用于概率諧波潮流計算。三點估計通過匹配輸入變量的前四階矩,求得采樣點與對應(yīng)權(quán)重［8］,從而計算待求變量的原點矩或中心矩,然而少量的采樣點使得計算精度受限?；诟咚箶?shù)值積分的離散近似可獲取多個估計點與權(quán)重［14］,實現(xiàn)原點矩的準確求解。若通過離散近似隨機變量x的分布,則應(yīng)滿足：

式中：E（·）為期望函數(shù)；n為采樣點數(shù)量（多點估計下,n＞3）；l為 階 數(shù)；xk與pk分 別 為 第k個 采 樣 點 與權(quán)重。

通過對應(yīng)的采樣點與權(quán)重實現(xiàn)隨機變量原點矩的匹配,從而逼近原連續(xù)分布。此時,對于單輸入隨機變量x的函數(shù)y(x),其l階原點矩亦可通過上述采樣點與權(quán)重獲取,即

對于隨機變量x,假設(shè)取n個采樣點,則式（1）中共有2n個未知數(shù),需2n個方程才可定解,可通過匹配隨機變量的前2n-1 階原點矩并結(jié)合各權(quán)重之和為定值來實現(xiàn)。式（1）可展開為：

通過式（3）求解實現(xiàn)離散近似所必需的隨機變量的采樣值與權(quán)重,獲得待求輸出變量的統(tǒng)計特征。

當輸出變量y的自變量中包含m個隨機變量時,應(yīng)對每一個隨機變量進行上述運算,求解每個輸入隨機變量的采樣點與權(quán)重,并將式（3）中對應(yīng)隨機變量期望值的權(quán)重p1進行如下替換,以保證輸出變量含多個輸入隨機變量時估計的準確性：

將多輸入隨機變量下第i個隨機變量的第k個采樣點記為xi,k,對應(yīng)權(quán)重記為pi,k,此時對于含有m個自變量的輸出變量y,可通過單變量確定性評估方法獲取待求變量的原點矩,如下式所示：

式中：μ表示隨機變量的期望,下標表示對應(yīng)的隨機變量。

1.2 多點估計法改進

當輸入的隨機變量為任意分布時,高階原點矩不易獲取,直接計算采樣點過程復(fù)雜?？紤]到標準正態(tài)分布變量u采樣計算簡單,因其l階原點矩可通過遞推公式獲得,即

為保證計算效率,同時便于處理輸入隨機變量之間的相關(guān)性,應(yīng)用Nataf 變換理論對基于離散近似理論的多點估計進行改進,使得采樣值與權(quán)重的計算在標準正態(tài)分布變量空間內(nèi)進行,并通過Nataf反變換實現(xiàn)任意分布隨機變量空間下采樣點與權(quán)重的求解,以滿足實際需要。

當任意分布的隨機變量之間相互獨立時,應(yīng)用Nataf 變換理論。對任意分布的隨機變量xi,其采樣點xi,k與對應(yīng)的標準正態(tài)分布空間內(nèi)的采樣點ui,k之間應(yīng)滿足：

式中：F（·）和Φ（·）分別表示原任意分布和標準正態(tài)分布隨機變量的累積分布函數(shù)。

若原任意分布隨機變量組成的向量中某些隨機變量具有相關(guān)性,記其相關(guān)系數(shù)矩陣為ρ。Nataf 變換后,所得的各標準正態(tài)分布隨機變量組成的向量U依然具有相關(guān)性［15］,相關(guān)系數(shù)矩陣為ρ1。該矩陣一般對稱正定,進行平方根分解可得下三角矩陣L。由Z=L-1U可實現(xiàn)相關(guān)性的消除,此時Z向量內(nèi)各隨機變量服從獨立標準正態(tài)分布?；讵毩藴收龖B(tài)分布空間計算采樣點與權(quán)重,并結(jié)合矩陣變換及Nataf 逆變換可實現(xiàn)具有相關(guān)性的任意分布隨機變量采樣點與權(quán)重的求解。

1.3 改進多點估計框架下的最大熵概率分布

信息熵用以表征信息的不確定性,最大熵原則認為在滿足原點矩約束條件下,信息熵最大的概率分布是最客觀的。在改進多點估計框架下,最大熵可表述為：

式中：w（y）表示隨機變量y的概率密度函數(shù)；C為應(yīng)滿足的原點矩約束的階數(shù)。

引入拉格朗日乘數(shù)法求解上述問題,可得到解析解：

式中：λc為對應(yīng)于c階原點矩的拉格朗日乘子（c取0時,原點矩為1）。通過牛頓-拉夫遜法求得未知參數(shù)λc,獲得最符合客觀實際的概率分布［16］。

相比于傳統(tǒng)通過有限項的級數(shù)展開擬合概率密度函數(shù)的方法,最大熵概率擬合利用有限的信息,對未知信息作最少的假定,所獲得的概率分布是基于有限信息獲得的最客觀的分布,同時基于負指數(shù)形式,保證了所求解的概率密度函數(shù)值不小于0。

2 概率諧波潮流實現(xiàn)框架

2.1 確定性諧波潮流計算

諧波潮流計算方法可分為統(tǒng)一迭代法、交替迭代法、解耦法以及非迭代式方法。解耦法將基波計算與諧波計算解耦處理,計算過程得到簡化,同時也保證了精度,在諧波潮流計算中獲得廣泛應(yīng)用。解耦法諧波潮流首先計算基波潮流,考慮到諧波電氣量相比基波電氣量一般較小,因此在求解基波潮流時可忽略諧波影響。含分布式電源（distributed generator,DG）系統(tǒng)的基波潮流計算,DG 接入節(jié)點可依據(jù)其容量以及并網(wǎng)控制方式等確定節(jié)點類型［17］。

當獲取基波狀態(tài)后,需根據(jù)不同的諧波源特性［18］計算諧波電流。負荷側(cè)的非線性負荷可采用恒流源模型、諾頓模型、諧波耦合導(dǎo)納矩陣模型或非線性建模方式［13］確定其諧波電流與負荷參數(shù)的關(guān)系；對于發(fā)電側(cè)可再生能源DG 并網(wǎng),可基于數(shù)據(jù)擬合［19］或輸出阻抗模型［20］等建立輸出的諧波電流與可再生能源DG 出力或運行狀態(tài)之間的聯(lián)系。依據(jù)諧波源特性可通過迭代或非迭代的方式確定諧波源所注入的諧波電流。上述非線性負荷與可再生能源DG 的諧波電流可分別表述為：

式中：I˙h表示諧波源的h次諧波電流相量；Fh表示諧波源特性方程；下標l 與g 分別表示負荷和可再生能源DG；對非線性負荷,V˙與V˙2和V˙3等分別表示基波與對應(yīng)次數(shù)的諧波電壓相量,下標為諧波次數(shù)；Cl表示負荷參數(shù)；對可再生能源DG,Ci與Cw分別表示內(nèi)部運行或控制參數(shù)以及外部參數(shù)。

當系統(tǒng)中的主要諧波源有諧波電流監(jiān)測裝置時,可直接依據(jù)監(jiān)測所得的諧波電流以及網(wǎng)絡(luò)參數(shù)計算系統(tǒng)各節(jié)點的諧波電壓?？紤]到諧波節(jié)點電壓方程的求解為相量運算,可通過實部虛部解耦實現(xiàn)諧波電壓相量的求解：

式中：Vh,real和Vh,imag分別為節(jié)點i的h次諧波電壓實部分量和虛部分量；M為系統(tǒng)獨立節(jié)點數(shù)；Zh,ij和θZh,ij分別為諧波節(jié)點導(dǎo)納矩陣逆矩陣Zh中第i行第j列元素的幅值和相角；Ih,j和θIh,j分別為節(jié)點j發(fā)出的h次諧波電流的幅值和相角；Vh,i和θVh,i分別為節(jié)點i的h次諧波電壓的幅值和相角。

2.2 IMPEM&ME 框架下的概率諧波潮流

概率諧波潮流分析中,首先應(yīng)對節(jié)點功率或諧波源注入電流等輸入量建立概率模型。與功率以及出力相關(guān)的隨機變量,負荷采用正態(tài)分布,風(fēng)速采用Weibull 分布,光強采用Beta 分布；諧波電流幅值與相角可通過正態(tài)分布及均勻分布進行描述［21］。

對于不確定性諧波潮流,無論是基于解耦法或是基于諧波源監(jiān)測數(shù)據(jù)的直接求解,不同分析場景下諧波潮流方程中輸入的隨機變量與輸出的諧波電壓相量之間均存在一定的映射關(guān)系?；诮怦罘〞r,輸入隨機變量為不確定性負荷、風(fēng)速、光伏等,考慮可再生能源出力與外部天氣狀況的關(guān)系以及諧波電流含有率與DG 出力的關(guān)系,即可建立輸入與輸出之間的映射關(guān)系,如式（12）所示；基于諧波源監(jiān)測的諧波電流數(shù)據(jù)直接求解時,考慮諧波電流幅值與相角的雙重不確定性,輸入變量為不確定性諧波電流幅值及相角,此時輸入與輸出之間的映射關(guān)系可表述為式（13）。

式中：H（·）與G（·）分別表示基于解耦法與基于諧波電流監(jiān)測數(shù)據(jù)時,h次不確定諧波電壓向量矩陣V?h與輸入變量的映射關(guān)系；L?、W?和S?分別為系統(tǒng)中輸入的不確定性負荷、風(fēng)速和光強矩陣；I?h和θ?h分別為不確定性h次諧波電流的幅值和相角矩陣。

考慮到諧波潮流不同分析場景下映射關(guān)系以及輸入隨機變量的概率分布,可通過IMPEM&ME 方法獲得諧波電壓等輸出隨機變量的統(tǒng)計特征與概率密度函數(shù),具體求解過程如圖1 所示。

圖1 基于IMPEM&ME 方法的概率諧波潮流計算流程Fig.1 Flow chart of probabilistic harmonic power flow calculation based on IMPEM&ME method

1）基于解耦法或諧波源監(jiān)測數(shù)據(jù),根據(jù)基波潮流方程及式（10）、式（11）建立確定性諧波潮流方程,確定系統(tǒng)輸入變量與輸出變量及其對應(yīng)的映射關(guān)系。

2）基于經(jīng)驗分布或?qū)嶋H數(shù)據(jù),建立輸入隨機變量的概率描述,確定輸入變量的累積分布以及各輸入隨機變量之間的相關(guān)系數(shù)矩陣。

3）基于式（3）、式（4）、式（6）,確定獨立標準正態(tài)分布變量的多重采樣值以及權(quán)重,并基于相關(guān)系數(shù)矩陣,依據(jù)矩陣變換與式（7）實現(xiàn)原任意分布變量空間內(nèi)采樣點的求取。

4）依據(jù)每一隨機變量所取的采樣點,按式（5）的形式對輸出的隨機變量進行確定性評估。當某一隨機變量取采樣值時,其他隨機變量取期望,進行若干次確定性計算,通過加權(quán)的形式獲取輸出變量統(tǒng)計特征。建立約束條件,基于式（8）求解最大熵概率分布,實現(xiàn)概率密度函數(shù)的重構(gòu)。

3 算例分析

3.1 基于解耦法的概率諧波潮流

以改進的IEEE 33 節(jié)點系統(tǒng)為例［22］,研究改進多點估計（以5 個采樣點為例）與最大熵結(jié)合法在解耦諧波潮流分析場景中的性能。光伏與風(fēng)機分別接入節(jié)點16 與33,采取文獻［20］中的DG 典型特性,將風(fēng)機節(jié)點、光伏節(jié)點簡化為PQ節(jié)點,且認為光伏系統(tǒng)只輸出有功功率,風(fēng)機系統(tǒng)發(fā)出有功功率,吸收無功功率,且均經(jīng)過并網(wǎng)裝置接入電網(wǎng)。不計負荷注入系統(tǒng)的諧波電流與系統(tǒng)背景諧波,諧波節(jié)點導(dǎo)納矩陣根據(jù)不確定因素取期望值時系統(tǒng)基波參數(shù)以及對應(yīng)諧波次數(shù)獲取。DG 經(jīng)變換器接入節(jié)點為諧波源節(jié)點,考慮可再生能源DG 節(jié)點注入的諧波電流與其出力有關(guān),因此以文獻［19］給出的分段線性關(guān)系確定5 次諧波電流含有率與DG 出力之間的關(guān)系,諧波電流相角頻譜相對基波電流相角頻譜超前π/12。

負荷節(jié)點的期望與原系統(tǒng)相同,功率因數(shù)在負荷與出力波動期間認為保持恒定,并取變異系數(shù)為5%。風(fēng)機的切入風(fēng)速、額定風(fēng)速與切出風(fēng)速分別為3,14,25 m/s,所研究時段內(nèi)該地區(qū)的風(fēng)速、光強的分布參數(shù)（如均值μ與變異系數(shù)）以及風(fēng)機的有功出力的額定功率Pr、光強為1 kW/m2時光伏輸出的功率Pmax和對應(yīng)的功率因數(shù)角δ等參數(shù)見附錄A 表A1。風(fēng)速Weibull 分布與光強Beta 分布的參數(shù)可依據(jù)所研究時段風(fēng)速、光強的期望與變異系數(shù)求取,風(fēng)機、光伏的出力與風(fēng)速、光強的關(guān)系可分別依據(jù)文獻［23-24］獲得。

不計輸入變量的相關(guān)性,對系統(tǒng)中諧波潮流進行分析?？紤]到風(fēng)機出力與風(fēng)速之間呈現(xiàn)非線性關(guān)系,風(fēng)機出力的大小以及分布受風(fēng)速影響較大。當風(fēng)速在切入風(fēng)速與額定風(fēng)速之間較小時,風(fēng)機出力近似服從Weibull 分布；當風(fēng)速接近額定風(fēng)速時,風(fēng)機出力偏離Weibull 分布。風(fēng)速的大小對系統(tǒng)諧波水平分布影響較大,因此設(shè)置2 種風(fēng)速期望場景,分別為場景1（風(fēng)速期望為7 m/s）與場景2（風(fēng)速期望為13.5 m/s）,并以風(fēng)速變異系數(shù)為變量反映一定時段內(nèi)風(fēng)速的波動程度,分析不同風(fēng)速場景、不同風(fēng)速變異系數(shù)下所提算法的性能,變異系數(shù)取值以5%為步長,范圍為5%～20%。以MCS 方法為基準,比較三點估計與Gram Charlier 級數(shù)展開（point estimate and Gram Charlier, PEM&GC） 與IMPEM&ME 方法對諧波電壓統(tǒng)計特征的估計精度,并通過概率密度函數(shù)擬合曲線比較擬合效果。定義相對誤差R如下：

式 中：Mo和Mb分 別 為 其 他 方 法（PEM&GC 或IMPEM&ME）和MCS 方法所得的隨機變量統(tǒng)計特征。

2 種風(fēng)速場景下的不同方法所求得的諧波電壓幅值統(tǒng)計特征的平均相對誤差如圖2 所示；以風(fēng)機與光伏接入節(jié)點的諧波電壓幅值為例,在相同變異系數(shù)（10%）與約束條件下,不同場景下3 種方法的概率密度函數(shù)比較如圖3 所示。

圖2 2 種風(fēng)速場景下不同方法的諧波電壓幅值統(tǒng)計特征的平均相對誤差對比Fig.2 Comparison of average relative errors for statistical characteristics of harmonic voltage magnitude with different methods in two wind speed scenarios

圖3 不同風(fēng)速場景下3 種方法概率密度函數(shù)比較Fig.3 Comparison of probability density function of three methods in different wind speed scenarios

從圖2 可以看出,當風(fēng)速期望為7 m/s 時,所提方法與PEM&GC 方法所求得的諧波電壓的統(tǒng)計特征精確度差距不大。對于諧波電壓幅值期望,不同變異系數(shù)下2 種方法的平均相對誤差均不高于2%；對于諧波電壓幅值標準差,2 種方法的平均相對誤差均不超過10%。當風(fēng)速期望達到13.5 m/s 時,2 種方法開始顯現(xiàn)出較大差異,隨著風(fēng)速變異系數(shù)的增大,二者的平均相對誤差均呈現(xiàn)增大趨勢。由IMPEM&ME 方法計算得到的統(tǒng)計特征始終比PEM&GC 方法更精確,在變異系數(shù)較大時（如20%）,PEM&GC 方法所得標準差的平均相對誤差已超過20%,而IMPEM&ME 方法依舊保持較高的準確度。因此,所提算法對風(fēng)速的變化敏感度較低,在不同風(fēng)速期望與變異系數(shù)下,均能獲得較為準確的計算結(jié)果。對于2 種算法的概率密度函數(shù)擬合性能,不同風(fēng)速場景下2 種算法所得的概率密度函數(shù)曲線均具有一定的擬合效果,其中IMPEM&ME 方法所得的概率密度函數(shù)在尾部始終大于零,且更貼近MCS 方法,因此性能更優(yōu)。相同仿真硬件條件下,MCS 方法耗時最長,而所提方法與PEM&GC方法耗時相當,均具有一定的計算效率。

3.2 基于諧波源監(jiān)測數(shù)據(jù)的概率諧波潮流

本節(jié)所研究系統(tǒng)與3.1 節(jié)中相同,在風(fēng)機光伏并網(wǎng)節(jié)點裝有諧波電流監(jiān)測裝置。采用文獻［9］中的正態(tài)分布描述諧波源監(jiān)測所得的5 次諧波電流的幅值,均勻分布描述5 次諧波電流相角。選定光伏接入節(jié)點的諧波電流相角為參考,風(fēng)機接入節(jié)點發(fā)出的諧波電流相角相對節(jié)點16 的諧波電流相角在一定范圍內(nèi)均勻分布。在求解過程中,同時考慮諧波電流幅值與相角的不確定性。所研究時段內(nèi),5 次諧波電流幅值的期望以及相角相對參考相角分布的最大值θ5,max與最小值θ5,min如附錄A 表A2所示。

改變風(fēng)機節(jié)點諧波電流的分布范圍,不計諧波源諧波電流之間的相關(guān)性,研究基于監(jiān)測數(shù)據(jù)直接求解時,不同變異系數(shù)下的系統(tǒng)諧波電壓相對誤差的變化趨勢以及概率密度擬合的性能。不同變異系數(shù)下系統(tǒng)的5 次諧波電壓平均相對誤差如圖4 所示；以常用變異系數(shù)（5%和10%）為例,風(fēng)機節(jié)點的諧波電壓的概率密度函數(shù)如圖5 所示。

圖4 不同變異系數(shù)下諧波電壓幅值統(tǒng)計特征的平均相對誤差Fig.4 Average relative errors for statistical characteristics of harmonic voltage magnitude with different variation coefficients

圖5 風(fēng)機節(jié)點諧波電壓概率密度函數(shù)比較Fig.5 Comparison of probability density function for harmonic voltage on bus with wind turbine connected

從圖4 可以看出,在該分析場景下,IMPEM&ME 方法獲得的統(tǒng)計特征依然具有較高的精度。不同變異系數(shù)下,IMPEM&ME 方法所得到的期望的平均相對誤差始終低于1%,標準差的平均相對誤差低于5%,而PEM&GC 方法所獲得的諧波電壓標準差的平均相對誤差在10%左右。同時,由于諧波電流幅值與相角采用的概率分布與3.1 節(jié)中隨機變量的概率分布不同,所得的諧波電壓的概率密度函數(shù)也與3.1 節(jié)不同。在所提變異系數(shù)下,所得諧波電壓呈現(xiàn)近似雙峰的分布特點,且諧波電壓的分布范圍較廣。根據(jù)圖5 概率密度函數(shù)擬合結(jié)果可以看出,IMPEM&ME 方法所得的概率密度函數(shù)較好地反映了諧波電壓雙峰分布的特點,而PEM&GC 方法難以反映這一特點。由于前期估計誤差以及后期擬合的數(shù)值積分誤差會導(dǎo)致一定的偏差出現(xiàn),但依舊可反映概率密度函數(shù)的尾部特征、最大可能取值等分布特點。3 種方法相比解耦法的計算時間均減少,所提方法效率始終高于MCS 方法。

3.3 諧波電流相關(guān)性分析

實際電力系統(tǒng)中,由于相近的用電習(xí)慣或外部天氣因素影響,功率、諧波電流數(shù)據(jù)在某一時段的隨機變化可能存在一定相關(guān)性,這會對系統(tǒng)諧波水平產(chǎn)生一定影響。以3.2 節(jié)中系統(tǒng)為例,令諧波源的諧波電流變異系數(shù)為10%,假設(shè)2 個諧波源所發(fā)出的諧波電流幅值存在相關(guān)性,其相關(guān)系數(shù)為0.6,各節(jié)點的5 次諧波電壓的期望與標準差的平均相對誤差Ra、最大相對誤差Rmax、最小相對誤差Rmin對比結(jié)果如表1 所示。

表1 諧波電壓幅值統(tǒng)計特征相對誤差Table 1 Relative errors of statistical characteristics of harmonic voltage magnitude

對比表1 結(jié)果可知,計及相關(guān)性時,在諧波電壓幅值的期望以及標準差等指標上所提方法相對PEM&GC 方法所得統(tǒng)計特征的估計精度有較大提升。因此,所提方法可較好地處理相關(guān)性問題,相比傳統(tǒng)方法可更準確地反映系統(tǒng)真實狀態(tài)。

為反映變量之間的相關(guān)性給系統(tǒng)諧波水平帶來的影響,以2 個諧波源5 次諧波電流的相關(guān)系數(shù)r為變量,分析相關(guān)性對5 次諧波電壓幅值分布的影響。以變異系數(shù)為15%為例,不同相關(guān)系數(shù)下部分節(jié)點諧波電壓的標準差如圖6 所示。

圖6 變量相關(guān)性對諧波電壓幅值標準差的影響Fig.6 Impact of variable correlation on standard deviation of harmonic voltage magnitude

由圖6 可知,隨著變量相關(guān)性的逐漸增強,系統(tǒng)部分節(jié)點的諧波電壓幅值標準差逐漸減小。統(tǒng)計特征的改變會對輸出變量的分布特征產(chǎn)生影響,在實際中可通過所提方法對計及相關(guān)性的不確定諧波潮流問題進行準確分析。

4 結(jié)語

本文提出一種基于IMPEM&ME 的概率諧波潮流算法。該算法通過采樣點的增加,有效提升了待求輸出變量統(tǒng)計特征的估計精度；通過引入變量空間變換,提升了計算效率,并可對變量之間的相關(guān)性進行研究；引入最大熵概率分布獲得更切合實際的概率密度函數(shù)。以改進的IEEE 33 節(jié)點系統(tǒng)中對所提出的算法的有效性與性能展開研究,結(jié)果表明：所提算法在2 種不同諧波潮流分析場景下均表現(xiàn)出較好的適用性,相比目前普遍使用的三點估計與級數(shù)展開法所求得的統(tǒng)計特征精度更高,擬合所得的概率密度函數(shù)更貼近真實概率密度函數(shù)的趨勢,可較好地處理與分析隨機變量相關(guān)性問題。所提方法可幫助運行人員有效分析電力系統(tǒng)不確定諧波狀態(tài),以制定合理的諧波治理措施?？紤]到概率密度函數(shù)擬合精度會受前期估計原點矩誤差的影響,下一步將對此展開研究以實現(xiàn)更好的擬合效果。

本文研究得到山東大學(xué)青年學(xué)者未來計劃項目(2016WLJH07)的資助，特此感謝！

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