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基于虛擬孔徑擴(kuò)展的稀疏嵌套陣設(shè)計(jì)

2021-02-22 01:01閆肅
關(guān)鍵詞:嵌套三段式表達(dá)式

閆肅

(北京理工大學(xué) 信息與電子學(xué)院,北京 100081)

近年來稀疏陣列因其在減少陣元和增加自由度方面的優(yōu)勢(shì)而備受關(guān)注[1-2]. 通過對(duì)接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣矢量化,能生成一個(gè)等效的差分共陣(difference co-array,DCA),其自由度(degree of freedom,DOF)從O(N)增大到O(N2)[1]. 在虛擬陣列上使用子空間方法[2]或壓縮感知方法[2],可以檢測(cè)到空間中的更多信源,獲得更高的空間分辨率. 基于該方法,許多稀疏結(jié)構(gòu)[1-6]及應(yīng)用[7-10]相繼被提出,其中最著名的是嵌套陣[1]和互質(zhì)陣[2-3].

基于子陣的陣元間距和陣元數(shù)的互質(zhì)性,提出的互質(zhì)陣列[2-3],被用來避免空間混疊,降低陣元間耦合,其自由度沒有明顯提升. 嵌套陣列(nested array,NA)[1]由N1+1個(gè)位于Sd={l|l∈[1,N1+1]}且陣元間距為1個(gè)單位的密集陣元,與N2個(gè)位于Ss={(N1+1)l|l∈[2,N2+1]}且相鄰陣元間距為N1+1個(gè)單位的稀疏陣元組成. 其任意兩陣元的位置差可以產(chǎn)生任意非負(fù)整數(shù)v=v1(N1+1)+v2,其中v1∈[0,N2],v2∈[0,N1]. 因此,其DCA連續(xù)長(zhǎng)度為N2(N1+1)+N1. 由于受到其無孔特性的限制,如果不擴(kuò)展物理孔徑,嵌套陣將無法獲得更高自由度. 為解決這個(gè)問題,文獻(xiàn)[7]提出的ANAI結(jié)構(gòu),將密集子陣分為兩個(gè)子陣R11和R12(R11∪R12=Sd),并把R12移到稀疏子陣的右側(cè). 因此,在[0,N2(N1+1)+N1]范圍內(nèi)的虛擬陣元仍然是連續(xù)的. 此外,由v=N2(N1+1)+v2(其中v2∈R11⊕R12)產(chǎn)生的額外虛擬段會(huì)使自由度增加. (符號(hào)⊕代表兩個(gè)子陣的直和. )基于ANAI概念,進(jìn)一步提出了改進(jìn)的嵌套陣列(improved nested array,INA)[9]和ANAI-2[5]. 本文將這種中間具有稀疏均勻線陣(uniform linear array,ULA)且兩側(cè)具有兩個(gè)稀疏非均勻線陣的嵌套陣列,稱為三段式嵌套陣(3-segment nested arrays,3sNA). 此結(jié)構(gòu)能有效地增大DOF. 但由于R11和R12中的最大元素不大于N1,其最大自由度不會(huì)超過(N1+1)N2+2N1-1. 為突破這一限制,需要放寬R11∪R12=Sd這個(gè)條件.

本文根據(jù)v=v1(N1+1)+v2=(v1-1)(N1+1)+(N1+1+v2)這種變形表示,提出了通過減少中間子陣傳感器數(shù)目和擴(kuò)大N1+1單側(cè)子陣陣元間距來生成非負(fù)整數(shù)v,構(gòu)造分布更加稀疏的嵌套陣列方法. 基于該方法,本文進(jìn)一步提出一種新型稀疏結(jié)構(gòu)——單側(cè)稀疏嵌套陣(one-side sparse nested array,OS-SNA). 與最大陣元間距約束(maximum inter-element spacing constraint,MISC)[10]結(jié)構(gòu)不同的是,OS-SNA的N1既可以是奇數(shù)也可以是偶數(shù). 并且提供了更高的DOF和完整的結(jié)構(gòu)解析表示.

1 差分共陣概念

(1)

(2)

DS=S-S={Δp=pi-pj|?pi∈S,?pj∈S}

在{Δp|Δp∈[-Lu,Lu]}處提取等效的ULA,其中Lu為自由度,并且在z中平滑相應(yīng)的行,可獲得虛擬單快拍

(3)

2 稀疏嵌套陣策略及OS-SNA結(jié)構(gòu)

2.1 稀疏嵌套陣策略

定義一個(gè)整數(shù)ξ和集合A的加法:ξ±A={ξ±a|ξ∈Z,a∈A}. 為了后續(xù)研究方便,本文用相對(duì)位置代替物理位置表示稀疏陣.

定義1相對(duì)位置(relative position,RP) 對(duì)于中心子陣有N2個(gè)元素位于(N1+1)l,l∈[2,N2+1]的三段式嵌套陣,相對(duì)位置定義為

(4)

式中物理傳感器的位置為S,其相對(duì)位置可以表示為{l,l∈S}.

注意0∈R11且0∈R12. 根據(jù)相對(duì)位置表達(dá)式,可以通過S={N1+1-r|r∈R11}∪{(N1+1)r|r∈[2,N2]}∪{(N1+1)(N2+1)+r|r∈R12}獲得相應(yīng)的傳感器物理位置. 如圖1所示,在一個(gè)N1=5,N2=3的ANAI-2結(jié)構(gòu)中,物理傳感器位于S={1,2,4,6,12,18,24,25,27},其相對(duì)位置為R11={0,2,4,5},R2={6,12,18},R12={0,1,3}.

(5)

圖1 N1=5和N2=3的ANAI-2結(jié)構(gòu)的虛擬段和RP表示Fig.1 The RP representation and the virtual lags generation of ANAI-2 with N1=5 and N2=3

為了突破上述極限,一個(gè)可行方法是增大陣元的間距,增大R1和R2中的最大數(shù). 但陣元的稀疏分布可能會(huì)造成差分共陣的不連續(xù). 為了獲得盡可能大的連續(xù)范圍,本文提出了以下稀疏嵌套策略. 當(dāng)v1∈[1,N2],v2∈[0,N1]時(shí),將v=v1(N1+1)+v2重新寫成v=(v1-1)(N1+1)+(v2+N1+1). 可以發(fā)現(xiàn)v3=v2+N1+1是v2的有效替代. 這說明可以在中間子陣放置較少的傳感器和增加兩側(cè)子陣的離散度,在差分共陣中生成一個(gè)無孔的Vbody. 例如,對(duì)于N1=10的情況,數(shù)字12可以代替1獲得整數(shù)11n+1,其中的n可以是從1開始增大的任一整數(shù). 也就是說,如果在R11或R12中存在1,那么23可以由11×2+1表示;如果R11或R12中沒有1,23也可以由11×1+12表示. 對(duì)于以上所述的稀疏嵌套陣的相關(guān)概念,只要在R[R11∪R12]N1+1中的余數(shù)能夠包含的[0,N1]所有整數(shù),虛擬段[N1+1,(N1+1)(N2+1)-1]就是連續(xù)的.R[N]m是{n/m|n∈N}的余數(shù). 因此,大可不必將傳感器放置得很密集,更廣的稀疏度依然可以生成連續(xù)段.

2.2 單邊稀疏嵌套陣結(jié)構(gòu)

基于之前的策略,本文提供一種解析結(jié)構(gòu),該結(jié)構(gòu)將右側(cè)子陣元素從v2∈[0,N1]拓展到N1+1+v2∈[N1+1,2N1+1],用以生成更長(zhǎng)的連續(xù)范圍.

定義2單邊稀疏嵌套陣(one-side sparse nested array,OS-SNA)對(duì)正整數(shù)N1=2l,l≥5且N2≥1,OS-SNA由整數(shù)集合定義為

(6)

對(duì)N1=2l-1,l≥6的結(jié)構(gòu),整數(shù)集合具有下列形式:

(7)

該結(jié)構(gòu)具有下列性質(zhì).

定理1對(duì)N1≥10的偶數(shù),OS-SNA的自由度可以表示為L(zhǎng)u=(N1+1)N2+3N1-3. 對(duì)N1≥11的奇數(shù),OS-SNA的自由度可以表示為L(zhǎng)u=(N1+1)N2+3N1-2.

證明

1) 考慮偶數(shù)N1=2l≥10,根據(jù)上述的相對(duì)位置表達(dá)式,可以推斷:

②R[R11∪R12]N1+1={0,l∶2l-3,2l,1∶l-1,2l-2,2l-1}=[0,N1];

③R11?R12={0,l,l+2∶2l-3,2l‖l+1,2l+1,2l+3∶3l-2,3l+1‖2l+2,3l+2,3l+4∶4l-1,4l+2‖2l+3,3l+3,3l+5∶4l,4l+3‖…‖3l,4l,4l+2∶5l-3,5l‖4l-1,5l-1,5l+1∶6l-4,6l-1‖4l,5l,5l+2∶6l-3,6l}?[2l+2,6l-3]=[N1+1,3N1-3].

所以,上述的相對(duì)位置表達(dá)式能夠使正向差分共陣在[0,(N1+1)N2+3N1-3]范圍內(nèi)連續(xù). 自由度Lu=(N1+1)N2+3N1-3.

2) 考慮奇數(shù)N1=2l-1≥11,則

②R[R11∪R12]N1+1={0,l-1,l+1,2l-3∶2l-1,1∶l-2,l,l+2∶2l-4}=[0,2l-1]=[0,N1].

③R11?R12={0,l+1,2l+1∶3l-2,3l,3l+2∶4l-4‖l-1,2l,3l∶4l-3,4l-1,4l+1∶5l-5‖2l-3,3l-2,4l-2∶5l-5,5l-3,5l-1∶6l-7‖2l-2,3l-1,4l-1∶5l-4,5l-2,5l∶6l-6‖2l-1,3l,4l∶5l-3,5l-1,5l+1∶6l-5}={0,l-1,l+1}∪[2l,6l-5]?[2l,6l-5]=[N1+1,3N1-2].

所以,上述相對(duì)位置表達(dá)式的OS-SNA結(jié)構(gòu)能夠使正向差分共陣在[0,(N1+1)N2+3N1-2]范圍內(nèi)連續(xù). 自由度Lu=(N1+1)N2+3N1-2.

圖2 N1=10,N2=2時(shí)的OS-SNA的結(jié)構(gòu)示意Fig.2 The SNA concept illustrated by the proposed OS-SNA with N1=10 and N2=2

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 自由度

首先,將NA、ANAI-2、INA、MISC的自由度與提出的OS-SNA的自由度進(jìn)行比較. 假設(shè)以上所有結(jié)構(gòu)中有N2個(gè)元素位于(N1+1)l,l∈[2,N2+1] 的子陣中. 如表1所示,OS-SNA 的自由度是最大的,其次是MISC、INA、ANAI-2和NA. 對(duì)于MISC,在N1為偶數(shù)時(shí)表達(dá)式不存在. 對(duì)這幾種不同的結(jié)構(gòu)分別能達(dá)到的自由度上限來說,本文提出的策略在理想情況下有可能自由度達(dá)到(N1+1)N2+3N1. OS-SNA結(jié)構(gòu)可以識(shí)別比上限少2~3個(gè)數(shù)量的信源. MISC實(shí)際上是SNC概念的框架,它滿足定理1,但是自由度比OS-SNA低.

表1 不同的三段式嵌套陣的自由度比較

3.2 DOA估計(jì)

在NA、INA、ANAI-2、MISC、MRA和提出的OS-SNA 6種結(jié)構(gòu)中,假設(shè)有D=23個(gè)不相關(guān)信源均勻入射在-30°~30°的區(qū)間內(nèi). 圖3給出了這6種嵌套陣的單次DOA估計(jì)結(jié)果. 傳感器數(shù)N=13,N1=11,N2=1.Smra={1,2,3,9,16,17,27,37,47,50,54,56,59}. 信噪比為10 dB. 蒙特卡洛次數(shù)K=2 000. 本文進(jìn)行了200次蒙特卡洛試驗(yàn). 可以看出,NA、INA、ANAI-2、MISC的MUSIC估測(cè)結(jié)果中,DOA估計(jì)是有明顯錯(cuò)誤的. 只有OS-SNA和MRA有著更高的自由度,能夠得到正確的預(yù)測(cè).

圖3 6種結(jié)構(gòu)的DOA估計(jì)Fig.3 DOA estimations for six kinds of nested arrays

然后,考慮了14個(gè)傳感器11個(gè)信源的情況(N1=11,N2=2). 其他參數(shù)與上述實(shí)驗(yàn)相同. 圖4(a)為在-15~20 dB的信噪比和快拍數(shù)為2 000下的均方根誤差結(jié)果;圖4(b)為固定信噪比為10 dB時(shí)的快拍數(shù)與均方根誤差的變化. 如圖4所示,OS-SNA比其他4種嵌套陣均方根誤差更小且更接近MRA.

圖4 均方差估計(jì)Fig.4 RMSEs

4 結(jié) 論

為了在三段式嵌套陣中擴(kuò)展連續(xù)段的長(zhǎng)度,本文提出了一種策略,該策略通過將中心子陣借出N1+1長(zhǎng)度到兩側(cè)子陣來使陣形更加稀疏化. 在此基礎(chǔ)上,本文提出了一種新的具有完整解析表達(dá)式的結(jié)構(gòu),該結(jié)構(gòu)具有比現(xiàn)有嵌套陣列更高的自由度. 仿真結(jié)果驗(yàn)證了其有效性.

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