范財政

(大嶺山中學高中部 廣東 東莞 523820)

1 提出問題

在速度的合成與分解問題中，常遇到以下這個經典例題.

【例題】如圖1所示，某人站在岸上通過繞定滑輪的繩子向岸邊拉船.他拉繩子速率不變，當拉船的繩子與水平面成α角時，船前進速度u多大?

圖1 例題題圖

學生們通常以圖2的方式分解[1]，認為u=v1=v0cosα這種分解方式顯然錯誤，因為船在運動過程中明顯沒有豎直向上的分運動.

圖2 學生解題常用分解方式

在教學過程中，有許多教師認為這是一個速度分解的問題，常用圖3的方式進行分解計算，船速是合速度，分解為沿繩的分速度v1和垂直于繩的另一個分速v2.因此，繩子的速度是v0根據三角形幾何關系得到船速

圖3 教師解題常用分解方式

這樣講解這道例題，存在什么問題？學生經常會產生疑問，為什么船速是合速度，而繩速卻是分速度？而且為什么兩個分速度v1和v2必須垂直？

針對學生的問題，教師的解釋如下：合運動與分運動的定義是物體實際的運動是那兩種運動的合運動，那兩種運動就是這個實際運動的分運動.

在上述例題中，船沿水平方向的實際運動明顯就是合運動，所以沿繩和垂直于繩方向的兩個運動就是分運動.

v1和v2如果不垂直，如圖4所示，v2在繩子方向上投影不為零，所以還應該把v2分解.v0=v1-v2sinα，結果還是分解為圖3的情況.只有v1和v2垂直，v2在繩子的方向上投影才為零，也就是v2不能再分.

圖4 v1和v2不垂直的分解方式

那么這樣解釋是否正確？

2 分析問題

采用速度分解的方法來解決上述例題，有許多教師認為這是錯誤，陳鋼等論述了這個觀點.他們認為[2]，上述例題中船速與繩速的關系根本就不屬于運動分解的問題，既非繩速的分量為船速，亦非船速的分量為繩速.船頭沿水平面運動，行船的速度與拉繩的速度并不構成速度分解與合成的關系，因為顯然繩速與船速是因果關系，拉繩為“因”而行船為“果”，這不符合運動分解的邏輯關系.

而筆者認為運動的分解定義中，分運動具有相對獨立性，分運動間互不相干，任何一個分運動可以獨立存在.而上述例題中，v1,v2兩個分運動并不能獨立存在，如果沒有繩速,v2就不存在，更沒有船速.

因此，使用速度分解的方法解決關聯(lián)速度問題存在爭議，筆者建議使用別的更合理的方法，避免爭議也方便學生理解.

3 關聯(lián)速度問題的解法

3.1 關聯(lián)速度問題的常規(guī)解法

在解決上述例題前，先弄明白上述的船速和繩速應當屬于哪一種關系？圖5中船是因為繩拉而動的，拉繩是“因”，而船行是“果”，速度有關聯(lián)，它們符合關聯(lián)速度的特征，是典型的“關聯(lián)速度”問題.

圖5 船速與繩速關聯(lián)示意圖

在機械運動中普遍地存在著速度的關聯(lián)關系，關聯(lián)速度的基本特征是，一個獨立的運動導致另一個相關聯(lián)的運動，這兩個運動被幾何關系約束，因此往往可以寫出確定它們之間幾何關系的“約束方程”，根據圖5對拉船問題可以寫出約束方程

x2+H2=L2

(1)

兩邊對t求導后，得

(0≤α<90°)

對于其他的典型關聯(lián)速度問題，例如馬拉車，滑輪拉重物等[2]，都可以使用約束方程來解決.

上述的關聯(lián)速度問題的解決方法看似完美，但是高中的學生并沒有學過導數(shù)，如果對中學生講解上述方法，那么教師和學生必然是事倍功半.

3.2 關聯(lián)速度問題的中學解法

在中學雖沒有學過導數(shù)，但是學過微元法，因此，教師可以通過微元法來講解關聯(lián)速度問題.如圖5所示，設經過極短的Δt時間，繩子收縮長度ΔL，船的位移是Δx.經過Δt后約束方程依然成立

(x-Δx)2+H2=(L-ΔL)2

(2)

將式(1)代入式(2)化簡得

(3)

將式(3)兩邊除以Δt得

因為Δt極短，相對2L，ΔL可忽略；相對2x，Δx也可以忽略

所以可得

(4)

由此可見，用微元法得出的結果與導數(shù)方法相同，而且又能使中學生理解.

為便于學生理解，還可以從能量的角度講解關聯(lián)速度問題.

為什么許多學生常以圖2的方式分解繩速？因為受力的分解的定勢思維的影響，認為速度也能這樣分解.

根據力的分解思維，學生很容易將繩拉船的力分解為水平方向和豎直方向的兩個分力.速度與力的乘積又是功率，因此我們可以得到啟發(fā)，找到適合中學生的解題方法.

如圖1所示，人拉繩做功大小與繩拉船做功大小是否相等？在忽略滑輪阻力的情況下，答案是肯定的.再因為人對繩做功的時間與繩對船做功時間相同，所以功率相同[3].

根據以上分析，假設人拉繩的力是F，則人拉繩的功率P1=Fv0.

對于類似的馬拉車、滑輪拉重物的問題，也可以使用功率相等的方法解決問題.

4 總結

在教學過程中常遇見的關聯(lián)速度問題，有許多教師都是以運動分解的方法來教學生.筆者認為運動分解的概念還是不能與關聯(lián)速度混淆.針對關聯(lián)速度的問題，常規(guī)的解法就是運用“約束方程”，但是這個方法運用了導數(shù)的知識，所以教師可以理解，而中學生卻不能.總之，為便于中學生理解，建議教師在講解關聯(lián)速度的問題時，可以用微元法或從能量的角度來講解.