廣東省廣州市花都區(qū)花東鎮(zhèn)李溪小學(xué) 張升添

新人教版四年級數(shù)學(xué)上冊第111 頁游戲——河內(nèi)塔游戲（又名漢諾塔游戲）：（如圖1 所示）你能借助②號桿把①號桿上的珠子移到③號桿而不改變珠子的上下順序嗎？最少移動(dòng)多少次？移動(dòng)規(guī)則是：每次只能移動(dòng)1 個(gè)珠子，且大珠子不能放在小珠子上面。如果①號桿上有4 顆珠子呢？

圖1

這個(gè)游戲問題，①號桿上有3、4 顆珠子時(shí)，學(xué)生通過真實(shí)的游戲容易明白、理解。為了發(fā)展學(xué)生智力，提高學(xué)生的邏輯思維能力，把這個(gè)問題深化，在課堂數(shù)學(xué)教學(xué)中，把這個(gè)數(shù)學(xué)游戲問題推廣到①號桿上有5、6、7、…、n顆珠子的情況。這樣就將游戲變?yōu)閿?shù)學(xué)問題，真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)游戲問題，借此問題對學(xué)生滲透“由簡單到復(fù)雜，由具體到抽象”的數(shù)學(xué)思想方法：

設(shè)①號桿上珠子顆數(shù)為n，為了下文表述方便，記游戲的最少移動(dòng)次數(shù)為f（n）。四年級學(xué)生初涉的抽象知識不易理解，教師要多舉例說明，本文著重研究這一游戲問題的規(guī)律的課堂數(shù)學(xué)教學(xué)方法，在課堂數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生理解這個(gè)數(shù)學(xué)游戲問題的一般規(guī)律：f（n）=2×f（n-1）＋1。

首先，當(dāng)①號桿上珠子顆數(shù)n=1、2 時(shí)，學(xué)生嘗試操作。學(xué)生通過實(shí)際操作探索珠子移動(dòng)的最少次數(shù)f（1）、f（2），容易理解f（1）=1、f（2）=3。

其次，當(dāng)①號桿上珠子顆數(shù)n=3、4 時(shí)，學(xué)生探索珠子的移動(dòng)最少次數(shù)f（3）、f（4）。一部分學(xué)生理解f（3）=7、f（4）=15，有一部分學(xué)生不能理解。這時(shí)教師要實(shí)際操作移動(dòng)珠子，讓學(xué)生明白怎樣操作移動(dòng)珠子，從而理解f（3）=7、f（4）=15。

（1）當(dāng)n=3 時(shí)，一定要經(jīng)過如圖2 所示的移動(dòng)操作，上一步的移動(dòng)操作如圖3 所示。

圖2

圖3

而由圖1 的①號桿上面的兩個(gè)較小珠子經(jīng)過f（2）步移動(dòng)操作得到圖3，再經(jīng)過一步移動(dòng)操作得到圖2，再把圖2 的②號桿的兩個(gè)珠子經(jīng)過f（2）步移動(dòng)操作得到圖4。

圖4

由此得到當(dāng)n=3 時(shí)，最少移動(dòng)次數(shù)f（3）=f（2）＋1 ＋f（2） =2×f（2）＋1=2×3+1=7。

數(shù)學(xué)教學(xué)中，有些學(xué)生不明白圖1 的①號桿上面的兩個(gè)較小珠子經(jīng)過f（2）步移動(dòng)操作得到圖3，教師要?jiǎng)赢嬔菔净驅(qū)嵅傺菔荆?/p>

圖5

由此可見，由圖1 經(jīng)過f（2）=3 次移動(dòng)操作得到圖3，實(shí)際是把圖1 的①號桿上面的兩個(gè)較小珠子移動(dòng)到②號桿，故移動(dòng)操作次數(shù)為f（2）=3。移動(dòng)過程如圖5。

同理，由圖2 經(jīng)過f（2）=3 次移動(dòng)操作得到圖4，實(shí)際是把圖2 的②號桿上的兩個(gè)較小珠子移動(dòng)到③號桿，故移動(dòng)操作次數(shù)為f（2）=3。移動(dòng)過程如圖6。

圖6

（2）當(dāng)n=4 時(shí)，由圖7 經(jīng)過f（3）=7 次移動(dòng)操作得到圖8，實(shí)際是把圖7 的①號桿上面的3 個(gè)較小珠子移動(dòng)到②號桿，再把圖8 的①號桿上的大珠子經(jīng)過1 次移動(dòng)操作移動(dòng)到③號桿，得到圖9，再由圖9 經(jīng)過f（3）=7 次移動(dòng)操作得到圖10，實(shí)際是把圖9 的②號桿上的3 個(gè)珠子移動(dòng)到③號桿。

圖7

圖8

圖9

圖10

由此得到當(dāng)n=4 時(shí)，最少移動(dòng)次數(shù)f（4）=f（3）＋1 ＋f（3） =2×f（3）＋1=2×7+1=15。

最后，一般地，①號桿上有n顆珠子，至少經(jīng)過f（n－1）次操作移動(dòng)，把①號桿上較小的（n－1）顆珠子移動(dòng)到②號桿；再把①號桿上最大的珠子經(jīng)過1 次操作移動(dòng)到③號桿；再經(jīng)過f（n－1）次操作移動(dòng)，把②號桿上較小的（n－1）顆珠子移動(dòng)到③號桿上。由此得到：f（n）=f（n－1）＋1 ＋f（n－1）=2×f（n－1）＋1。

這樣，借此問題對學(xué)生滲透“由簡單到復(fù)雜，由具體到抽象”的數(shù)學(xué)思想方法。