李勇

20世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)最大的變化和發(fā)展是應(yīng)用，數(shù)學(xué)幾乎滲透到了所有學(xué)科領(lǐng)域。為了適應(yīng)數(shù)學(xué)發(fā)展的潮流和未來社會人才培養(yǎng)的需要，美國、德國、日本等發(fā)達(dá)國家普遍都十分重視數(shù)學(xué)建模教學(xué)。現(xiàn)在全日制九年義務(wù)教育的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱為《標(biāo)準(zhǔn)》）也指出“對于新課程來說，最重要的是使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)。在這個意義下，數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用被證明是非常成功的。在這樣的背景下，相對于大量的計算和推理，相對于數(shù)學(xué)知識和技能的積累，數(shù)學(xué)的應(yīng)用或者說數(shù)學(xué)建模在學(xué)校教育中的作用顯得越來越重要了”。

數(shù)學(xué)模型這一思想方法幾乎貫穿于整個中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，因此，在初中階段滲透數(shù)學(xué)建模思想方法，增強應(yīng)用意識，是貫徹新課標(biāo)的要求，是對學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題能力的需要。下面結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐，談?wù)勁囵B(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想的幾點體會。

一、結(jié)合教材，選取貼近學(xué)生認(rèn)知水平和生活實際的問題，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)建模思想方法的意識

在傳統(tǒng)的教學(xué)中我們強調(diào)的是對數(shù)學(xué)概念的理解，對數(shù)學(xué)定理、公式的證明和推導(dǎo)，對各類題型進(jìn)行一招一式的訓(xùn)練，而忽視如何從實際問題出發(fā)，通過抽象概括建立數(shù)學(xué)模型，再通過對模型的分析研究，然后返回實際問題中去的認(rèn)識問題和解決問題的訓(xùn)練。其結(jié)果是被動的接受和機械的模仿，體會不到數(shù)學(xué)的價值，享受不到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，“應(yīng)用意識和實踐能力的培養(yǎng)也就成了一句空話。”因此，在教學(xué)中， 應(yīng)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容采用“問題情景-建立模型-解釋、應(yīng)用與拓展”的過程來進(jìn)行。把學(xué)生置于研究現(xiàn)實的未知的問題情境之中，師生共同討論，分析尋找數(shù)量關(guān)系或函數(shù)關(guān)系，將實際問題數(shù)學(xué)化，使學(xué)生在探求解決問題方法的過程中體會到方程、不等式、函數(shù)、平面圖形等都是刻畫現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)模型，領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模的思想和基本過程，提高解決問題的能力和自信心。

（一）樹立方程模型思想。在有關(guān)方程知識的教學(xué)中， 《標(biāo)準(zhǔn)》要求我們，“能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型”。因此要鼓勵學(xué)生積極參與解決問題的活動，自己去探索、研究、尋求具體問題中的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而列出方程，解決問題。

例1.某商場服裝柜銷售 “寶寶”牌童裝，每件進(jìn)價為60元，售價為100元時，平均每天可售出20件。為了迎接“六·一”兒童節(jié)，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天銷售這種童裝能得到銷售利潤1200元，那么每件童裝應(yīng)降價多少元？

這是一個貼近學(xué)生認(rèn)知水平和生活實際的問題。降價能促銷，銷量大能增加利潤，學(xué)生是認(rèn)知的。但是要達(dá)到目標(biāo)利潤，應(yīng)降價多少元？在解決這個問題中，先讓學(xué)生認(rèn)識問題中的數(shù)量關(guān)系，尋找數(shù)量相等關(guān)系，而不是頭頭是道地給學(xué)生分析等量關(guān)系，給學(xué)生把問題分類。學(xué)生通過問題情景可以找到兩個等量關(guān)系：①每件商品銷售利潤 = 每件商品的售價-其進(jìn)價;②每件商品的銷售利潤×每天商品銷售量 = 每天商品銷售總利潤。但是，哪個是關(guān)鍵的等量關(guān)系？也就是要使問題得到解決的數(shù)量相等關(guān)系。經(jīng)過學(xué)生的討論，找到關(guān)鍵的等量關(guān)系是：每件商品的銷售利潤×每天商品銷售量 = 每天商品銷售總利潤，把這個實際問題數(shù)學(xué)化，進(jìn)而列出方程，使問題得解。在這里，關(guān)鍵的相等關(guān)系：

每件商品的銷售利潤×每天商品銷售量= 每天商品銷售總利潤。

實際問題數(shù)學(xué)化：（設(shè)每件童裝應(yīng)降價x元）

（100-60-x）（20 + 8×? ?）= 1200。（方程模型）

解得x=10或20，即每件童裝應(yīng)降價10元或20元。

接著向?qū)W生提出是降價10元還是降價20元？很快會有各種各樣的意見出來。但是不管怎樣，降價10元還是降價20元都能使平均每天銷售這種童裝能得到銷售利潤1200元。

這樣，在教學(xué)中不是把各種應(yīng)用題的解法當(dāng)做現(xiàn)成的結(jié)論來教，而是通過探索、研究、尋求具體問題中的相等關(guān)系，把問題的內(nèi)在規(guī)律用數(shù)字、圖表或者公式、符號表示出來，然后經(jīng)過數(shù)學(xué)的處理得到定量的結(jié)果，以供人們分析、預(yù)報、決策或者控制，使學(xué)生逐步學(xué)會把實際問題歸結(jié)為方程模型，感受到方程與實際問題的聯(lián)系，提高解決問題的能力。

（二）樹立不等式模型思想?，F(xiàn)實世界除了數(shù)量的相等關(guān)系，還存在大量的不等關(guān)系。在解決實際問題中，必須分清問題的等量關(guān)系或不等關(guān)系，否則解決不了問題。在涉及數(shù)量的不等關(guān)系的問題中，建立不等式模型能使問題容易得到解決。

例2.某火車站的站臺上有甲種貨物1280噸，乙種貨物990噸，要安排用一列貨車將這批貨物運往廣州。這列貨車可掛A、B兩種不同規(guī)格的車廂50節(jié)。已知甲種貨物30噸和乙種貨物15噸可裝滿一節(jié)A型車廂;甲種貨物20噸和乙種貨物25噸可裝滿一節(jié)B型車廂。按此要求安排A、B兩種車廂的節(jié)數(shù)，有幾種運輸方案？請你設(shè)計出來.

在這個問題的教學(xué)中，我不急于講出是等量關(guān)系或不等關(guān)系，先讓學(xué)生自己來解。有的學(xué)生根據(jù)學(xué)過的知識，認(rèn)為這是一個方程問題。于是列出方程：

30x+20（50-x）=1280，或15x+25（50-x）=990，（A種車廂為x節(jié)，B種車廂為（50-x）節(jié)。）解得=26或28，那么只有兩種運輸方案。

這個答案是對或錯？我提出=27是這個問題的解嗎？經(jīng)過學(xué)生的檢驗，發(fā)現(xiàn)上面的解法是漏了一個方案。為什么出現(xiàn)這種情況？我引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀例題，把“問題情境”翻譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的目標(biāo)與條件的關(guān)系：安排A、B兩種車廂的節(jié)數(shù)來裝甲、乙兩種貨物，而甲、乙兩種貨物數(shù)量分別為1280噸和990噸，不能多于這兩個數(shù)，就可以知道這是不等關(guān)系而不是相等關(guān)系。因為這里有兩個不等關(guān)系：①A、B兩種車廂裝滿甲種貨物不大于1280噸;②A、B兩種車廂裝滿乙種貨物不大于990噸，通過列不等式組求解。設(shè)用A型車廂節(jié)，B型車廂（50-x）節(jié)，得

30x+20（50-x）≤1280

15x+25（50-x）≤990

解得26≤x≤28。因為x為正整數(shù)，所以只能取26、27、28，相應(yīng)（50- ）的值分別為24、23、22，共得3種調(diào)運方案：安排A型車廂26節(jié)，B型車廂24節(jié);安排A型車廂27節(jié)，B型車廂23節(jié);安排A型車廂28節(jié)，B型車廂22節(jié)。

通過分析問題中已知量和未知量的大小關(guān)系，“翻譯”成表示已知數(shù)和未知數(shù)之間的大小關(guān)系的不等式，即得到刻畫實際問題的大小關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生樹立不等式模型思想意識，提高他們運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題的興趣。

（三）樹立函數(shù)模型思想。函數(shù)是初中數(shù)學(xué)一個重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫某些實際問題中變量之間的關(guān)系，解決簡單的實際問題。

例3. 某房地產(chǎn)公司要在荒地ABCDE（如圖1）劃出一塊長方形的地面修建一幢商品樓，已知EA=60m，BC=90m，CD=80m，DE=120m。問如何設(shè)計才能使商品樓地面面積最大，并求最大面積。

這個實際問題是求商品樓地面面積的最大值。

商品樓地面顯長方形，其地面面積最大值受其邊長大小的影響，而邊長的大小受這塊形狀不規(guī)則的荒地的影響。邊長是個變量，因此面積也是一個變量，是邊長的函數(shù)。要把這個問題中變量之間的關(guān)系找出來，才能解決問題。觀察圖形可看到要使所建商品樓的長方形GHID的面積最大，頂點H應(yīng)在線段AB上。我讓學(xué)生計算：

①長方形GHID的頂點H在點A上的面積：

EA·AI=60×120=7200（m2）;

②長方形GHID的頂點H在點B上的面積：

CD·BC=80×90=7200（m2）。

③長方形GHID的頂點H在線段AB（不含A、B兩點）上的面積。這時長方形GHID的邊長HI和GH都是變量，面積是邊長的函數(shù)。把邊長HI和GH用一個變量表示。指導(dǎo)學(xué)生畫出圖2，設(shè)長方形GHID的邊長HI=x，GH=y，利用相似三角形的性質(zhì)可以得到：

=? ? ? ? ? ?，得y=80-? ?（x-90）。

則原問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型：

∴S=xy=-? ? ?x2+140x（90≤x≤120）。

將這二次函數(shù)關(guān)系式配方，得

S=-? ? （x-105）2+7350

所以當(dāng)x=105時，S的最大值為7350，這時可求得y=70。把求得的面積和①、②計算出的面積比較，得當(dāng)HI=105m，GH=70m時，商品樓地面面積最大值為7350m2。

通過分析問題中變量之間的關(guān)系，得到刻畫實際問題中變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生提高探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新能力。由于數(shù)學(xué)與其他學(xué)科聯(lián)系日益密切，涉及到其他學(xué)科的知識和生活知識的變量問題，又如何建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決？

例4.某校科技小組進(jìn)行野外考察，途中遇到一片十幾米寬的爛泥濕地。為了安全、迅速通過這片濕地，他們沿著前進(jìn)路線鋪墊了若干塊木板，構(gòu)筑成一條臨時通道，已知人和木板對濕地地面的壓力合計600N。根據(jù)經(jīng)驗，人和木板對濕地地面的壓強不超過6000Pa可以順利通過，問鋪墊的木板面積至少要多大？

在這個實際問題上，沒有明顯的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，學(xué)生感到束手無策。引導(dǎo)學(xué)生從“壓力”“壓強”等文字聯(lián)想到物理公式：壓強=? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。當(dāng)壓力一定時，壓強與受力面積成反比例。這時學(xué)生認(rèn)識到人和木板對濕地地面的壓強與鋪墊的木板面積是反比例函數(shù)關(guān)系，可建立反比例函數(shù)模型：p=? ? ? （S>0）。由p≤6000Pa，解得S≥0.1m2，即鋪墊的木板面積至少是0.1m2 。

根據(jù)物理知識建立的反比例函數(shù)（下轉(zhuǎn)第39版）（上接第38版）模型，探索了數(shù)學(xué)建模跨學(xué)科的綜合應(yīng)用，拓寬了學(xué)生的視野，豐富了學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，使學(xué)生更好地領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模思想。

（四）樹立平面圖形模型思想。平面圖形是刻畫現(xiàn)實生活的直觀的、形象化的數(shù)學(xué)模型。從現(xiàn)實生活空間中抽象出平面圖形模型，探索圖形的性質(zhì)，能解決一些實際問題，更好地認(rèn)識現(xiàn)實世界，利用圖形的直觀性，使問題簡捷易解。

例5.如圖所示，一只螞蟻在一個母線長為12cm，底面半徑為4cm的圓錐形紙筒的底邊A點出發(fā)，沿側(cè)面爬行一周又回到A點。問這只螞蟻沿哪條路徑爬行最近？你能幫它找出來嗎？

并計算螞蟻爬行的最短路程。

這是一個日常生活的問題，學(xué)生認(rèn)識到螞蟻爬行的最短路徑是直的，是一條線段，但是圓錐的側(cè)面是曲面，只有在平面上才能得到一條直的路徑。引導(dǎo)學(xué)生從這個實際問題中抽象出一個平面圖形，如圖所示。這是圓錐體的側(cè)面展開圖，是一個扇形。這樣，螞蟻爬行的最短路徑清晰明了，線段AC的長便是螞蟻爬行的最短路程。在ΔSAC中，SA=SC，過點S作SD⊥AC于D，則SD平分∠ASC，且平分線段AC。由? ? ? ? ? ?=2π·4，得n=120，

即∠ASC=120°，∠ASD=60°，

AC=2AD=2SA·sin60°=12? 3 cm。所以螞蟻爬行的最短路程為12? 3 cm。

二、學(xué)習(xí)從情境中辨認(rèn)模型，提出模型，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)建模的思想

數(shù)學(xué)模型來自于實際問題的情景，有的實際問題的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律有一定的隱蔽性。對于某些實際問題中變量之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合對函數(shù)關(guān)系的分析，嘗試對變量的變化規(guī)律進(jìn)行初步預(yù)測，確定該問題是屬于哪種函數(shù)模型，使問題得到解決。

例6.某商場在國慶節(jié)其間搞促銷活動，一次性購買T恤的數(shù)量與售價關(guān)系如下表：

T恤的數(shù)量（件） 1 2 3 4 5 6 7

售價（元） 30 58 88 116 145 174 200

問：根據(jù)上表的購買T恤的數(shù)量與售價關(guān)系，若一次性購買10件需要多少元錢？

這是一個商品售價隨著銷售量變化而變化的問題，用函數(shù)關(guān)系來解決。但在這個實際問題中，沒有明顯的屬于哪種函數(shù)關(guān)系，怎樣辯認(rèn)？統(tǒng)計表所給的數(shù)據(jù)看不出一次性購買T恤的數(shù)量與售價關(guān)系的規(guī)律，但是可以通過函數(shù)的圖象來觀察。

于是讓學(xué)生由“件數(shù)”和“售價”的“數(shù)對”，建立直角坐標(biāo)系，描出各點位置，觀察連線接近的函數(shù)圖象，“由數(shù)到形”，再“由形到數(shù)“，用幾個點的坐標(biāo)找出與之相近的模擬函數(shù)。

設(shè)購買T恤的數(shù)量為x件，相應(yīng)的售價為y元，根據(jù)上表作出圖象。

學(xué)生觀察上面圖象，看到表示幾個數(shù)據(jù)的七個點近似地在一條直線上，接近一次函數(shù)的圖象，可用一次函數(shù)關(guān)系式來解決。于是設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b，把（1，30），（5，145）兩點坐標(biāo)代入關(guān)系式，解得k=28.75，b=1.25。由此建立一次函數(shù)模型：y=28.75x+1.25。將x=10代入上式，得y=288.75，即一次性購買10件約需要288.75元。

學(xué)生學(xué)習(xí)和實踐了根據(jù)數(shù)據(jù)擬合出一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，體會到數(shù)學(xué)建模的思想。

三、充分利用教材的活動課題，組織學(xué)生開展課外數(shù)學(xué)活動，從生活中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想

在《標(biāo)準(zhǔn)》的實驗教材中有許多活動課題，這給予我們培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，嘗試用所學(xué)的知識解決問題提供了一個平臺。利用這個平臺，使學(xué)生在生活中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模的思想和方法，提高解決問題的能力。

例7.活動課題：利用直角三角形的邊角關(guān)系測量底部不能到達(dá)的物體高度。

活動課在室外進(jìn)行，要求學(xué)生每人準(zhǔn)備一個簡易測傾器，五人為一組用自做的測傾器測量底部不能直接到達(dá)的學(xué)校實驗樓的高度（樓高五層）。學(xué)生在課堂上已學(xué)習(xí)過測量建筑物高度的方法，在實地測量顯得格外興奮。按照測量的步驟，首先在實驗樓前選兩個測點A、C，用自做的測傾器由兩個測點測得樓頂?shù)难鼋牵倭砍鰷y傾器的高和兩個測點的距離。

要把這個問題的已知量和未知量之間的關(guān)系清晰地表示出來，學(xué)生都認(rèn)識到要畫出圖形，化數(shù)為形。如上圖所示（平面圖形模型）：PF為樓高，AB、CD為測量儀高，AC為兩測點間的距離，由A點測得樓頂?shù)难鼋菫棣?，C點測得的仰角為β。那么如何計算樓的高度？經(jīng)過大家的分析，認(rèn)為在測量過程中，得到的數(shù)據(jù)是固定的，已知量和未知量之間具有相等關(guān)系，利用直角三角形的邊角關(guān)系，可列出方程求解，進(jìn)而得到實驗樓的高度。在測量中還有意外的收獲：有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)如果兩個測點的距離太近，由測傾器測的兩個仰角的度數(shù)幾乎一樣，測量的誤差就很大，而在距離10m以上的測量結(jié)果才較準(zhǔn)確。我立即組織學(xué)生來檢驗，發(fā)現(xiàn)兩個仰角的度數(shù)幾乎一樣時，就有tanα≈tanβ，? ? ? ? ?-? ? ? ? ?≈

0，那就得不到樓的高度。為了使測量準(zhǔn)確性大些，要求學(xué)生取兩個測點的距離不少于20m。收集各小組的測量數(shù)據(jù)的平均值，得到∠α=28°35'，∠β=67°17'，AC=22m，測量儀高1.5m。設(shè)樓高xm，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，得：

22+? ? ? ? ? ? ? ?=? ? ? ? ? ? ? ? 。（方程模型）

由此解得樓高x≈17.03m.

活動結(jié)束后，學(xué)生撰寫活動報告，并且把測量得到的實驗樓高度與該樓實際高度相比較，誤差少于0.5m。通過課外的活動課，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模的全過程，逐步樹立數(shù)學(xué)建模的思想方法，增強了應(yīng)用意識。

由此可見，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，增強應(yīng)用意識，能使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與實際的聯(lián)系，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中認(rèn)識到不僅要重視數(shù)學(xué)內(nèi)容的本身，還要重視這些內(nèi)容所反映的重要的數(shù)學(xué)思想和教育價值。他們不再把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看成一種純粹的習(xí)題訓(xùn)練了，而是在問題解決的全過程中得到學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的實際體驗。通過數(shù)學(xué)建模思想的培養(yǎng)，學(xué)生親身體會到數(shù)學(xué)探索的愉悅，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高了數(shù)學(xué)成績，并且為在高中階段進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模，學(xué)好數(shù)學(xué)知識打下良好基礎(chǔ)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S]，北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019，6.

（責(zé)任編輯：鄭曉玲）