王 靜，郭健宏

（首都師范大學(xué)物理系，北京 100048）

0 引 言

拓?fù)涑瑢?dǎo)體是近年凝聚態(tài)物理的研究熱點(diǎn)，原因之一是 Majorana費(fèi)米子（Majorana fermions，MFs）的存在［1］.MFs是自身的反粒子，遵從非阿貝爾統(tǒng)計(jì).作為非阿貝爾任意子，MFs受拓?fù)浔Ｗo(hù)，環(huán)境的局域干擾無法破壞非局域的MFs，從而不會(huì)受到退相干的影響，因此，在拓?fù)淞孔佑?jì)算中有重要應(yīng)用［2-3］.實(shí)驗(yàn)上用銻化銦（InSb）或砷化銦（InAs）強(qiáng)自旋-軌道耦合的半導(dǎo)體納米線，與s-波超導(dǎo)體形成異質(zhì)結(jié)構(gòu)，結(jié)合超導(dǎo)電性作用以及外加磁場(chǎng)實(shí)現(xiàn)一維拓?fù)涑瑢?dǎo)體，在其兩端產(chǎn)生MFs［4］.由于一維拓?fù)涑瑢?dǎo)體容易調(diào)制和操控MFs，從而被廣泛用于目前實(shí)驗(yàn)中［5］.最近，有研究成功地將量子點(diǎn)（quantum dot，QD）與InAs納米線制備在一起，利用QD的微分電導(dǎo)譜觀測(cè)到 Andreev束縛態(tài)合并形成的 MFs［6］.零偏壓附近出現(xiàn)的反常電導(dǎo)峰可能作為MFs存在的證據(jù)［7］.但是，其他非拓?fù)湮锢頇C(jī)制，如無序［8］、Andreev束縛態(tài)［9］等也能產(chǎn)生類似的零偏壓電導(dǎo)峰，因此，需要用其他表征辦法進(jìn)一步甄別MFs.

迄今，諸多方案主要討論了QD-MFs結(jié)構(gòu)在零偏壓附近的反常電導(dǎo)峰［10］，以及溫度為0或大偏壓極限的散粒噪聲譜［11］.如溫度為0時(shí)，零偏壓電導(dǎo)峰由于QD與MFs耦合而減小［12］；在大偏壓極限下，MFs導(dǎo)致散粒噪聲顯著增大［13］；大偏壓極限下，零頻全計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)證明了相同結(jié)構(gòu)中存在MFs［11］.目前對(duì)有限溫度與偏壓下的噪聲研究鮮有報(bào)道，本文考慮QD-MFs耦合系統(tǒng)，研究了有限溫度與偏壓的全計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)，證明了高階計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)更加敏感于MFs的存在.

1 模型與方法

1.1 QD-MFs耦合模型

量子點(diǎn)與納米線耦合的裝置如圖1所示.納米線處于拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)，兩端產(chǎn)生的MFs分別表示為γ1和γ2，滿足量子點(diǎn)與近鄰γ1耦合，處于強(qiáng)庫侖阻塞區(qū)，并跟電極構(gòu)成測(cè)量回路.整個(gè)系統(tǒng)的哈密頓量可寫作，表示左右2個(gè)金屬電極，為電極電子的產(chǎn)生（湮滅）算符，電子波矢量與能量分別用k與εαk表示.表示量子點(diǎn)與電極間的隧穿耦合，耦合強(qiáng)度為tα，假定電極的電子態(tài)密度Dα是常數(shù)，則電子隧穿率為.中間QD與MFs耦合系統(tǒng)的哈密頓量用Hs來描述，具體表述為

式中d?(d)表示QD上電子的產(chǎn)生（湮滅）算符，εd為電子能量，實(shí)驗(yàn)上可由改變柵極電壓調(diào)節(jié)，εm～e-L/ξ為MFs分裂能，反映2個(gè)MFs波函數(shù)之間的重疊程度，納米線的有效長(zhǎng)度用L表示，超導(dǎo)相干長(zhǎng)度用ξ表示，量子點(diǎn)與近鄰MFs的耦合強(qiáng)度為λ.

圖1 量子點(diǎn)與Majorana費(fèi)米子耦合模型

1.2 計(jì)算方法

引入非局域Dirac費(fèi)米子f：γ1=f?+f，γ2=i(f?-f)，滿足{f,f?}=1，占據(jù)數(shù)nf=f?f.哈密頓量Hs可改寫為

式中λ1=λ表示QD與MFs耦合，λ1=0表示QD與Dirac費(fèi)米子的隧穿.為研究有限溫度與有限電壓的電荷輸運(yùn)，需要將Hs對(duì)角化.取QD-MFs的直積表象nd(nf)=0,1，表示QD或非局域費(fèi)米子能級(jí)上的電子占據(jù)數(shù).QD-MFs總電子數(shù)的宇稱守恒，構(gòu)成奇宇稱子空間，構(gòu)成偶宇稱子空間，在Hs中分別對(duì)應(yīng)分塊對(duì)角化的子矩陣當(dāng)εm(εd)=0時(shí)，奇偶宇稱子空間彼此等價(jià)，稱為費(fèi)米子宇稱簡(jiǎn)并；而εm(εd)≠0會(huì)破壞該宇稱簡(jiǎn)并.奇（偶）宇稱子空間的本征態(tài)

本征能量分別為：

式中δ±=εd±εm，，描述奇（偶）宇稱空間中能量本征態(tài)的拉比分裂，No(e)為歸一化系數(shù).

將電極自由度求平均后，QD-MFs系統(tǒng)可用約化密度矩陣ρ(t)描述.設(shè)QD與電極耦合較弱，將ρ(t)的運(yùn)動(dòng)方程展開至Γα的二階項(xiàng)，忽略系統(tǒng)能級(jí)的拉姆移位，可得到關(guān)于QD-MFs系統(tǒng)的量子主方程［14］.在能量本征表象中，相干性（ρ(t)的非對(duì)角元）和能級(jí)占據(jù)數(shù)（ρ(t)的對(duì)角元）無關(guān)，得到QD-MFs本征態(tài)占據(jù)數(shù)的演化方程

式中Eaa′=Ea-Ea′，Ea為本征態(tài)的能量，F(xiàn)(E)=1/(e(E-μα)/T+1)為α電極的費(fèi)米分布函數(shù)，電子溫度為T，化學(xué)勢(shì)μL(R)=V0±V/2，V0為超導(dǎo)體化學(xué)勢(shì).令為宇稱空間本征態(tài)式（3）的各投影分量.

采用特征多項(xiàng)式辦法來計(jì)算電流全計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)分布［15］，將其推廣至有限溫度.考慮右電極收集的電子數(shù)，定義從QD流進(jìn)右電極的電流為正，并在式（5）第1項(xiàng)的量子跳躍過程中引入計(jì)數(shù)變量χ，即

最后 2項(xiàng)～e?χ表示對(duì)從右電極（QD）進(jìn)入QD（右電極）的電子計(jì)數(shù)，±代表電流的正負(fù)方向.將式（5）改寫成矢量方程χ(t)= ?χPχ(t)，超算符?χ= ?0+eχ?++e-χ?-為4 × 4維矩陣，其中?±與?0分別對(duì)應(yīng)有、無電子計(jì)數(shù)項(xiàng).Pχ(t)的特征多項(xiàng)式定義為Tχ(λ)=det[λI- ?χ]，I為單位矩陣.Tχ(λ)含有關(guān)于計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)的全部信息，可展開為計(jì)數(shù)變量χ的多項(xiàng)式

將Tχ(λ)在χ=0附近做泰勒展開.設(shè)Tχ(λ)中最小本征值為λ0(χ)|χ→0=0，λ0(χ)決定了電流各階累積矩將λ0(χ)代入特征多項(xiàng)式中，做二項(xiàng)式展開.最后合并系數(shù)展開至χk，則各項(xiàng)系數(shù)aj=aj(χ)|χ=0及其導(dǎo)數(shù)決定了各階累積矩ck.由此可得平均電流（c1）、方差（c2）、偏斜度（c3）以及法諾因子（F≡c2/c1）和歸一化的偏斜度（偏離度）（c3/c1）分別為

式中僅用特征多項(xiàng)式Tχ(λ)的系數(shù)及其導(dǎo)數(shù)表示出三階累積矩，實(shí)際中容易得到特征多項(xiàng)式，因此，方便討論電流的全計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì).

1.3 數(shù)據(jù)分析

利用占據(jù)數(shù)方程研究拓?fù)涑瑢?dǎo)體與量子點(diǎn)中非簡(jiǎn)并能級(jí)的全計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì).在有限溫度與偏壓下，針對(duì)“T”型單量子點(diǎn)模型，利用全計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)對(duì)前三階累計(jì)矩展開研究.文中取參數(shù)Γα=1，εm=0.1，λ=2，T=0.1.

2 結(jié)果與討論

2.1 電流與偏壓

平均電流隨電壓的變化結(jié)果如圖2所示.可見，電流呈現(xiàn)出3個(gè)主要特征：（1）偏壓V～0時(shí)，無論費(fèi)米子宇稱簡(jiǎn)并與否，MFs皆導(dǎo)致電流增大，出現(xiàn)微分電導(dǎo)峰.而沒有MFs時(shí)，V～0處電流為零.原因在于：當(dāng)εd=0，QD與超導(dǎo)體費(fèi)米能級(jí)V0=0共振，費(fèi)米子奇偶宇稱簡(jiǎn)并，導(dǎo)致系統(tǒng)躍遷能量Eaa′=V/2=0，電子無需能量，即可隧穿；當(dāng)εd=1，費(fèi)米子宇稱非簡(jiǎn)并，但是QD與超導(dǎo)體費(fèi)米能級(jí)V0=0近共振，即|Eaa′|=V/2～0時(shí)，電子仍不需能量而隧穿.沒有MFs時(shí)，系統(tǒng)中不存在零能量的電子躍遷能級(jí)，電流為零.可見，V～0處的微分電導(dǎo)峰是證明MFs存在的重要特征（.2）當(dāng)偏壓逐漸增大，電子通過能量較高的能級(jí)躍遷，在|Eaa′|=V/2處出現(xiàn)新的電流臺(tái)階.沒有MFs時(shí)，εd=0使能級(jí)簡(jiǎn)并，導(dǎo)致在V=2|Eaa′|～4.1處電流僅有1個(gè)臺(tái)階；存在MFs時(shí)，電流呈現(xiàn)2個(gè)臺(tái)階，分別位于V～0和V=2|Eaa′| ～ 8處，并和費(fèi)米子宇稱簡(jiǎn)并與否無關(guān).εd≠0時(shí)，簡(jiǎn)并消除，系統(tǒng)中存在2個(gè)躍遷能級(jí)，對(duì)應(yīng)電流中的2個(gè)臺(tái)階.（3）由于QD與電極對(duì)稱耦合（ΓL=ΓR），MFs導(dǎo)致費(fèi)米子宇稱簡(jiǎn)并時(shí)電流的2個(gè)臺(tái)階高度相等，約為0.25；非簡(jiǎn)并時(shí)，電流第1個(gè)臺(tái)階高度略有下降.電流最終都趨于單量子點(diǎn)輸運(yùn)電流ΓLΓR/(ΓL+ΓR)［16］.

2.2 電流分布

圖2 平均電流隨偏壓的變化

二階累積矩陣c2，即電流分布的漲落，與散粒噪聲直接相關(guān).通常表示為法諾因子(F≡c2/c1).法諾因子隨偏壓的變化如圖3所示.（1）當(dāng)V?kBT，熱噪聲起主要作用，表現(xiàn)為V=0時(shí)，F(xiàn)發(fā)散.（2）當(dāng)εd=0（圖3（a）），由于偏壓小于最低躍遷能級(jí)V＜ 4.1，沒有MFs時(shí)，平均電流為零，隧穿電子間沒有關(guān)聯(lián)，漲落呈泊松分布，即F=1；偏壓繼續(xù)增大，V＞4.1時(shí)，電子經(jīng)簡(jiǎn)并能級(jí)隧穿進(jìn)右電極，并達(dá)到最大電流，隧穿電子間關(guān)聯(lián)減小，呈亞泊松分布，即F＜1，最后趨于單量子點(diǎn)輸運(yùn)噪聲；有MFs耦合時(shí)，電子不需要能量即可隧穿形成電流，但在低偏壓區(qū)仍是泊松分布，隧穿電子間沒有關(guān)聯(lián)；增大偏壓，V=8附近電子隧穿之間的關(guān)聯(lián)增大，呈明顯的超泊松分布，即F＞1，顯然不同于沒有MFs情況；再增大偏壓，隧穿電子間的關(guān)聯(lián)減小，F(xiàn)≤1，但是仍然遠(yuǎn)大于沒有MFs的噪聲.（3）當(dāng)εd≠ 0（圖 3（b）），沒有 MFs時(shí)，F(xiàn)在V=2|Eaa′|處出現(xiàn)2個(gè)臺(tái)階，分別對(duì)應(yīng)系統(tǒng)中電子的2個(gè)躍遷能級(jí).有MFs的情況類似.不同之處是，當(dāng)偏壓大于較高能量的躍遷能級(jí)時(shí)，由于費(fèi)米子宇稱態(tài)不簡(jiǎn)并，MFs的噪聲減小，呈明顯的亞泊松分布，而沒有MFs的結(jié)構(gòu)中噪聲不變，

圖3 法諾因子隨偏壓的變化

2.3 偏離度與偏壓

偏離度隨偏壓的變化（圖4）與F類似.重要的是，在大偏壓區(qū)，有無MFs時(shí)偏離度之間的差值明顯大于F之間的差值，說明偏離度對(duì)系統(tǒng)中是否存在MFs更為敏感.而在V=0附近，由于費(fèi)米子宇稱態(tài)簡(jiǎn)并（圖 4（a）），導(dǎo)致有無 MFs的偏離度相等.當(dāng)εd≠0時(shí)，費(fèi)米子宇稱態(tài)簡(jiǎn)并消除，MFs使V=0附近的偏離度增大.該特征不同于F，法諾因子在V=0附近總是趨于發(fā)散，并和費(fèi)米子宇稱態(tài)是否簡(jiǎn)并無關(guān).說明在有限偏壓下偏離度更易區(qū)分MFs.

圖4 偏離度隨偏壓的變化

3 結(jié) 論

本文利用占據(jù)數(shù)方程，研究QD-MFs系統(tǒng)中電流的全計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì).在有限溫度與偏壓下，將計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)的各階累積矩表示為特征多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)及其導(dǎo)數(shù).無論費(fèi)米子宇稱是否簡(jiǎn)并，MFs皆導(dǎo)致微分電導(dǎo)峰.在大偏壓區(qū)，噪聲明顯增大，呈超泊松分布.費(fèi)米子宇稱非簡(jiǎn)并時(shí)，噪聲減小，呈亞泊松分布.偏離度在大偏壓區(qū)對(duì)MFs更為敏感.說明有限溫度與有限電壓時(shí)的電流全計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)可以表征MFs.