黃石市第七中學(xué)(435000) 谷文俊

武漢第十一中學(xué)(430000) 凌才元

周期性是函數(shù)的重要性質(zhì),也是高考的高頻考點(diǎn)之一.有些題目中會(huì)碰到在解析式或圖像特征與周期函數(shù)類似的函數(shù),我們稱之為類周期函數(shù),對(duì)這類函數(shù)問題的解決比周期函數(shù)難度大.本文總結(jié)了幾種類周期函數(shù)的一些處理方法與大家一起探討.

一、f(x+T)=f(x)+m 類線性型

(一)周期原理

1.若函數(shù)g(x)是以T為周期的函數(shù),則f(x)=g(x)+ax+b為該類型的類周期函數(shù).即周期函數(shù)加上一次函數(shù)構(gòu)成的新函數(shù)為類周期函數(shù).其中周期函數(shù)的周期T為類周期函數(shù)的周期.

證明f(x+T)=g(x+T)+a(x+T)+b=g(x)+ax+aT+b,則f(x+T)=f(x)+aT且直線的斜率為.

注一次函數(shù)可以看做周期為任意實(shí)數(shù)的類周期函數(shù).

2.若函數(shù)f(x),g(x)是以T1,T2為周期的類周期函數(shù),則f(x)+g(x)也是類周期函數(shù),且周期為T1,T2的最小公倍數(shù).

證明令h(x)=f(x)+g(x),T=k1T1,T=k2T2.

由題可知:f(x+T1)=f(x)+m1,g(x+T2)=g(x)+m2.所以,h(x+T)=f(x+k1T1)+g(x+k2T2)=f(x)+g(x)+k1m1+k2m2.

(二)函數(shù)圖像變化與特征

首先觀察兩個(gè)函數(shù)圖像:

圖1

圖2

(1)若f(x)為奇函數(shù),當(dāng)x＞0 時(shí)f(x+1)=f(x)+1,若0 ≤x≤1 時(shí)f(x)=x2則f(x)圖像為圖1.

(2)定義在R 上的函數(shù)f(x)滿足:f(x+1)=f(x)-2,若0 ≤x ＜1 時(shí)f(x)=x2,則f(x)圖像為圖2.

1 函數(shù)圖像沿著某直線展開

上面兩圖函數(shù)圖像分別沿著y=x,y=-2x展開.類比可知,滿足f(x+T)=f(x)+m關(guān)系的類周期函數(shù)圖像沿著斜率為的直線展開.即滿足f(x)=g(x)+ax+b的類周期函數(shù)圖像沿直線y=ax+b展開.

2 函數(shù)圖像以周期為單位平移(T＞0)

類周期函數(shù)圖像從左至右以周期為單位,后一個(gè)周期的圖像在前一個(gè)周期的基礎(chǔ)上向上(m＞0)平移或向下(m ＜0)平移|m|個(gè)單位.

(三)對(duì)稱性

1.若函數(shù)f(x),g(x)是均以T為周期的類周期函數(shù),且函數(shù)f(x)關(guān)于(x0,y1)對(duì)稱,函數(shù)g(x)關(guān)于(x0,y2)對(duì)稱,則f(x)+g(x)關(guān)于(x0,y1+y2)對(duì)稱.

證明由對(duì)稱可知:f(x)+f(2x0-x)=2y1,g(x)+g(2x0-x)=2y2,令h(x)=f(x)+g(x),則h(x)+h(2x0-x)=f(x)+g(x)+f(2x0-x)+g(2x0-x)=2(y1+y2).證畢.

2.f(x)=sin(wx+θ)+ax+b類型函數(shù)對(duì)稱性的探討

例1設(shè)g(x)定義在R 上以1 為周期的周期函數(shù),若f(x)=g(x)+x在[3,4]上值域?yàn)閇-2,5],則f(x)在[-10,10]上的值域.

分析由題可得:f(x+1)=f(x)+1,則f(x)以1為周期的類周期函數(shù).當(dāng)x ∈[9,10]時(shí),x -6∈[3,4],則f(x)=f(x -6)+6∈[4,11],當(dāng)x ∈[-10,-9]時(shí),x+13∈[3,4],則f(x)=f(x+13)-13∈[-15,-8].所以f(x)∈[-15,11].

例2函數(shù)的圖象大致是()

二、f(x+T)=kf(x)(T＞0,k＞0)類指數(shù)型

分析由題可得函數(shù)部分圖像如圖3.設(shè)x ∈(2,3]則x - 2 ∈ (0,1],f(x)=2f(x - 1)=4f(x - 2)=4x2-20x+24.令則.或觀察圖像可得正確答案為選項(xiàng)B.

圖3

三、f(kx)=nf(x)(k＞1)類冪指型

這種類型的類周期函數(shù)它的周期不斷變化,從左至右類周期成以k 為公比等比數(shù)列變化.圖像從左至右每個(gè)周期內(nèi)的最值(且不為0)以n 為公比成等比數(shù)列.