李成麟，雷旭亮，陸煜明，陶彧敏

（1.北京航天時代激光導(dǎo)航技術(shù)有限責(zé)任公司，北京 100094；2.北京航天控制儀器研究所，北京 100039）

0 引言

慣導(dǎo)作為一種全時空、全方位敏感載體姿態(tài)、速度、位置的精密儀器，其工作環(huán)境往往十分惡劣。以各類戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈為例，其振動可來自于沖壓噴氣發(fā)動機(jī)或固體火箭發(fā)動機(jī)不穩(wěn)定燃燒振動、空氣附面層渦流引發(fā)的導(dǎo)彈蒙皮結(jié)構(gòu)振動、過載與超高速飛行時翼面與操縱面的流動分離渦流引發(fā)的振動，其頻帶跨度為0Hz～2000Hz，振動強(qiáng)度大、隨機(jī)性高。過載段加速度則常在10g量級，最高可至30g量級。

激光捷聯(lián)慣導(dǎo)的動態(tài)誤差源主要包括：

1）慣性器件動態(tài)誤差：在高動態(tài)環(huán)境下，慣性器件內(nèi)部結(jié)構(gòu)的復(fù)雜變化將導(dǎo)致其產(chǎn)生動態(tài)誤差，如激光陀螺諧振腔扭轉(zhuǎn)、加速度計擺片偏移工作位置等造成的零偏誤差、標(biāo)度因數(shù)誤差、非線性誤差等。激光陀螺為全固態(tài)光學(xué)陀螺，本身具有較好的動態(tài)性能，其動態(tài)誤差主要來源于大過載與大角加速度環(huán)境的抖動軸彎曲所導(dǎo)致的敏感軸偏移，0.4″的偏角可顯著產(chǎn)生 0.232（°）/h 的等效零偏［1］；大過載下對加速度計二階項的10-7（g/g2）的標(biāo)定誤差在10g過載下可產(chǎn)生10-5g的等效零偏，兩者對于高精度慣導(dǎo)的影響顯著。

2）慣 性 測 量 單 元 （Inertial Measurement Unit，IMU）結(jié)構(gòu)形變誤差：陀螺儀與加速度計通過螺釘固聯(lián)在本體支架上，其在高動態(tài)環(huán)境下發(fā)生位移，且本體支架本身也會受力變形，從而造成安裝誤差以及加速度計桿臂的變形，工程上通過結(jié)構(gòu)模態(tài)設(shè)計、精密加工裝配和減振來控制該項誤差，機(jī)械結(jié)構(gòu)變化帶來的誤差相比慣性器件本身的誤差較小。

3）導(dǎo)航算法誤差：高動態(tài)環(huán)境下常伴隨著劇烈的圓錐運動與劃槳運動，導(dǎo)致矢量積分產(chǎn)生較大的不可交換性誤差，文獻(xiàn)［2］通過對動態(tài)環(huán)境下的多源動態(tài)誤差仿真分析得出，圓錐運動在160s導(dǎo)航時間內(nèi)帶來的位置誤差在103m量級。經(jīng)典圓錐補(bǔ)償算法與劃槳誤差補(bǔ)償算法可補(bǔ)償大部分不可交換性誤差，理論上四子樣算法即可達(dá)到10-8（°）/h量級的算法漂移精度，但由于算法推導(dǎo)存在近似誤差，在大錐角圓錐運動與大角度機(jī)動的高動態(tài)環(huán)境下這種誤差被放大。

4）減振器誤差：早期的捷聯(lián)慣導(dǎo)采用硬捷聯(lián)，慣導(dǎo)直接固聯(lián)在載體上，導(dǎo)致其受到強(qiáng)烈的低頻運動沖擊和振動影響；而軟捷聯(lián)通過減振器將測量單元與載體隔離，使捷聯(lián)慣導(dǎo)的實際動態(tài)環(huán)境中工作應(yīng)用成為可能。然而，目前的慣導(dǎo)設(shè)計對大過載下與大溫差下的減振器性能變化缺乏考量，大過載下的2.5mm的減振器形變產(chǎn)生的非線性剛度可導(dǎo)致傳遞特性發(fā)生10Hz的固有頻率改變以及0.5dB的幅值改變［3］，而溫度對此的影響更為顯著，其導(dǎo)致的模態(tài)設(shè)計和信號矯正濾波器失效顯著降低了慣導(dǎo)在動態(tài)環(huán)境中的可靠性。

據(jù)此，本文將以機(jī)抖激光陀螺與石英撓性加速度計組合的激光捷聯(lián)慣導(dǎo)為對象，首先在慣性器件方面，重點探討了激光陀螺的抖動軸彎曲的影響與解決措施，以及石英撓性加速度計擺片動態(tài)性能及其帶來的非線性誤差的標(biāo)定；其次在慣導(dǎo)減振器方面，探討了現(xiàn)有的減振系統(tǒng)設(shè)計以及工程上忽略的大位移與溫差對減振器非線性動態(tài)特性的影響；再次，梳理了動態(tài)環(huán)境下導(dǎo)航算法的發(fā)展情況；最后，對激光捷連慣導(dǎo)動態(tài)精度提升技術(shù)未來的研究方向進(jìn)行了展望。

1 慣性器件動態(tài)精度研究

1.1 激光陀螺

機(jī)抖激光陀螺作為基于Sagnac原理的全固態(tài)光學(xué)陀螺，由于不存在活動的機(jī)械轉(zhuǎn)子，相比傳統(tǒng)機(jī)械陀螺在動態(tài)性能上有質(zhì)的提升，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 激光陀螺結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of laser gyroscope

激光陀螺本身具有較好的動態(tài)性能，但機(jī)抖陀螺存在抖動機(jī)構(gòu)，由于陀螺質(zhì)量分布不均、固定件不對稱等因素，動態(tài)環(huán)境下的抖動機(jī)構(gòu)易發(fā)生彎曲變形。如圖2所示，OXYZ坐標(biāo)系為陀螺理想工作坐標(biāo)系。其中，X軸垂直諧振腔閉合光路，Y軸、Z軸分別過陀螺的陽極與陰極。激光陀螺敏感軸是指垂直于閉合光路等效平面的軸，理想時敏感軸位于X軸，當(dāng)抖動軸機(jī)構(gòu)彎曲時，陀螺敏感軸隨之偏移至X′軸，進(jìn)而耦合到非敏感方向的角速度，形成測量誤差。

圖2中，γ即為敏感軸偏移角，可由下式定義

圖2 抖動機(jī)構(gòu)彎曲示意圖Fig.2 Schematic diagram of dither mechanism bending

式（1）中，βf為與抖動軸彎曲剛度相關(guān)的抗彎系數(shù)，ainput為輸入加速度，其方向與陀螺抖動軸垂直。

機(jī)抖陀螺抖動機(jī)構(gòu)彎曲主要由過載造成，由于抖動機(jī)構(gòu)剛度有限，激光陀螺敏感軸垂直方向上的過載加速度可直接造成抖動軸彎曲。振動方面，由文獻(xiàn)［4］對某型號陀螺的模態(tài)分析可知，如表1所示，其除一階振型為繞敏感軸X的周期性往復(fù)扭轉(zhuǎn)抖動外，其余振型均可造成抖動機(jī)構(gòu)彎曲變形，工程上通過減振器對高頻衰減從而避免了激光陀螺的高階振型。

表1 某陀螺模態(tài)分析振型Table 1 Modal analysis of a gyroscope

應(yīng)對抖動機(jī)構(gòu)彎曲變形帶來的敏感軸偏移問題，可通過以下兩個角度：

1）提高抖動機(jī)構(gòu)抗彎系數(shù)βf： 于旭東等［5］通過對支柱高度、底面厚度和約束位置的優(yōu)化提高了抖動機(jī)構(gòu)的抗彎強(qiáng)度，但其結(jié)構(gòu)設(shè)計帶來了體積和質(zhì)量上的增加，不利于慣性器件的小型化與輕量化設(shè)計要求。趙小寧等［1］設(shè)計了一種新型四輻條抖動偏頻機(jī)構(gòu)，使陀螺的抗振性能提高了4倍多。文獻(xiàn)［4］設(shè)計了一種雙側(cè)固定結(jié)構(gòu)，同時用上下底板固定抖動機(jī)構(gòu)，如圖3所示，有效減小了陀螺振前與振中的輸出均值差距。

圖3 雙側(cè)固定結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Schematic diagram of bilateral fixed structure

2）敏感軸偏移的建模與補(bǔ)償：Kim等［6］理論上推導(dǎo)了高動態(tài)情況下激光陀螺敏感軸偏移所造成的漂移，但未進(jìn)行補(bǔ)償驗證。王林等［7］在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)建立了陀螺敏感軸動態(tài)偏移誤差模型，得出了敏感軸偏移造成的附加陀螺漂移與加速度、角速度的耦合關(guān)系，如式（2）所示，并通過線振動后的姿態(tài)誤差角Ф為觀測進(jìn)行辨識，實驗驗證了補(bǔ)償后慣導(dǎo)10min線振動的速度誤差減少30%以上。與提高抗彎系數(shù)βf相比，標(biāo)定補(bǔ)償?shù)乃悸穼λ俣日`差的補(bǔ)償效果更顯著，且由于作者在此處采用了工程簡化的物理模型與對量測參考意義不做區(qū)分的最小二乘估計，隨著物理模型與估計方法的改善，補(bǔ)償精度可進(jìn)一步提升。

1.2 石英撓性加速度計

石英撓性加速度計由加速度計表頭和外圍電路組成，包括撓性擺片、傳感器（通常采用差動電容）、力矩器、伺服校正檢測電路等，其結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 石英撓性加速度計結(jié)構(gòu)Fig.4 Structure of quartz flexible accelerometer

石英撓性加速度計動態(tài)誤差形成機(jī)理為沖擊、振動或過載造成的擺片偏移、扭轉(zhuǎn)，如圖5所示。其中，圖5（a）為正常擺片理想工作狀態(tài)。在圖5（b）中的狀態(tài)下，擺片離開平衡位置造成差動電容檢測非線性與力矩器控制非線性，以前者為例，若擺片具有微小位移Δx，則差動電容ΔC滿足式（3）。可見，當(dāng)Δx?d0的條件失效時，差動電容檢測具有不可忽視的非線性，擺片偏轉(zhuǎn)偏離平衡位置（圖 5（b））和擺片扭轉(zhuǎn)（圖 5（c））狀態(tài)均可造成擺片耦合到非敏感軸的加速度。

式（3）中，ΔC為差動電容，Δx為擺片位移，ε為介電常數(shù)，A為電容極板面積。

圖5 擺片工作狀態(tài)示意圖Fig.5 Schematic diagram of pendulum operating state

解決石英撓性加速度計動態(tài)誤差，一方面可通過制造與設(shè)計控制提高擺片的工作性能，即對上述非線性的誤差系數(shù)的控制，目前我國對這方面研究較少，僅停留在機(jī)理層面上；另一方面可通過對完整模型的非線性誤差系數(shù)標(biāo)定實現(xiàn)并補(bǔ)償。

（1）擺片動態(tài)性能機(jī)理研究

魏淵等［8］推導(dǎo)了振動環(huán)境擺片擺偏角的數(shù)學(xué)模型，仿真出擺組件質(zhì)量m、撓性擺有效長度L、阻尼系數(shù)c、剛度k、傳感器系數(shù)Kp、伺服校正網(wǎng)絡(luò)Gc、力矩器系數(shù)Kt等參數(shù)對擺偏角α的幅頻特性變化規(guī)律。肖聽雨等［9］利用有限元法對擺片的形變、應(yīng)力、固有頻率、彎曲剛度進(jìn)行了仿真，并得出其與撓性梁厚度的變化關(guān)系。王永建等［10］進(jìn)行了表頭在垂直敏感軸方向加速度下的穩(wěn)定性實驗研究，王春愛等［11］仿真了擺片的各階固有頻率和振型。范達(dá)等［12］對擺片偏離平衡位置所造成的差動電容檢測非線性進(jìn)行了補(bǔ)償，提出了一種利用反函數(shù)將系統(tǒng)線性化后再進(jìn)行校正網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的控制方法，使擺片在Δx?d0條件失效的情況下仍舊與ΔC呈線性關(guān)系。

（2）非線性誤差系數(shù)標(biāo)定補(bǔ)償

針對加速度計動態(tài)誤差形成機(jī)理，GJB 1037A?2004對擺式伺服線加速度計的完整輸出模型給出了定義［13］

式（4）中，U為加速度計輸出脈沖，ai、ao、ap分別為加速度計IA軸、OA軸、PA軸的加速度輸入，K0為零偏誤差，K1為標(biāo)度因數(shù)，Ko、Kp為交叉軸敏感度，Kio、Kop、Kpi為交叉耦合系數(shù)，K2、K3為二階、三階系數(shù)，ε為殘余誤差。

對式（4）中的K2、K3、Ko、Kp、Kio、Kop、Kpi進(jìn)行標(biāo)定補(bǔ)償，可從單表級標(biāo)定與系統(tǒng)級標(biāo)定兩個角度展開。

1）單表級標(biāo)定：重力場標(biāo)定通常是通過在轉(zhuǎn)臺或分度頭上的多位置翻滾實驗來標(biāo)定加速度計的，但由于重力場只能提供±1g的加速度激勵，其標(biāo)定的非線性誤差在高g環(huán)境下往往不再準(zhǔn)確，因此需要借助火箭橇、線振動臺、離心機(jī)進(jìn)行過載環(huán)境標(biāo)定。

文獻(xiàn)［13］、文獻(xiàn)［14］給出了加速度計在線振動臺上的非線性系數(shù)標(biāo)定方法，但線振動臺加速度精度與位置精度不可靠，標(biāo)定效果差，火箭橇成本昂貴，故基于精密離心機(jī)的標(biāo)定應(yīng)用最為廣泛。

蘇寶庫等［15］研究了加速度計在單軸精密離心機(jī)上的非線性標(biāo)定方法，并針對實際量測噪聲給出了優(yōu)化設(shè)計方案。精密離心機(jī)誤差對標(biāo)定精度至關(guān)重要，王世明等［16］計算出了單軸離心機(jī)誤差與加速度計模型系數(shù)之間的精度影響關(guān)系，并通過線性變換補(bǔ)償離心機(jī)靜態(tài)與動態(tài)誤差，得到離心機(jī)的精確比力輸入，并給出了單軸離心機(jī)上的10位置標(biāo)定方法，如圖6所示。

圖6 精密離心機(jī)10位置標(biāo)定示意圖Fig.6 Schematic diagram of 10 positions calibration by precision centrifuge

雙軸離心機(jī)為帶反轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的離心機(jī)，其反轉(zhuǎn)軸提供與主轉(zhuǎn)軸大小相同的反向角速率輸出，其結(jié)構(gòu)如圖7所示。雙軸離心機(jī)的特點為：固定在反轉(zhuǎn)平臺上的各點加速度輸入均為諧波形式，反轉(zhuǎn)平臺上的角速率相對地球轉(zhuǎn)速很小。相比于單軸離心機(jī)的優(yōu)勢在于：使用振動整流法消除了加速度計安裝誤差對標(biāo)定的影響，由反轉(zhuǎn)軸消除了主軸轉(zhuǎn)動引入的牽連旋轉(zhuǎn)運動，且整個標(biāo)定僅需安裝一次。

圖7 雙軸精密離心機(jī)結(jié)構(gòu)Fig.7 Structure of double axis precision centrifuge

魯金瑞等［17］基于雙軸離心機(jī)精確計算了加速度計三個軸上的輸入比力，經(jīng)過主軸和反轉(zhuǎn)軸正反角位置靜態(tài)實驗以及主軸與反轉(zhuǎn)軸以等值反向的勻角速率轉(zhuǎn)動的動態(tài)實驗，推導(dǎo)了雙軸離心機(jī)誤差與加速度計模型系數(shù)之間的精度影響關(guān)系，通過振動整流法精確標(biāo)定了非線性誤差系數(shù)。孫闖等［18］在此基礎(chǔ)上增加了轉(zhuǎn)速實驗，其K2、K3項的標(biāo)定精度可以達(dá)到10-5。

2）系統(tǒng)級標(biāo)定：以慣導(dǎo)為測試對象，以導(dǎo)航姿態(tài)、速度、位置輸出為觀測估計慣性器件誤差系數(shù)。

于海龍［19］設(shè)計了一種33維的Kalman濾波系統(tǒng)級標(biāo)定方法，在常用慣導(dǎo)誤差參數(shù)系統(tǒng)級標(biāo)定的基礎(chǔ)上，在估計模型中添加了加速度計二次項誤差系數(shù)K2x、K2y、K2z， 通過18次旋轉(zhuǎn)的位置編排激勵標(biāo)定了各項誤差，仿真驗證了二次項的標(biāo)定精度優(yōu)于10-6（g/g2），但受制于標(biāo)定環(huán)境為1g，其標(biāo)定結(jié)果在高g環(huán)境下的可靠性有待驗證。

唐江河等［20］針對系統(tǒng)級標(biāo)定1g環(huán)境激勵不足以及單表級標(biāo)定高度依賴離心機(jī)精度的問題，在平臺慣導(dǎo)上設(shè)計了利用速度和位置誤差積分作為觀測的Kalman濾波方法，以低精度離心機(jī)加速度作為激勵，估計了加速度計二次項，補(bǔ)償后的速度、位置誤差可減小到補(bǔ)償前的25%，其濾波估計思路可借鑒到捷聯(lián)慣導(dǎo)。

總體來看，加速度計單表級非線性標(biāo)定略為成熟，離心機(jī)誤差修正、噪聲處理、誤差辨識方法更為完善，而系統(tǒng)級標(biāo)定存在激勵不足、標(biāo)定局限在K2項上的問題，但二者均存在標(biāo)定精度無法確定的問題。

2 減振系統(tǒng)動態(tài)性能研究

IMU通過減振器與箱體連接，減振器通過其彈性與阻尼特性吸收釋放能量來削弱載體的沖擊振動，保護(hù)慣性器件不被沖擊振動損壞，并提供優(yōu)良的工作環(huán)境以保證慣性器件的測量精度。一種常用的慣導(dǎo)減振器如圖8所示，通常由金屬支座、金屬內(nèi)套和橡膠組成。因橡膠易硫化，具有阻尼大、體積小、質(zhì)量小和各向剛度同性的優(yōu)點，且易通過改變橡膠截面尺寸和膠料硬度獲得不同的剛度，是慣導(dǎo)減振器最常用的材料。

圖8 一種常用的慣導(dǎo)減振器Fig.8 Diagram of a common inertial navigation shock absorber

減振器除隔絕外界惡劣振動環(huán)境外，還需要做到：1）衰減機(jī)抖激光陀螺的諧振運動：機(jī)抖激光陀螺諧振頻率常在300Hz～800Hz，并采用低通濾波器實現(xiàn)解抖，其截止頻率fc需低于最低的抖頻，此時若減振器對IMU對高于fc頻率的運動衰減不足，將造成陀螺丟失IMU真實運動信號，對其產(chǎn)生的圓錐與劃槳誤差也無法補(bǔ)償；2）減振器各階諧振頻點應(yīng)避開慣性器件工作頻率以保證其工作精度。

2.1 減振器線性建模分析

目前，我國基于線性建模分析的減振器研究與工程應(yīng)用較為成熟。線性建模分析視減振器彈性恢復(fù)力為線性模型，如式（5）所示，又因IMU臺體剛度遠(yuǎn)大于減振器剛度，視IMU為具有六自由度的剛體。在不考慮阻尼影響與小位移假設(shè)的條件下對模型進(jìn)行簡化，圖9即為一種八點減振的簡化模型。

式（5）中，F(xiàn)為減振器彈性力，k為減振器剛度，Δl為彈性位移量。

圖9 八點減振簡化模型示意圖Fig.9 Schematic diagram of simplified eight points damping model

基于對動力學(xué)微分方程的推導(dǎo)、求解、仿真與振動沖擊實驗，學(xué)者們在以下角度展開了充分的研究：減振器的布局方案優(yōu)化［21?22］、振動耦合機(jī)理與解耦［23?25］、 線角振動固有頻率分析［26］、 減振器與箱體結(jié)構(gòu)參數(shù)對慣導(dǎo)精度影響［27］等，圖10即為工程中常用的減振器布局?？傮w來看，基于線性建模分析的減振器設(shè)計能基本滿足各類慣導(dǎo)在靜態(tài)和低動態(tài)環(huán)境下的工作要要求。

圖10 工程中常用的減振器布局Fig.10 Layout of shock absorbers commonly used in engineering

2.2 減振器非線性建模分析

（1）動態(tài)剛度非線性

動態(tài)剛度非線性是指：慣導(dǎo)在實際高動態(tài)環(huán)境中所受外界激勵幅值大，減振器變形不再滿足線性分析時的小位移假設(shè)，此時減振器的剛度是高度非線性的，即具有漸軟或漸硬特性。文獻(xiàn)［28］用有限元對單個減振器施加力載荷，發(fā)現(xiàn)其剛度隨位移的增加而增加，即具有漸硬特性，如圖11所示；文獻(xiàn)［3］則把慣組通過減振器連接在振動平臺上，并發(fā)現(xiàn)隨著正弦激勵振幅的增加，系統(tǒng)傳遞特性的峰值頻率減小，說明其剛度隨之減小，即減振器具有漸軟特性，如圖12所示。由此可見，慣導(dǎo)在實際高動態(tài)環(huán)境中工作時，小位移假設(shè)失效，按照線彈性假設(shè)設(shè)計的減振系統(tǒng)不再具有可靠性。

圖11 減振器剛度位移圖Fig.11 Stiffness displacement diagram of shock absorber

圖12 慣導(dǎo)傳遞特性圖Fig.12 Diagram of inertial navigation transfer characteristic

有學(xué)者針對單一橡膠減振器的非線性展開研究，王丹等［28］根據(jù)實驗得到的減振器恢復(fù)力?位移遲滯曲線研究了頻率、動態(tài)位移幅值對橡膠減振器的動剛度的影響規(guī)律，并通過最小二乘法對非線性恢復(fù)力模型進(jìn)行了參數(shù)辨識；孫偉等［29］提出了減振器的非線性動力學(xué)模型及求解方法，仿真計算了減振器的動態(tài)響應(yīng)；張鵬飛等［30］則基于奇異值分解的復(fù)解析小波脊線提取方法標(biāo)定了減振器的非線性模型，該方法能有效減少噪聲的影響。

雖然標(biāo)定方法各異，但其擬合得到與實驗驗證的減振器彈性恢復(fù)力模型統(tǒng)一，即由線性彈性力、三次非線性彈性力以及一次黏性阻尼力組成

式（6）中，F(xiàn)為減振器彈性力，k1、k3、c為待識別的剛度和阻尼系數(shù)，Δl為減振器形變（位移量）。

基于式（6）的減振器非線性模型，學(xué)者們對慣組整體進(jìn)行了非線性建模分析研究。商霖等［3］建立起慣組的非線性動力學(xué)模型，求解出系統(tǒng)的非線性頻響函數(shù)和傳遞特性，并通過掃頻實驗驗證了非線性模型的準(zhǔn)確性。付瑋等［31］推導(dǎo)了在基礎(chǔ)激勵下的慣組非線性運動微分方程，并發(fā)現(xiàn)在單自由度實驗下可實現(xiàn)解耦的減振系統(tǒng)，在多自由度工況下由于顯著激發(fā)了減振器非線性的漸軟特性而發(fā)生了多自由度的耦合。

（2）溫度剛度非線性

溫度剛度非線性是指：減振器在溫度變化時，橡膠材料的鏈段運動變化導(dǎo)致橡膠材料模量改變，減振器剛度隨之發(fā)生非線性變化，并導(dǎo)致減振器系統(tǒng)諧振頻率與放大倍數(shù)的改變。

為研究高低溫環(huán)境下減振器的動態(tài)性能變化，往往需要在溫度振動綜合實驗箱中進(jìn)行復(fù)雜實驗，因此學(xué)者們考慮研究溫度與振動特性的規(guī)律。低溫方面，郭瑞毅等［32］將壓剪混合型減振器安裝在測試工裝上，并將工裝安裝在振動臺上，在不同的低溫下輸入正弦激勵并記錄振器的諧振頻率與放大倍數(shù)，如圖13所示?？梢?，減振器諧振頻率在100℃的溫差范圍內(nèi)變化高達(dá)70Hz，其擬合的減振器諧振頻率模型如式（7）所示，對三種邵氏硬度不同、結(jié)構(gòu)不同的減振器進(jìn)行擬合，并通過-45℃的實驗驗證了模型擬合誤差均在5%以內(nèi)。高溫方面，王豐等［33］對幾種T型減振器做了溫度研究，由圖14可知，諧振頻率在80℃的溫差范圍內(nèi)變化了20Hz，其擬合出的模型如式（8）所示，其與溫度為二次關(guān)系，實驗也驗證出了模型擬合誤差可控制在5%以內(nèi)。郭瑞毅等［34］以類似思路研究了壓剪混合型硅橡膠減振器的振動沖擊性能與溫度的關(guān)系，研究可知，結(jié)構(gòu)相同的減振器擬合模型相似，擬合效果較好，通過擬合結(jié)論設(shè)計減振器可節(jié)省大量實驗時間。

式（7）、 式（8）中，ft1為減振器溫度t下的一階諧振頻率，f1為與溫度無關(guān)的頻率常量，a、b、η、β為與減振器結(jié)構(gòu)和橡膠性質(zhì)有關(guān)的溫度敏感系數(shù)。

圖13 低溫諧振頻率與放大倍數(shù)的規(guī)律Fig.13 Law of low temperature resonant frequency and magnification

圖14 高溫諧振頻率與放大倍數(shù)的規(guī)律Fig.14 Law of high temperature resonant frequency and magnification

總體來看，目前我國工程上依舊采用線性假設(shè)下的減振系統(tǒng)設(shè)計，相關(guān)的研究也較少，無論是諧振頻點改變而產(chǎn)生共振破壞IMU或慣性器件，或是振動耦合帶來的嚴(yán)重圓錐運動與劃槳運動，都嚴(yán)重降低了慣導(dǎo)的動態(tài)可靠性。

3 導(dǎo)航算法動態(tài)精度研究

捷聯(lián)慣導(dǎo)導(dǎo)航算法在高動態(tài)環(huán)境下的解算誤差主要來自于姿態(tài)算法與速度算法。圓錐運動是指：載體的兩個相互垂直的輸入軸有同頻但不同相位的正弦角振動時，與它們垂直的第三軸會產(chǎn)生圓錐運動，并具有常值角速度，如圖15所示，其中的α即為半錐角；劃槳運動是指：載體的兩個相互垂直的輸入軸有同相角振動和線振動時，其第三軸就會產(chǎn)生劃槳運動，并具有常值速度。圓錐運動與劃槳運動最大程度地激發(fā)了矢量積分的不可交換性誤差，因此成為驗證算法性能的典型運動。在慣性器件輸出均為增量時，劃槳誤差補(bǔ)償算法與圓錐誤差補(bǔ)償算法具有對偶性［35］，劃槳補(bǔ)償可直接套用圓錐補(bǔ)償?shù)南禂?shù)，因此本文僅討論姿態(tài)算法。

圖15 圓錐運動示意圖Fig.15 Schematic diagram of coning motion

為解決姿態(tài)算法在對角增量矢量離散積分時產(chǎn)生的不可交換性誤差，Bortz［36］于1971年提出的等效旋轉(zhuǎn)矢量法可有效解決不可交換性誤差，Bortz微分方程如式（9）所示。 1983 年，Miller［37］給出了三子樣最優(yōu)性能圓錐算法。主流的等效旋轉(zhuǎn)矢量多子樣算法將式（9）等號右端第二項的Φ近似為角增量，如式（10）所示，并視式（9）右端第三項為Φ的二階小量直接忽略，按式（11）求解Bortz方程。該方法在一個積分周期內(nèi)對角增量多次采樣計算等效旋轉(zhuǎn)矢量，再由等效旋轉(zhuǎn)矢量計算姿態(tài)更新四元數(shù)，其過程如圖16所示。

式（9）～式（11）中，Φ為等效旋轉(zhuǎn)矢量，ω為載體相對于導(dǎo)航系的角速度，Δθ為一個積分周期內(nèi)角增量。

圖16 等效旋轉(zhuǎn)矢量算法示意圖Fig.16 Schematic diagram of equivalent rotation vector algorithm

提升算法精度有以下三種途徑：

（1）提高算法子樣數(shù)

繼Miller三子樣算法，很多學(xué)者通過增加算法子樣數(shù)N來增加角速度擬合階次［38］，補(bǔ)償殘余誤差如式（12）所示。由此可知，理論上靜態(tài)環(huán)境下子樣數(shù)N越高，圓錐誤差補(bǔ)償精度也就越高。然而，多子樣算法的推導(dǎo)是基于半錐角α為小角的假設(shè)，高動態(tài)下的大錐角錐運動或大角度機(jī)動時，α不再是可忽略的小角。嚴(yán)恭敏等［39］推導(dǎo)了α半錐角產(chǎn)生影響時的殘余誤差，如式（13）所示，通過計算發(fā)現(xiàn)：當(dāng)α僅為0.1°時，N高于4時算法精度就受限于α，子樣數(shù)增加不但不能提高精度，反而會因姿態(tài)更新頻率降低而精度更差。

式（12）、 式（13）中，N為子樣數(shù)，α為半錐角，λN＝ΩT，Ω為錐動周期，T為積分周期。

（2）多項式迭代求解

相比提高算法子樣數(shù)的直接求解，通過數(shù)值法求解Bortz方程可從原理上避開近似誤差。嚴(yán)恭敏等［40］則通過多項式迭代對Bortz微分方程進(jìn)行數(shù)值求解，迭代收斂快且計算負(fù)擔(dān)沒有增加。在此基礎(chǔ)上，劉錫祥等［41］通過增加圓錐約束提高了擬合階次。文獻(xiàn)［42］、文獻(xiàn)［43］也通過多項式迭代法求解，區(qū)別為其分別使用四元數(shù)微分方程和羅德里格參數(shù)微分方程作為數(shù)學(xué)工具。尹劍等［44］提出了單次、多次利用前周期采樣信號，在沒有犧牲姿態(tài)更新頻率的基礎(chǔ)上增加了擬合階數(shù)。

（3）補(bǔ)償三重叉積

王茂松等［45?46］考慮了補(bǔ)償 Bortz 微分方程的三重叉積項， 即式（9）等號右端的Φ×（Φ× ω）項來提高補(bǔ)償精度，增加了角增量的三階和四階叉乘項并推導(dǎo)了其補(bǔ)償系數(shù)，因推導(dǎo)過程復(fù)雜，故難以拓展到五階。

總體來看，慣性器件與減振系統(tǒng)在控制動態(tài)誤差中占據(jù)主導(dǎo)地位，目前慣性器件在動態(tài)環(huán)境下的誤差仍高于算法精度的（數(shù)量級上），而只有高精度的數(shù)據(jù)源才能發(fā)揮高精度算法的優(yōu)勢。

4 總結(jié)與展望

激光捷聯(lián)慣導(dǎo)為高精度的復(fù)雜系統(tǒng)，其內(nèi)部的慣性器件、機(jī)械結(jié)構(gòu)、轉(zhuǎn)動機(jī)構(gòu)、減振器、密封、軟件電路等均可受高動態(tài)環(huán)境影響，提高其動態(tài)精度需要多學(xué)科交叉、長周期、高成本的研究投入。未來我國慣導(dǎo)的高動態(tài)研究除文中提到的關(guān)鍵問題外，也可考慮以下思路：

1）慣導(dǎo)溫控：我國目前針對加速度計與激光陀螺的溫補(bǔ)研究成熟，已在激光捷聯(lián)慣導(dǎo)中廣泛應(yīng)用，由于減振器并非是測量器件，無信號輸出，不能應(yīng)用相同的溫補(bǔ)思路，因此考慮對慣導(dǎo)內(nèi)部進(jìn)行溫控，可極大提升慣導(dǎo)在極寒地區(qū)與高溫環(huán)境下的動態(tài)可靠性。

2）頻域?qū)Ш剑侯l域?qū)Ш剿惴ㄍㄟ^將角增量與速度增量轉(zhuǎn)換到頻域結(jié)算，在補(bǔ)償不可交換性誤差方面優(yōu)于時域算法，其缺點為計算量大、實時性較差，隨著芯片計算速度的不斷提升，頻域?qū)Ш匠蔀榱丝赡?。劉鑫宇等?7］給出了頻率解算的一般方法，并驗證了頻域?qū)Ш皆?00s內(nèi)的姿態(tài)誤差優(yōu)于時域算法1個數(shù)量級。

3）研究機(jī)抖陀螺抖動影響：受制于加工精度，實際激光陀螺的抖動軸與敏感軸無法重合，導(dǎo)致機(jī)抖陀螺在繞抖動軸微幅往復(fù)抖動時，敏感軸繞抖動軸做微幅錐動，這種錐動帶來的誤差在陀螺諧振腔因過載或振動而發(fā)生變形時被放大。

4）研究激光陀螺角加速度影響：包括文獻(xiàn)［7］在內(nèi)對激光陀螺敏感軸動態(tài)偏移進(jìn)行分析時，僅考慮了慣性力的影響，由于實際慣導(dǎo)工作環(huán)境存在復(fù)雜的角振動，本體的配平誤差與減振器不對稱導(dǎo)致的振動耦合也將導(dǎo)致劇烈的角振動，在動力學(xué)分析時考慮角加速度的影響很有必要。