陳天銘

【摘要】 一元多項(xiàng)式環(huán)的通用性質(zhì)一定程度上避免了計(jì)算的重復(fù)性，令環(huán)的子環(huán)是交換環(huán)，則通用性質(zhì)的條件進(jìn)行了弱化，可以擴(kuò)大計(jì)算的便利范圍.在條件弱化下的特殊情形中，映射仍為同構(gòu)映射，且運(yùn)用單位矩陣的性質(zhì)，可以得到一元多項(xiàng)式環(huán)的通用性質(zhì)仍然成立.

【關(guān)鍵詞】一元多項(xiàng)式環(huán);交換環(huán);單位矩陣;同構(gòu)映射

【基金項(xiàng)目】 國(guó)家自然科學(xué)基金（11671284）

一、引 言

參考文獻(xiàn)[1]中一元多項(xiàng)式環(huán)的通用性質(zhì)可以將任一數(shù)域P上一元多項(xiàng)式中的不定元x，用其他元素代入.例如，矩陣A等，在運(yùn)算上變得方便，代入即可，避開(kāi)了計(jì)算的重復(fù)性.對(duì)于通用性質(zhì)中的條件，參考文獻(xiàn)[2]中提到自然的嵌入映射，即環(huán)同態(tài)，把該映射與環(huán)同構(gòu)進(jìn)行復(fù)合，可以得到單環(huán)同態(tài)，以此來(lái)處理一元多項(xiàng)式環(huán)通用性質(zhì)的條件.

本文考慮的是將條件進(jìn)行弱化下的特殊情形，并證明出在該情形下，通用性質(zhì)仍然成立.

二、預(yù)備知識(shí)

1.第Ⅰ階段

為完整敘述一元多項(xiàng)式環(huán)的通用性質(zhì)，在此列出所需要的定義[1-6].

定義1 數(shù)域P上的一元多項(xiàng)式是指形如下述的表達(dá)式：anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，其中x是一個(gè)符號(hào)（它不屬于P）;n是非負(fù)整數(shù);ai∈P（i=0，1，…，n），稱為系數(shù);aixi稱為i次項(xiàng)（i=1，2，…，n）;a0稱為零次項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng).兩個(gè)這種形式的表達(dá)式相等規(guī)定為它們含有完全相同的項(xiàng)（除去系數(shù)為0的項(xiàng)外，系數(shù)為0的項(xiàng)允許任意刪去和添加）.此時(shí)，符號(hào)x稱為不定元.

定義2 系數(shù)全為0的多項(xiàng)式稱為零多項(xiàng)式，記作01.

定義3 設(shè)G是環(huán)，a，b∈G，若滿足ab=ba，則稱G是交換環(huán).

定義4 設(shè)G是環(huán)，稱G為帶有單位元的環(huán)，如果對(duì)a∈G，e′∈G，有ae′=a=e′a.

定義5 設(shè)Mn（P）是數(shù)域P上n級(jí)矩陣的集合，A∈Mn（P），表達(dá)式為bnAn+bn-1An-1+…+b1A+b0I，其中bn，bn-1，…，b0∈P，I是數(shù)域P上n級(jí)單位矩陣，稱為矩陣A的多項(xiàng)式.

定義6 設(shè)R是一個(gè)非空集合，如果它有兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算：一個(gè)叫作加法，記作a+b;另一個(gè)叫作乘法，記作ab.并且這兩個(gè)運(yùn)算滿足6條運(yùn)算法則（a，b，c∈R）：

（?。┘臃ńY(jié)合律，即（a+b）+c=a+（b+c）;

（ⅱ）加法交換律，即a+b=b+a;

（ⅲ）在R中有元素0，使得a+0=a，稱0是R的零元素;

（ⅳ）對(duì)于a，在R中有元素d，使得a+d=0，稱d是a的負(fù)元素，記作-a;

（ⅴ）乘法結(jié)合律，即（ab）c=a（bc）;

（ⅵ）乘法對(duì)于加法的左、右分配律，即a（b+c）=ab+ac;（b+c）a=ba+ca.

定義7 數(shù)域P是有理數(shù)域Q的有限擴(kuò)張，也是復(fù)數(shù)域C的子域，則數(shù)域P是一個(gè)環(huán)，故數(shù)域P滿足環(huán)的6條運(yùn)算法則.

定義8 若數(shù)域P到環(huán)G的一個(gè)子環(huán)G1有一個(gè)雙射σ，且滿足（α，β∈P）：

（?。│遥é?β）=σ（α）+σ（β）;

（ⅱ）σ（α·β）=σ（α）·σ（β）.

則稱σ是數(shù)域P到環(huán)G的一個(gè)子環(huán)G1的一個(gè)同構(gòu)映射.

定義9 設(shè)Mn（P）是數(shù)域P上n級(jí)矩陣的集合，稱I是單位矩陣，如果對(duì)A∈Mn（P），

那么有AI=A=IA.

2.第Ⅱ階段

定理1 設(shè)P[x]是數(shù)域P上一元多項(xiàng)式的集合，則P[x]是一個(gè)環(huán).

定理2 設(shè)Mn（P）是數(shù)域P上n級(jí)矩陣的集合，則Mn（P）是一個(gè)環(huán).

證明 （Ⅰ）設(shè)02是數(shù)域P上的零矩陣，顯然02∈Mn（P），故Mn（P）是非空集合.

（Ⅱ）Mn（P）有兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算，分別是加法和乘法.

令A(yù)，B，C∈Mn（P），A=aij，B=bij，C=cij，其中i，j=1，2，…，n∈N，

（ⅰ）因?yàn)閿?shù)域P滿足加法結(jié)合律，則有A+B+C=A+（B+C），因此，Mn（P）滿足加法結(jié)合律.

（ⅱ）因?yàn)閿?shù)域P滿足加法交換律，則有A+B=B+A，因此，Mn（P）滿足加法交換律.

（ⅲ）已知02∈Mn（P），對(duì)A∈Mn（P），有A+02=A，則02是Mn（P）的零元素.

（ⅳ）對(duì)于A，在Mn（P）中有元素B，使得A+B=02，稱B是A的負(fù)元素，記作-A.

（ⅴ）令A(yù)=a11…a1n………an1…ann，令α1=a11…an1n×1，…，αn=a1n…annn×1，

A=α1…αn，

B=b11…b1n………bn1…bnn，

令β1=b11…b1n1×n，…，

βn=bn1…bnn1×n，B=β1βn，

C=c11…c1n………cn1…cnn，令γ1=c11…cn1n×1，…，γn=c1n…cnnn×1，

C=γ1…γn，則有

A·B·C=∑ni=0αi·βi·

γ1…∑ni=0αi·βi·γn.

A·B·C=α1…αn·β1·γ1…β1·γn………βn·γ1…βn·γn=∑ni=0αi·βi·

γ1…

∑ni=0αi·βi·γn.

故A·B·C=A·B·C.

因此，Mn（P）滿足乘法結(jié)合律.

（ⅵ）因?yàn)閿?shù)域P滿足乘法對(duì)于加法的左、右分配律，則有：

A·B+C=A·B+A·CB+C·A=B·A+C·A

因此，Mn（P）滿足乘法對(duì)于加法的左、右分配律.

綜上，Mn（P）是一個(gè)環(huán).由于A，B∈Mn（P），不一定有A·B=B·A，因此，Mn（P）是環(huán)，但不是交換環(huán)，這一性質(zhì)在建立特殊情形時(shí)，起到了作用.

定理3 環(huán)G的一個(gè)非空子集G1是子環(huán)的充要條件是a，b∈G1，有a-b，a·b∈G1.

證明 （Ⅰ）充分性，已知a，b∈G1，有a-b，a·b∈G1，且G1是G的一個(gè)非空子集.

（?。┮?yàn)镚1是非空的，則c∈G1，有c-c∈G1，即0∈G1;

（ⅱ）0∈G1，對(duì)于b∈G1，有0-b∈G1，即-b∈G1;

（ⅲ）a，b∈G1，有a∈G1，-b∈G1，則a--b∈G1，即a+b∈G1;

（ⅳ）由已知條件，a，b∈G1，有a·b∈G1;由于G1是G的一個(gè)子集，故G1滿足6條運(yùn)算法則.因此，G1是G的一個(gè)子環(huán).

（Ⅱ）必要性，已知環(huán)G的一個(gè)非空子集G1是子環(huán)，由環(huán)的定義可以得到：

（?。゜∈G1，有-b∈G1;

（ⅱ）G1有兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算，分別是加法和乘法.故a，b∈G1，有a-b=a+-b∈G1，a·b∈G1.

定理4 設(shè)PA={矩陣A的多項(xiàng)式|A∈Mn（P）}，則PA是Mn（P）的一個(gè)子環(huán).

證明 令f（A）=bnAn+…+b1A+b0I，其中b0，b1，…，bn∈P，A∈Mn（P），則對(duì)于f（A）∈PA，根據(jù)n級(jí)矩陣在進(jìn)行乘法、加法運(yùn)算后仍為n級(jí)矩陣這一性質(zhì)，可以得到PA是Mn（P）的一個(gè)子集.

（?。┊?dāng)b0=…=bn=0時(shí)，有02∈PA，故PA是非空的;

（ⅱ）f（A），g（A）∈PA，有f（A）-g（A），f（A）·g（A）∈PA;

因此，PA是Mn（P）的一個(gè)子環(huán).

定理5 設(shè)PI是數(shù)域P上的數(shù)量矩陣的集合，則PI是PA的一個(gè)子環(huán).

證明 b0I∈PI，當(dāng)b1=…=bn=0時(shí)，有b0I∈PA，因此PI是PA的一個(gè)子集.

（?。╋@然02∈PI，故PI是非空的;

（ⅱ）k1I，k2I∈PI，其中k1，k2∈P，有k1I-k2I，k1I·k2I∈PI.

因此，PI是PA的一個(gè)子環(huán).

定理6 PI是Mn（P）的一個(gè)子環(huán)且PI是交換環(huán).

證明 由于PIPAMn（P），因此，PI是Mn（P）的一個(gè)子集.

（?。┮阎?2∈PI，故PI是非空的;

（ⅱ）k1I，k2I∈PI，其中k1，k2∈P，有k1I-k2I，k1I·k2I∈PI.

因此，PI是Mn（P）的一個(gè)子環(huán).由于數(shù)域P滿足乘法交換律，對(duì)于k1I，k2I∈PI，其中k1，k2∈P，有k1I·k2I=k1·k2I=k2·k1I=k2I·k1I，故PI是交換環(huán).

定理7 設(shè)e′是環(huán)G1的單位元，若數(shù)域P到環(huán)G1有一個(gè)同構(gòu)映射σ，且數(shù)域P有單位元e，則σ（e）是環(huán)G1的單位元，即σ（e）=e′.

證明 由于σ是同構(gòu)映射，故σ是滿射，則對(duì)于b∈G1，a∈P，使得σ（a）=b.根據(jù)同構(gòu)映射的定義，可以得到：

（?。゜=σ（a）=σ（e·a）=σ（e）·σ（a）=σ（e）·b;

（ⅱ）b=σ（a）=σ（a·e）=σ（a）·σ（e）=b·σ（e）.

因此，σ（e）是環(huán)G1的單位元，即σ（e）=e′.

三、條件弱化下特殊情形的建立與證明

1.一元多項(xiàng)式環(huán)的通用性質(zhì)

設(shè)P是一個(gè)數(shù)域，G是一個(gè)有單位元e′的交換環(huán)，數(shù)域P到交換環(huán)G的一個(gè)子環(huán)G1有一個(gè)同構(gòu)映射σ，其中子環(huán)G1含有環(huán)G的單位元e′.由于P[x]包含P，任取t∈G，令σt：P[x]→G，則有如下3條結(jié)論，分別是：

（?。│襱是P[x]到G的一個(gè)映射;

（ⅱ）σt（x）=t;

（ⅲ）σt保持加法、乘法運(yùn)算，若f（x）+g（x）=h（x），f（x）·g（x）=q（x），則f（t）+g（t）=h（t），f（t）·g（t）=q（t）.

稱σt是x用t代入.

2.條件弱化下特殊情形的建立

將“交換環(huán)G，G的一個(gè)子環(huán)G1”減弱為“環(huán)G，G的一個(gè)子環(huán)G1是交換環(huán)”.

根據(jù)預(yù)備知識(shí)，建立的特殊情形：環(huán)G是Mn（p），子環(huán)G1是PI.

3.條件弱化下特殊情形的證明

設(shè)P是一個(gè)數(shù)域，Mn（P）是一個(gè)有單位元I的環(huán)，數(shù)域P到Mn（P）的一個(gè)子環(huán)PI有一個(gè)映射σ，且PI含有Mn（P）的單位元I，根據(jù)預(yù)備知識(shí)，PI是交換環(huán).

A∈Mn（P），σA：P[x]→Mn（P）

f（x）=△∑ni=0aixi→∑ni=0σai·Ai=△f（A）

則有（?。┯成洇胰詾橥瑯?gòu)映射;

（ⅱ）σA是P[x]到Mn（P）的一個(gè)映射;

（ⅲ）σA（x）=A;

（ⅳ）若f（x）+g（x）=h（x），f（x）·g（x）=q（x），則f（A）+g（A）=h（A），f（A）·g（A）=q（A）.

稱σA是x用A代入.

證明 （?。┮阎遥篜→PI，

k→kI，k∈P.

①k1，k2∈P，當(dāng)k1≠k2時(shí)，有k1I≠k2I，則σ是單射.

②kI∈PI，k∈P，使得σk=kI，則σ是滿射.

③k1，k2∈P，有

σk1+k2

=k1+k2I

=k1+k20…00k1+k2…000…k1+k2

=k10…00k1…000…k1+k20…00k2…000…k2

=k1I+k2I=σk1+σk2

σk1·k2=k1·k2I

=k1·k20…00k1·k2…000…k1·k2

=k10…00k1…000…k1·k20…00k2…000…k2

=k1I·k2I=σk1·σk2.

綜上，映射σ仍為同構(gòu)映射.

（ⅱ）由于f（x）的表示法唯一，且σ是數(shù)域P到子環(huán)PI的同構(gòu)映射，故有（i=0，1，…，n）

σai·Ai∈Mn（P），因此σA是P[x]到Mn（P）的一個(gè)映射.

（ⅲ）已知e是P的單位元，σ是P到PI的同構(gòu)映射，根據(jù)預(yù)備知識(shí)，則σ（e）是PI的單位元，即σ（e）=I，故σA（x）=σAe·x=σ（e）·A=I·A=A.

（ⅳ）令f（x）=∑ni=0aixi，g（x）=∑mj=0bjxj，不妨假設(shè)n≥m，則有

h（x）=∑ni=0ai+bixi，

其中bm+1=…=bn=0，q（x）=∑n+ms=0∑i+j=sai·bjxs.

由于σA：h（x）→h（A）q（x）→q（A）

因此，h（A）=∑ni=0σ（ai+bi）·Ai，q（A）=∑n+ms=0σ∑i+j=sai·bj·As;根據(jù)同構(gòu)映射的定義，可以得到：

①h（A）=∑ni=0σai+σbi·Ai=∑ni=0σai·Ai+∑ni=0σbi·Ai，由于bm+1=…=bn=0，且σ是P到PI的同構(gòu)映射，因此，σbm+1=…=σbn=02，可以得到h（A）=f（A）+g（A）.

②q（A）=∑n+ms=0∑i+j=sσaibj·As=∑n+ms=0∑i+j=sσai·σbj·As，根據(jù)預(yù)備知識(shí)中單位矩陣和同構(gòu)映射的定義，則f（A）·g（A）=∑ni=0σai·Ai·∑mj=0σbj·Aj=∑ni=0∑mj=0aiI·Ai·bjI·Aj

= ∑ni=0∑mj=0aiI·bjI·Ai+j=∑n+ms=0∑i+j=saibjI·As=∑n+ms=0∑i+j=sσaibj·As =∑n+ms=0∑i+j=sσai·σbj·As.因此，q（A）=f（A）·g（A），稱σA是x用A代入.

四、結(jié) 論

本文主要對(duì)通用性質(zhì)中的條件進(jìn)行弱化，并證出具體情形下通用性質(zhì)仍成立.但缺點(diǎn)是考慮的還只是條件弱化下的單一特殊情形，對(duì)于條件弱化下的一般情形是否也滿足一元多項(xiàng)式環(huán)的通用性質(zhì)還有待進(jìn)一步的探索.

【參考文獻(xiàn)】

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