陳霞

【摘要】本文闡述基于APOS理論指導(dǎo)概念教學(xué)的意義，并以人教版數(shù)學(xué)六年級下冊《圓柱的表面積》一課為例，分別從操作階段、程序階段、對象階段、圖示階段對圓柱概念教學(xué)進(jìn)行設(shè)計，并進(jìn)行反思，以更好地建構(gòu)高效課堂，提升學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】APOS理論小學(xué)數(shù)學(xué) 概念教學(xué)圓柱的表面積

【中圖分類號】G【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）41-0120-03

進(jìn)入小學(xué)六年級，師生直面“小升初”的巨大壓力，不僅要完成該學(xué)年的教學(xué)任務(wù)，還需進(jìn)行總復(fù)習(xí)，為初中的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。可以說，該學(xué)年時間緊、任務(wù)重，是教學(xué)過程中非常重要的階段，亟需一套成熟完備的理論用于指導(dǎo)教學(xué)。筆者作為一名小學(xué)數(shù)學(xué)教師，經(jīng)歷多年的教學(xué)實踐，發(fā)現(xiàn)APOS理論能為數(shù)學(xué)概念教學(xué)提供良好的指導(dǎo)。下面，筆者以人教版數(shù)學(xué)六年級下冊《圓柱的表面積》一課為例，論述APOS理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的具體應(yīng)用，并進(jìn)行總結(jié)和反思，為實現(xiàn)高效教學(xué)進(jìn)行積極的探索。

一、運(yùn)用APOS理論指導(dǎo)概念教學(xué)的意義

20世紀(jì)80年代，杜賓斯基等人針對數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，基于構(gòu)建主義提出APOS理論。經(jīng)過歷代數(shù)學(xué)教育工作者的努力探索，當(dāng)前該理論已經(jīng)趨于完善成熟，也越來越多地應(yīng)用于現(xiàn)代課堂教學(xué)指導(dǎo)。APOS理論包含操作（Action）、過程（Process）、對象（Object）、圖式（Schema）4個階段，并認(rèn)為經(jīng)過教師的引導(dǎo)完成操作、過程、對象前3階段，學(xué)生就能對外部刺激做出具體反應(yīng)，然后將具體反應(yīng)轉(zhuǎn)化內(nèi)隱程序而不必局限于具體的運(yùn)算，最終自主反思完成最后階段——“圖式”階段，即自行對具體內(nèi)容的認(rèn)知進(jìn)行抽象概括，將過程轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)概念的內(nèi)化與凝聚，逐步發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)，進(jìn)而形成完備而牢固的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)習(xí)成效。

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的標(biāo)準(zhǔn)與要求，數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)入第二學(xué)段（3~6年級），學(xué)生將逐步接觸立體圖形，開始幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)；此學(xué)段又是培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力的重要時期，同時空間觀念、推理思維也在這個階段開始穩(wěn)步發(fā)展。通過抽象概括訓(xùn)練，學(xué)生對事物的感性認(rèn)識將轉(zhuǎn)為理性認(rèn)識。以圓柱體這一立體圖形為例，其相關(guān)課程包含許多概念性的內(nèi)容，不少教師在教學(xué)中卻因缺乏科學(xué)、有效的理論指導(dǎo)，未能厘清教學(xué)的流程，導(dǎo)致學(xué)生在平面到立體、靜止到運(yùn)動的數(shù)學(xué)抽象過程中走了許多不必要的彎路，在構(gòu)建概念框架時有所缺失。這一缺失直接導(dǎo)致學(xué)生抽象能力發(fā)展欠缺，在學(xué)習(xí)過程中難以抓住數(shù)學(xué)材料（題目）的本質(zhì)屬性，容易受到非本質(zhì)屬性干擾，對概念的掌握不全面、不深刻，最終出現(xiàn)數(shù)學(xué)能力難以提升的局面。六年級處于小學(xué)升初中的關(guān)鍵銜接階段，其教學(xué)應(yīng)具有很強(qiáng)的延續(xù)性，教師需要關(guān)注學(xué)生思維從具象向抽象的轉(zhuǎn)變，在課堂進(jìn)行相應(yīng)的訓(xùn)練。

在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，以APOS理論為指導(dǎo)，既能體現(xiàn)課標(biāo)中“數(shù)學(xué)概念具有對象和過程的兩重性”特點(diǎn)，也能突出課標(biāo)中“以生為本”的教學(xué)理念，符合數(shù)學(xué)課程改革趨勢，有助于構(gòu)建合理的概念教學(xué)體系。以圓柱體的概念為例，按照APOS理論的4個階段，從具體的活動過程到抽象的概念構(gòu)建過程所進(jìn)行的教學(xué)設(shè)計，均符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律與心理發(fā)展特征，有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們體驗從實際生活背景中抽象出數(shù)學(xué)概念、構(gòu)建數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模型的過程，最終達(dá)成提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力、高效銜接小學(xué)與初中教學(xué)的目標(biāo)。

二、APOS理論視角下的圓柱概念教學(xué)設(shè)計

（一）操作階段

根據(jù)APOS理論，在學(xué)習(xí)的開始階段——操作階段，教師要對學(xué)生輸入一定的刺激，引導(dǎo)學(xué)生感知所學(xué)概念。這些刺激可以是數(shù)學(xué)操作、數(shù)學(xué)實驗等，也可以通過多媒體引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動感覺器官，開展回憶、猜想、聯(lián)想、判斷等思維活動。實際的教學(xué)過程，教師可以通過如下步驟依次展開。

1.通過PPT，展示具有長方體、立方體與圓柱體特征的實物圖片，喚醒學(xué)生的生活經(jīng)驗，然后讓學(xué)生說一說，哪些是之前學(xué)習(xí)過的立體圖形（長方體、立方體），哪些是之前沒見過的立體圖形（圓柱體）。

2.消除PPT中的長方體與正方體實物圖片，提示學(xué)生“這種之前沒見過的立體圖形我們稱為‘圓柱體’”，并請學(xué)生嘗試歸納圓柱體的特征是什么，思考它為什么不能與之前學(xué)習(xí)過的長方體、立方體歸為一類。

3.利用多媒體抽象出圓柱體的數(shù)學(xué)圖形，并將圓柱體教具放到講臺上展示，讓學(xué)生說一說生活中還有哪些物體的形狀是圓柱體。

4.出示課本上介紹的教具——一張被黏在木棍上的硬紙，開始高速旋轉(zhuǎn)，向?qū)W生提問：老師手中的物體形狀看起來像什么？

5.教師拿出一罐圓柱形罐頭，將標(biāo)簽紙從側(cè)面垂直剪斷，然后展開，向?qū)W生提問：標(biāo)簽紙展開后是什么形狀？

教師展示生活中常見的事物，讓概念蘊(yùn)含于事物之中，讓教學(xué)內(nèi)容貼近學(xué)生的生活，縮短學(xué)生與教材的距離；在教學(xué)新課程時從學(xué)生已經(jīng)熟悉的長方體、正方體概念入手，有利于學(xué)生做好迎接新概念的心理準(zhǔn)備。當(dāng)學(xué)生能說出圓柱體與長方體、立方體最顯著的不同時，教師再適時引導(dǎo)學(xué)生閱讀課本，使其了解圓柱的“底面”“側(cè)面”“高”等概念。在步驟4中，教師把圓柱體的實物擺放于講臺，啟發(fā)學(xué)生說出更多生活中的圓柱體物體，初步將抽象的概念還原到現(xiàn)實中，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體—抽象—具體的過程，為其此后自行運(yùn)用所掌握的圓柱體概念知識解決實際問題做好準(zhǔn)備。

（二）程序階段

學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)活動的操作階段之后，已對圓柱的形體特征、各部分的名稱、圓柱的展開與合并有一定的了解。因此在APOS的第二階段——程序階段，教師需要讓學(xué)生不斷對活動進(jìn)行反省、重復(fù)，幫助他們從大量的實例中抽象出數(shù)學(xué)概念。在教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合具體實例提出問題讓學(xué)生學(xué)習(xí)、探究，使其認(rèn)識逐漸從感性上升到理性。教師開展程序階段的教學(xué)，可以從5個步驟開展。

1.再度展示包裹圓柱罐頭的標(biāo)簽紙，然后沿著罐體的側(cè)面用細(xì)膠帶粘貼一條垂線，再以這條垂線為起點(diǎn)繞著罐體貼一圈細(xì)膠帶。當(dāng)展開細(xì)膠帶之后，發(fā)現(xiàn)其長度竟然和標(biāo)簽紙的長與寬之和相吻合。

2.循序漸進(jìn)地提問并帶領(lǐng)學(xué)生完成練習(xí)：（1）小明做了一個筆筒，底面直徑是6cm，高為12cm，為了給筆筒的側(cè)面貼上貼紙，他至少需要用多少面積的彩色貼紙？（2）工人師傅要修建一個底面半徑為6m，深3m的露天圓柱形蓄水池，為了防水要在底面和側(cè)面抹上防水涂層，涂抹防水涂層的面積是多少？（3）張阿姨要做一個圓柱形的抱枕，長60cm，底面直徑20cm，一共需要多少平方米的布料？

3.提問并引導(dǎo)學(xué)生反思：要想得出上述問題的結(jié)果，需要知道圓柱體上的哪些數(shù)據(jù)？

在這個階段，學(xué)生的主要任務(wù)是將操作行為“數(shù)學(xué)化”。面對數(shù)道循序漸進(jìn)的練習(xí)題，學(xué)生在解題過程中逐漸明白圓柱體中幾個重要的“指標(biāo)”分別有什么“作用”，也直觀地理解了圓柱體的側(cè)面展開后是長方形，以及其長寬與圓柱體又存在什么關(guān)系。在上述活動中，學(xué)生感悟到圓柱體的表面積就是其底面面積與側(cè)面面積之和。經(jīng)過程序階段的探索，學(xué)生思維中的圓柱體表面積概念逐漸擺脫物體的具體形態(tài)，最終變得抽象而高度概括。

（三）對象階段

經(jīng)歷上述兩個階段，學(xué)生對圓柱體的表面積概念已經(jīng)初具抽象性，但是仍缺乏一個升華的過程。在對象階段，教師應(yīng)該努力幫助學(xué)生體驗從具體操作到概念形成的思維過程，學(xué)習(xí)用符號表示抽象出的相應(yīng)概念，將“程序”凝結(jié)為“對象”，即將多部分組成的內(nèi)容打包為一個靜態(tài)的“對象”。在實際的教學(xué)活動中，教師可依次展開如下操作。

1.借助圓柱形教具，取出上下底面，展開側(cè)面包裹的標(biāo)簽紙，向?qū)W生展示一個圓柱體展開之后分別由什么構(gòu)成。

2.再度出示課本上介紹的教具——一張被黏在木棍上的硬紙，然后握著木棍緩慢旋轉(zhuǎn)，并要求學(xué)生想象紙片是如何通過掃過一個空間形成圓柱體的。

3.借助“幾何畫板”等軟件，展示圓柱體分解為上下兩底的圓形和側(cè)面的長方形的過程，并通過動畫再現(xiàn)步驟2中的矩形是如何掃過空間形成圓柱體的。

4.回歸課本，點(diǎn)明圓柱體的表面積=圓柱體的側(cè)面積+兩個底面的面積，并用等式表示出來。

在本階段，學(xué)生將操作階段、程序階段的過程逐漸抽象化，漸漸拋棄具體的物體形態(tài)而概括出圓柱體的底面直徑、半徑和圓柱體的高等定義，概括出“圓柱體表面積”的概念并加以比較、綜合，明確圓柱體的表面積與上述概念的關(guān)系，將表面積凝結(jié)成一個具體的對象，形成一個內(nèi)涵明晰的概念。

（四）圖式階段

圖式階段是學(xué)生對前面三個階段形成的概念在頭腦中進(jìn)行整合的階段，其能進(jìn)一步固化學(xué)生剛剛形成的概念，并且與其他概念、規(guī)則、圖式建立聯(lián)系，最終在腦中形成綜合的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。在這個階段，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動不能局限于課堂聽講、課后做題，還要開展小組學(xué)習(xí)、研究性學(xué)習(xí)，借此途徑展示學(xué)習(xí)成果、提出新問題等。在這個階段，教師可以依次展開如下教學(xué)步驟。

1.回顧圓柱體的認(rèn)識過程，引導(dǎo)學(xué)生思考是什么特征讓一個圓柱體區(qū)別于其他的立體形狀，又是什么特征讓圓柱體之間互相產(chǎn)生區(qū)別。

2.引導(dǎo)學(xué)生思考圓柱體的表面積計算方法在生活中的應(yīng)用，如計算生產(chǎn)用料、測量相關(guān)物體的裝配面積等。

3.布置課后任務(wù)進(jìn)行拓展練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握圓柱體的相關(guān)概念以及表面積的計算方法。

4.結(jié)合生活實際、具體的生產(chǎn)情況，選擇一些能多角度全方位考查學(xué)生對圓柱體概念掌握情況的題目，鞏固學(xué)生對圓柱體概念的認(rèn)知。

5.歸納總結(jié)學(xué)過的表面積計算方式，引導(dǎo)學(xué)生嘗試歸納總結(jié)表面積計算的數(shù)學(xué)模型，為今后圓錐、球體的表面積學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

圖式階段的學(xué)習(xí)探索，能夠引導(dǎo)學(xué)生把學(xué)習(xí)過的“圓柱體表面積”融入“表面積”概念中，搭建較為完整的知識結(jié)構(gòu)，并能根據(jù)這個結(jié)構(gòu)預(yù)測未來可能遇到的問題，最終在心理圖式中內(nèi)化這個表面積的求解方法。

三、教學(xué)反思

隨著APOS理論的不斷完善，小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)獲得有力的理論支撐。該教學(xué)模式不僅尊重學(xué)生個體數(shù)學(xué)模型概念的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生在構(gòu)建概念的同時搭建知識框架，通過原有概念預(yù)測未來新知，也通過分階段的方式為教師提供步驟明晰、條理清楚的教學(xué)方法。但在APOS理論的實踐過程中，筆者也就一些問題進(jìn)行了反思，并提出相應(yīng)的改進(jìn)策略。

（一）要把控操作階段的時長

學(xué)生在操作階段通過接觸、感悟現(xiàn)實世界，接受外界的刺激而形成概念，這樣的方式直觀而直接。但教師應(yīng)注意，六年級學(xué)生的認(rèn)知水平已經(jīng)達(dá)到一定的高度，心智發(fā)展趨于成熟，思維方式也開始從算數(shù)思維轉(zhuǎn)向代數(shù)思維，從形象思維轉(zhuǎn)向抽象思維，如果教師在具象事物的范疇內(nèi)停留太久，那么容易造成課堂效率低下。此外，該年段的學(xué)生逐步進(jìn)入青春前期，較低年段的學(xué)生而言，他們的課堂紀(jì)律與個人情緒更不好把控。當(dāng)學(xué)生在“操作階段”受過多刺激，其情緒容易過度興奮，注意力與精力也消耗過多，會嚴(yán)重影響他們后續(xù)三個階段的學(xué)習(xí)，最終造成理論概念學(xué)習(xí)流于表面，仍停滯在具象階段，不利于概念內(nèi)化。認(rèn)識圓柱體并計算表面積的教學(xué)安排為1個課時，時間較緊，又面臨小學(xué)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)的壓力，任務(wù)較重，因此教師在教學(xué)時，應(yīng)尊重學(xué)生身心發(fā)展特點(diǎn)，妥當(dāng)把控操作階段的時長，幫助學(xué)生逐步構(gòu)建、內(nèi)化數(shù)學(xué)概念。

（二）要重視教學(xué)的連貫性

APOS理論為教師的實際教學(xué)提供理論抓手，設(shè)立了4個教學(xué)階段。這4個階段應(yīng)循序漸進(jìn)，通過引導(dǎo)學(xué)生逐級反思、抽象，最終得出結(jié)論概念。在這個過程中，教師要認(rèn)識到APOS理論雖然是分層次、分階段的，但是在實際運(yùn)用中，應(yīng)追求“潤物無聲”的理論境界，將4個階段順暢地連貫起來，讓學(xué)生在沒有意識的情況下邁入深層次的思維活動，體會“漸入佳境”之感。筆者觀摩不少以APOS理論為指導(dǎo)的教學(xué)視頻實錄，明顯察覺到部分教師在教學(xué)過程中對兩個環(huán)節(jié)之間的銜接缺乏過渡與安排，亦不考慮學(xué)生的接受程度強(qiáng)行開啟下一階段的學(xué)習(xí)，導(dǎo)致課堂變得支離破碎，學(xué)生學(xué)習(xí)時不免產(chǎn)生疑惑，轉(zhuǎn)而分散注意力，最終影響教學(xué)效率。因此，教師在以APOS理論指導(dǎo)教學(xué)時，應(yīng)充分考慮課堂連貫性，妥當(dāng)選擇例題、過渡方式，讓學(xué)生在連貫的教學(xué)環(huán)節(jié)中逐步實現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)。

（三）要促進(jìn)學(xué)生概念遷移

學(xué)生在學(xué)習(xí)圓柱體前已經(jīng)積累了一定的立體圖形知識，所以在引導(dǎo)其初步接觸圓柱體時，教師可以從學(xué)過的立方體、長方體導(dǎo)入；當(dāng)學(xué)到求表面積的階段，又將其與之前學(xué)的立方體、長方體概念相結(jié)合，逐步推導(dǎo)圓柱體表面積公式，促進(jìn)概念內(nèi)化。當(dāng)完成圓柱體表面積的學(xué)習(xí)之后，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考所學(xué)的知識除了在生活中運(yùn)用，還可以用來求解什么，由此引出圓柱體的底面周長、高等參數(shù)，為圓柱體的體積教學(xué)做充分的鋪墊。此時教師可以順理成章地再度開展APOS教學(xué)，從具體實例入手，開始關(guān)于圓柱體體積概念的學(xué)習(xí)。

筆者認(rèn)為概念的遷移存在縱橫兩個方向，橫向的遷移如表面積的概念，從正方體到長方體再到圓柱甚至是接下來的圓錐，都是表面積概念范疇下不同形式的延伸；而縱向的概念遷移則體現(xiàn)了思維從淺到深、從具象到抽象、從平面到空間的遷移。因此，利用APOS理論指導(dǎo)教學(xué)時，當(dāng)完成了圖式階段之后，教師應(yīng)積極促進(jìn)學(xué)生以這個凝聚為圖式的概念為起點(diǎn)，向更深層次的思考延伸，以高效實現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)。

APOS理論經(jīng)過近四十年的發(fā)展逐漸成熟，為數(shù)學(xué)的教學(xué)提供了一個有力的理論依據(jù)，而通過掌握圓柱概念，學(xué)會求解圓柱體表面積又是學(xué)生在六年級階段思維從具象向抽象過渡、發(fā)展空間思維必不可少的一個環(huán)節(jié)。希望越來越多的數(shù)學(xué)教育工作者能認(rèn)識并發(fā)掘這個理論的價值，以此為理論指導(dǎo)開展教學(xué)實踐，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)提升，幫助學(xué)生思維向更高層次邁進(jìn)。

【作者簡介】陳 霞（1976—），女，廣西北流人，一級教師，現(xiàn)就職于玉林北流市新松小學(xué)，研究方向為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編黃健清）