浙江省衢州第二中學(xué)(324000) 萬祺

在解析幾何解題過程當(dāng)中,學(xué)生往往存在一系列困難,比如對(duì)平面解析幾何的基本思想理解不到位;代數(shù)恒等變形、運(yùn)算操作能力弱等.本文將針對(duì)一類與三角形面積之比有關(guān)的考題進(jìn)行探究,此類問題往往運(yùn)算的結(jié)構(gòu)不對(duì)稱,運(yùn)算難度較大.下面擬從一個(gè)問題入手,建立適當(dāng)模型,探尋合理的解決方案,力求有所突破.

1 建立模型

例1如圖1,已知拋物線L:y2=4x 的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)M(5,0)的動(dòng)直線l 與拋物線L交于A,B 兩點(diǎn),直線AF 交拋物線L 于另一點(diǎn)C.記ΔABC,ΔCFM 的面積分別為S1,S2,求的最小值.

圖1

分析本題常規(guī)思路是直接去求兩個(gè)三角形的面積,進(jìn)一步去尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系,運(yùn)算中發(fā)現(xiàn)與坐標(biāo)相關(guān)的式子形式不對(duì)稱,直接使用韋達(dá)定理會(huì)有一定的運(yùn)算量.這里我們通過引入中間變量(即ΔACM 的面積)將面積之比轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)之比,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之比,然后找尋坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而達(dá)到消元的目的,簡(jiǎn)化求解過程.

注找準(zhǔn)直線的設(shè)法,通過韋達(dá)定理發(fā)現(xiàn)拋物線與直線交點(diǎn)的坐標(biāo)之積只與直線在坐標(biāo)軸上的截距有關(guān).抓住這一點(diǎn),有助于快速找到坐標(biāo)之間的聯(lián)系,達(dá)到消元的目的.

2 模型應(yīng)用

例2(2019年高考浙江卷)如圖2,已知點(diǎn)F (1,0)為拋物線y2=2px 的焦點(diǎn),過點(diǎn)F 的直線交拋物線于A,B 兩點(diǎn),點(diǎn)C 在拋物線上,使得ΔABC 的重心G 在x 軸上,直線AC 交x軸于點(diǎn)Q,且Q 在點(diǎn)F 的右側(cè),記ΔAFG,ΔCQG 的面積分別為S1,S2.

圖3

(I)求p 的值及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

分析若按照常規(guī)的解法,在轉(zhuǎn)化過程中利用韋達(dá)定理得到的兩根關(guān)系不能整體帶入,因此對(duì)化簡(jiǎn)造成了較大困難.這里我們通過引入中間變量(即ΔABG 與ΔACG 的面積)把面積之比轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)之比,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之比,然后找尋坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而達(dá)到消元的目的,簡(jiǎn)化求解過程.

解(I)由題意,p=2,拋物線方程為y2=4x,

評(píng)注與例1 相仿,解決直線與拋物線有關(guān)的問題時(shí),要注意當(dāng)直線過軸上定點(diǎn)時(shí),兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)之積為定值.同時(shí),本題也要牢牢抓住三角形重心的性質(zhì),一方面,重心與三角形各頂點(diǎn)的連線將三角形面積三等分;另一方面,重心坐標(biāo)與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)又緊密聯(lián)系.本題還有許多其他解法,這里不再展開.

例3拋物線y2=2px(p＞0)上縱坐標(biāo)為-p 的點(diǎn)M 到焦點(diǎn)的距離為2.

圖3

(I)求p 的值;.

(Ⅱ)如圖3,A,B,C 為拋物線上三點(diǎn),且線段MA,MB,MC 與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次組成公差為1 的等差數(shù)列,若ΔAMB 的面積是ΔBMC 面積的,求直線MB 的方程

解(I)由已知,p=2,M(1,-2),y2=4x;

評(píng)注本題也可以利用點(diǎn)A 到直線MB 的距離公式,直接將ΔAMB 面積表示出來,同理表示ΔBMC 得面積,從而進(jìn)行求解.而上述解法通過將面積比轉(zhuǎn)化坐標(biāo)比,可適當(dāng)簡(jiǎn)化計(jì)算求解過程.

例4如圖4,已知點(diǎn)A(4,4)在拋物線y2=2px 上,過點(diǎn)B(1,1)的直線交拋物線于點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),其中2 ＜y1＜4.

(I)求y2的取值范圍;

(Ⅱ)若直線AP 與OQ 交于點(diǎn)I,記ΔIPQ,ΔIAO 的面積分別為S1,S2,求的最小值及此時(shí)點(diǎn)I 的坐標(biāo).

圖4

注記解決本題的關(guān)鍵也是將三角形面積比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)比,盡管用坐標(biāo)表示的式子形式不對(duì)稱,但最終發(fā)現(xiàn)不對(duì)稱的因式可以被約去,這也是我們?cè)诮馕鰩缀吻笾祷?jiǎn)過程當(dāng)中常常遇到的情況.

3 方法總結(jié)

涉及到拋物線中的三角形面積之比問題,往往可以通過以下幾個(gè)步驟進(jìn)行操作:

1.尋找同底或等高的三角形(中間變量),將三角形面積之比轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)之比,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)比.

2.聯(lián)立拋物線與直線方程,通過韋達(dá)定理尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系,尤其是當(dāng)直線過坐標(biāo)軸上定點(diǎn)時(shí),拋物線與直線交點(diǎn)的坐標(biāo)乘積為定值.

3.利用坐標(biāo)之間的等量關(guān)系,進(jìn)行消元處理,化為單變?cè)獑栴}后進(jìn)行求值或求范圍.

總之,合理假設(shè)直線方程,表示出坐標(biāo)之間的關(guān)系,將面積之比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之比,是解決此類問題的關(guān)鍵,這也是圓錐曲線坐標(biāo)化的意義所在.