馬鵬 楊立敏 陳文 于靜

【摘要】雙曲函數(shù)有非常廣泛的應(yīng)用， 本文將從雙曲函數(shù)恒等式出發(fā)， 利用互導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)給出一些新的求解雙曲有理函數(shù)的積分方法.

【關(guān)鍵詞】雙曲函數(shù);積分

【基金項(xiàng)目】新疆維吾爾自治區(qū)本科教育教學(xué)研究和改革項(xiàng)目（JG2019023）和新疆維吾爾自治區(qū)《石油類高校以培養(yǎng)高層次應(yīng)用型人才為目標(biāo)的數(shù)學(xué)公共課程教學(xué)的實(shí)踐與探索》項(xiàng)目（2017JG095）

一、引 言

雙曲函數(shù)的起源是懸鏈線， 首先提出懸鏈線形狀問(wèn)題的人是達(dá)·芬奇.他在繪制《抱銀貂的女人》時(shí)曾仔細(xì)思索女人脖子上的黑色項(xiàng)鏈的形狀， 遺憾的是他沒(méi)有得到答案就去世了. 時(shí)隔170 多年，約翰·伯努利卻解出了正確答案， 同一時(shí)期的萊布尼茨也正確地給出了懸鏈線的方程. 他們的方法都是利用微積分， 根據(jù)物理規(guī)律給出懸鏈線的二次微分方程，然后再求解. 18世紀(jì)， 約翰·蘭伯特開(kāi)始研究這個(gè)函數(shù)， 首次將雙曲函數(shù)引入三角學(xué). 19世紀(jì)中后期， 奧古斯都·德·摩根將圓三角學(xué)擴(kuò)展到了雙曲線， 威廉·克利福德則使用雙曲角參數(shù)化單位雙曲線. 至此， 雙曲函數(shù)在數(shù)學(xué)上已經(jīng)占有了舉足輕重的地位. 19世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)開(kāi)始了全面發(fā)展， 伴隨著歐拉公式的誕生， 雙曲函數(shù)與三角函數(shù)這兩類看起來(lái)截然不同的函數(shù)獲得了前所未有的統(tǒng)一[2]. 雙曲函數(shù)有非常廣泛的應(yīng)用， 在描述彈性固體中波的運(yùn)動(dòng)， 散熱片中的溫度分布等問(wèn)題時(shí)都可以用到雙曲函數(shù)， 反雙曲函數(shù)在積分學(xué)中也有很多的應(yīng)用.

常用的雙曲函數(shù)恒等式都蘊(yùn)藏在下圖的正六邊形中，具體如下：

（1）正六邊形任意三個(gè)相鄰頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的雙曲函數(shù)中， 兩端雙曲函數(shù)之積等于中間三角函數(shù)，如

sinh xsech x=tanh x，?? tanh xcsch x=sech x，

sech xcoth x=csch x，csch xcosh x=coth x，

coth xsinh x=cosh x，?? cosh xtanh x=sinh x.

（2）陰影部分倒立三角形中上頂點(diǎn)處雙曲函數(shù)的逆時(shí)針平方差等于下頂點(diǎn)處雙曲函數(shù)的平方，如

cosh2x-sinh2x=1，? 1-tanh2x=sech2x，

coth2x-1=csch2x.

（3）正六邊形的三條對(duì)角線兩端點(diǎn)處雙曲函數(shù)互為倒數(shù)，如：

tanh xcoth x=1，? sinh xcsch x=1，?? cosh xsech x=1.

定義1[1] 設(shè)函數(shù)f（x）與g（x）均為可導(dǎo)函數(shù)，如果f′（x）=αg（x），且g′（x）=αf（x）或g′（x）=-αf（x）（α為任意常數(shù)），那么稱f（x）與g（x）為互導(dǎo)函數(shù).如果f′（x）=αg（x），且g′（x）=-αf（x），那么稱f（x）與g（x）為相反互導(dǎo)函數(shù)，α為互導(dǎo)系數(shù).

顯然，正弦函數(shù)y=sin x和余弦函數(shù)y=cos x為一對(duì)互導(dǎo)函數(shù)，同時(shí)，是一對(duì)相反互導(dǎo)函數(shù). 雙曲正弦函數(shù)y=sinh x和雙曲余弦函數(shù)y=cosh x為一對(duì)互導(dǎo)函數(shù).

二、利用互導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)求雙曲有理函數(shù)的積分

定義1提出了自導(dǎo)函數(shù)及互導(dǎo)函數(shù)，考慮滿足方程y′=αy與y′=-αy的函數(shù)（α為任意常數(shù)），容易得到滿足上述微分方程的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)eαx與e-αx.由eαx與e-αx構(gòu)成的函數(shù)中，常見(jiàn)的是雙曲函數(shù)，本文將對(duì)雙曲有理函數(shù)的積分方法進(jìn)行研究. 在此之前先來(lái)看一個(gè)例子：

∫11+2tan x dx.

對(duì)于這種問(wèn)題，一般是通過(guò)“切割化弦”轉(zhuǎn)化為正、余弦函數(shù)的積分∫cos x2sin x+cos xd x，由于正、余弦函數(shù)為互導(dǎo)函數(shù)， 考慮如下等式：

cos x=A2sin x+cos x+B2sin x+cos x′=2A-Bsin x+A+2Bcos x.

由待定系數(shù)，可得2A-B=0，A+2B=1，也就是A=15，B=25， 即

∫11+2tan x dx=∫cos x2sin x+cos x dx

=15∫2sin x+cos x+22sin x+cos x′2sin x+cos x dx

=15∫2sin x+cos x2sin x+cos x dx+25∫2sin x+cos x′2sin x+cos x dx

=15x+25∫12sin x+cos x d2sin x+cos x

=15x+25ln2sin x+cos x+C?? （C為任意常數(shù)）.

上述方法充分考慮正、余弦函數(shù)的互導(dǎo)性質(zhì)，我們把這種積分方法用到雙曲有理分式函數(shù)的積分當(dāng)中，即考慮積分

∫λsinh x+μcosh xasinh x+bcosh x dx.

其中，a，b，λ，μ為任意常數(shù)且|a|≠|(zhì)b|.

注意到（sinh x）′=cosh x，（cosh x）′=sinh x，考慮

λsinh x+μcosh x

=Mλsinh x+μcosh x+Nλsinh x+μcosh x′=aM+bNsinh x+（bM+aN）cosh x.? （1）

由待定系數(shù)，得

aM+bN=λ，bM+aN=μ，

容易得到 M=aλ-bμa2-b2，N=aμ-bλa2-b2，根據(jù)（1）式，有如下重要結(jié)論：

∫λsinh x+μcosh xasinh x+bcosh x dx

=aλ-bμa2-b2x+aμ-bλa2-b2lnasinh x+bcosh x+C? （C為任意常數(shù)）.?? （2）

32∫d4sinh x-2cosh x144sinh x-2cosh x2-（-2）=4∫dsinh x-2cosh x1-sinh x-2cosh x2+

6∫d4sinh x-2cosh x8+4sinh x-2cosh x2=4arctanhsinh x-2cosh x+

324∫d2sinh x-cosh x21+2sinh x-cosh x22=4arctanhsinh x-2cosh x+

324arctan2sinh x-cosh x2+C.

注2.2 如果b≠0，那么κ1=a， κ2=c是方程a-κc+κ=0的兩個(gè)根，ωi將無(wú)意義. 若考慮ac>0，則有

∫λsinh x+μcosh xasinh2x+2bsinh xcosh x+ccosh2x dx

=∫λsinh x+μcosh xasinh2x+ccosh2x dx

=λ∫sinh xasinh2x+ccosh2x dx+μ∫cosh xasinh2x+ccosh2x dx

=-λ∫sinh xa-（a+c）cosh2x dx+μ∫cosh xc+（a+c）sinh2x dx=-λa∫sinh x1-a+cacosh2x dx+μc∫cosh x1+a+ccsinh2x dx=-λaaa+c∫da+cacosh x1-a+cacosh x2 +

μcca+c∫da+ccsinh x1+a+ccsinh x2=-λaaa+carctanha+cacosh x+

μcca+carctana+ccsinh x+C.

其次，考慮不定積分

∫1asinh x+bn dx，

其中n∈N+，而a，b為任意常數(shù)且|a|≠|(zhì)b|.

令I(lǐng)n=∫1asinh x+bn dx，

考慮In-1=∫1asinh x+bn-1 dx，注意到

In-1=∫1asinh x+bn-1 dx

=1b∫asinh x+b-asinh xasinh x+bn-1 dx

=1bIn-2-ab∫dcosh xasinh x+bn-1=1bIn-2-acosh xbasinh x+bn-1-

n-1b∫a2cosh2xasinh x+bn dx=1bIn-2-acosh xbasinh x+bn-1-

n-1b∫a2+b2+asinh x+basinh x-basinh x+bn dx

=1bIn-2-acosh xbasinh x+bn-1-

n-1a2+b2bIn-

n-1b∫asinh x+b-2basinh x+bn-1 dx=1bIn-2-acosh xbasinh x+bn-1-

n-1a2+b2bIn-

n-1bIn-2+2n-1In-1，

移項(xiàng)得到In=∫1asinh x+bn dx的遞推公式

In=1n-1a2+b22n-3bIn-1-

n-2In-2acosh xasinh x+bn-1，

同理，得到Jn=∫1a+bcosh xn dx的遞推公式

Jn=1n-1a2+b22n-3aJn-1-

n-2Jn-2acosh xa+bcosh xn-1.

三、總 結(jié)

本文主要考慮三角函數(shù)與雙曲函數(shù)之間的關(guān)系， 給出了幾個(gè)雙曲有理函數(shù)的積分公式或遞推表達(dá)式， 豐富了積分的知識(shí)范圍.

【參考文獻(xiàn)】

[1]朱永銀，郭文秀，朱若霞.組合積分法[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2002.

[2]A. P. 揚(yáng)波爾斯基. 雙曲函數(shù)[M].邢富沖，譯.北京： 中央民族學(xué)院出版社，1987.