司友志 金穩(wěn)

摘 要：當(dāng)球體在空氣中高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于馬格努斯效應(yīng)，球體會(huì)受到橫向的馬格努斯力的作用，其運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)發(fā)生彎曲而偏離正常的拋物線的現(xiàn)象。通過對(duì)球類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中馬格努斯效應(yīng)產(chǎn)生的原理進(jìn)行分析、推理和研究，建立了三個(gè)球體運(yùn)動(dòng)模型：一是不考慮空氣阻力和馬格努斯力，只受重力影響的理想模型;二是不考慮旋轉(zhuǎn)，即沒有馬格努斯力，但是考慮空氣阻力的較為實(shí)際的球體運(yùn)動(dòng)模型;三是在第二種模型的基礎(chǔ)上再加上球體上旋引起的馬格努斯力的影響，并對(duì)三個(gè)模型都做了一定的數(shù)學(xué)分析計(jì)算，得到了每個(gè)模型在水平x方向和豎直y方向的速度v和位移隨時(shí)間的關(guān)系表達(dá)式，從動(dòng)力學(xué)方程出發(fā)，綜合考慮空氣對(duì)球體運(yùn)動(dòng)的阻力作用和馬格努斯效應(yīng)，對(duì)空中同時(shí)做平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的球體做受力分析，從而研究得到跳發(fā)上旋球時(shí)排球運(yùn)動(dòng)的弧線方程，進(jìn)而可以算出偏移量。根據(jù)理論計(jì)算結(jié)果，我們可以結(jié)合實(shí)際情形，給出具有針對(duì)性的排球的教學(xué)和訓(xùn)練指導(dǎo)，以加強(qiáng)訓(xùn)練效果，提高專項(xiàng)運(yùn)動(dòng)技術(shù)水平。

關(guān)鍵詞：馬格努斯效應(yīng);伯努利定律;球速;旋轉(zhuǎn)速度;運(yùn)動(dòng)軌跡方程;偏移量;排球

中圖分類號(hào)：G804.63? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1009-9840（2021）06-0057-07

Magnus effect of volleyball smashing jump service

SI Youzhi， JIN Wen

（University of Science and Technology of China， Hefei 230026， Anhui， China）

Abstract：When the ball rotates at high speed in the air， due to the Magnus effect， the ball will be affected by the transverse Magnus force， and its trajectory will bend and deviate from the normal parabola. Based on the analysis， reasoning and research of the principle of Magnus effect in ball games， this paper establishes three ball motion models： one is the ideal model which is only affected by gravity without considering air resistance and Magnus force; the other is the more practical ball motion model which does not consider rotation， that is， without Magnus force， but considering air resistance; the third is the more practical ball motion model in the third part On the basis of the two models and the influence of Magnus force caused by the upward rotation of the sphere， the mathematical analysis and calculation of the three models are carried out， and the expressions of the relationship between the velocity V and displacement of each model in the horizontal X direction and vertical Y direction with time are obtained. Starting from the dynamic method， the resistance effect of the air on the sphere motion and the Magnus effect are comprehensively considered At the same time do translation and rotation of the ball to do force analysis， so as to get the arc equation of volleyball movement when jump serve topspin ball， and then can calculate the offset. According to the results of theoretical calculation， we can combine with the actual situation， give targeted volleyball teaching and training guidance， in order to strengthen the training effect and improve the technical level of special sports.

Key words：Magnus effect; Bernoulli's law; ball speed; rotational speed; motion trajectory equation; offset;volleyball

收稿日期：2021-05-08

作者簡介：司友志（1981- ），男，安徽宣城人，碩士，副教授，研究方向體育教育。

在當(dāng)代排球比賽中，發(fā)球是唯一不受他人干擾，完全由自主完成的環(huán)節(jié)，也是隊(duì)伍發(fā)起的第一波進(jìn)攻。發(fā)球的好壞可謂在很大程度上影響著比賽的輸贏。當(dāng)代發(fā)球主要有兩種方式：一是大力跳發(fā)，二是發(fā)飄球。大力跳發(fā)由于其無與倫比的沖擊性、破壞性和觀賞性，越來越受到觀眾的認(rèn)可，逐漸成為世界一流排球運(yùn)動(dòng)員的首選發(fā)球方式。特別是在世界男子排球比賽中，經(jīng)?？梢孕蕾p到高質(zhì)量的大力跳發(fā)球，像意大利男排接應(yīng)伊萬·扎伊采夫，古巴男排主攻維爾福來多·萊昂，中國男排接應(yīng)江川等隊(duì)員的跳發(fā)球都十分出彩。

跳發(fā)球的優(yōu)勢(shì)具體表現(xiàn)在哪些方面呢？簡單來說有四點(diǎn)。第一，球本身速度特別快，經(jīng)常可以達(dá)到120 km/h甚至130 km/h以上，而飄球速度通常只有60～70 km/h，故大力跳發(fā)留給接球隊(duì)員的反應(yīng)時(shí)間相對(duì)來說短很多。第二，球速快帶來的沖擊力也特別大，很多隊(duì)員在取準(zhǔn)位置后也難以接好。第三，更重要的，跳發(fā)球通常伴隨著強(qiáng)烈的旋轉(zhuǎn)，馬格努斯效應(yīng)比較明顯，球在空中相對(duì)于沒有旋轉(zhuǎn)情況下的正常軌跡有著較大的偏移量，如上旋球會(huì)有較強(qiáng)烈的“急墜”現(xiàn)象，再加上較短的反應(yīng)時(shí)間，給接球隊(duì)員帶來相當(dāng)大的麻煩，因而大力跳發(fā)經(jīng)常能夠破壞對(duì)手一傳導(dǎo)致不到位甚至直接得分。第四，就是大力跳發(fā)球的觀賞性遠(yuǎn)比發(fā)飄球的觀賞性要好。

什么是馬格努斯效應(yīng)？簡單解釋是，一個(gè)旋轉(zhuǎn)的球在它周圍帶動(dòng)一些空氣一起旋轉(zhuǎn)，在它周圍產(chǎn)生一種旋轉(zhuǎn)空氣的漩渦。這種循環(huán)空氣減慢了一側(cè)通過球的空氣流動(dòng)，同時(shí)又使另一側(cè)的空氣加速。根據(jù)伯努利的原理，在速度較大的一側(cè)壓力較低，在空氣速度較小的一側(cè)壓力較高。由此產(chǎn)生的壓力不平衡導(dǎo)致垂直于球的旋轉(zhuǎn)軸及其速度作用的力，導(dǎo)致球的偏轉(zhuǎn)。

當(dāng)然并不是排球運(yùn)動(dòng)才受到馬格努斯效應(yīng)的影響，很多球類運(yùn)動(dòng)都受到其影響。比如足球里面有名的“香蕉球”，乒乓球的“弧圈球”，棒球、高爾夫球的拐彎球等。一直以來，部分研究人員對(duì)這一類現(xiàn)象用馬格努斯效應(yīng)和伯努利定律進(jìn)行了定性分析，偶爾也進(jìn)行過動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)的定量分析，如部分研究者分別對(duì)足球、網(wǎng)球、棒球做了相關(guān)運(yùn)動(dòng)的研究，潘慧炬也曾經(jīng)用女排發(fā)側(cè)旋球的例子進(jìn)行了大致計(jì)算，但是當(dāng)時(shí)的研究并未考慮到重力的影響，有所疏漏。特別對(duì)排球上旋球的研究相對(duì)較少，怎樣利用馬格努斯效應(yīng)和伯努利定律更有效地指導(dǎo)運(yùn)動(dòng)員發(fā)出威脅更大的跳發(fā)球，讓對(duì)手防不勝防，從而達(dá)到破壞對(duì)手方一傳甚至直接得分的目的，這方面的研究就更少。因此，研究馬格努斯效應(yīng)在排球等球類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中的影響，對(duì)于相關(guān)球類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的教學(xué)和訓(xùn)練有著重要的指導(dǎo)意義和實(shí)踐意義。

1 研究方法

1.1 文獻(xiàn)資料法：查閱排球書籍并從知網(wǎng)和中國學(xué)術(shù)期刊網(wǎng)檢索排球發(fā)球相關(guān)文獻(xiàn)，對(duì)排球大力發(fā)球技術(shù)進(jìn)行理論梳理，為后期研究做好理論基礎(chǔ)。

1.2 數(shù)理統(tǒng)計(jì)法：對(duì)世界一流排球運(yùn)動(dòng)員大力發(fā)球數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，為研究提供數(shù)據(jù)支撐。

2 各種條件下的排球運(yùn)動(dòng)規(guī)律

任何在空中行進(jìn)的旋轉(zhuǎn)球都經(jīng)歷至少四種力：重力、氣動(dòng)阻力、浮力和馬格努斯力。但是在用排球、足球等作為研究對(duì)象時(shí)，浮力相對(duì)于其他力來說是微小的，可以被舍去。

2.1 基本模型——只受重力時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

由簡單的高中物理知識(shí)，我們知道，當(dāng)物體在空中只受重力而不考慮其他力的作用時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)該是一條拋物線的一部分，具體由其初始條件決定。假設(shè)初速度為v0，擊球高度為h，初速度與水平面得夾角為θ，則有：

x：x=v0cosθ·t（1）

y：y=v0sinθ·t+12gt2（2）

式（2）中，令y=h，則可以求得發(fā)球時(shí)間為：

t=-v0sinθ+ v20sin2θ+2ghg（3）

整理可以得到不含時(shí)間t的只有橫縱坐標(biāo)xy的關(guān)系即運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式：

y=sinθcosθx+g2v20cos2θx2=v202sinθcosθ2v20cos2θx+g2v20cos2θx2

=12v20cos2θ（gx2+v20sin2θ-x）

如果取y=h，解方程則可以得到發(fā)球距離：

L=-v20sin2θ+v0 v20sin22θ+8ghcos2θ2g（4）

這是最理想的發(fā)球距離，可以得到最佳馬格努斯力和空氣動(dòng)力，獲得最佳發(fā)球效果。實(shí)際發(fā)球過程中可根據(jù)不同發(fā)球距離考慮不同空氣阻力和馬格努斯力的影響。

2.2 阻力模型——空氣阻力對(duì)排球運(yùn)動(dòng)的影響

任何物體在空氣中運(yùn)動(dòng)都會(huì)受到空氣阻力的影響，空氣阻力的大小與物體截面積、相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度、空氣粘滯系數(shù)等有關(guān)。

球體在空氣中以速度v運(yùn)動(dòng)，也可以由相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理等效看成是空氣以速度v吹向靜止的球，球體受到的空氣阻力也就等效成運(yùn)動(dòng)的空氣對(duì)球的推力。

當(dāng)球體速度不是很大時(shí)，其受到的空氣阻力大小可以表示為：

Ff=12Cdρv2A=kv2（5）

k=CDρA2=CDρ2·14πd2=CDρπd28（6）

其中，A是球體截面積，d是球體直徑，排球取d=0.21m;ρ是流體密度，常溫下空氣密度值為ρ=0.129 kg·m-3。CD是阻力系數(shù)。

實(shí)驗(yàn)證明，繞流球體的阻力系數(shù)CD隨著繞流雷諾數(shù)Re的增加而減小。圖3繪出了粘性流體繞圓球流動(dòng)的阻力系數(shù)CD隨Re數(shù)變化的實(shí)驗(yàn)曲線，其臨界雷諾數(shù)Re=（2～3）×105。對(duì)應(yīng)于圖3各區(qū)域的CD近似計(jì)算公式有：

CD=24Re，（Re<1，斯托克斯公式）

CD=24Re1+316Re，1≤Re<5，奧森公式

CD=24Re1+316Re12，5≤Re<100，奧森修正公式

CD=13Re，10<Re<1000，阿連公式

CD=0.44，500<Re<2-105，牛頓公式（7）

對(duì)于雷諾數(shù)，有

Re=ρvdμ（8）

μ是空氣粘度系數(shù)，常溫下其值約為1.85·105Pa·s。假設(shè)發(fā)球速度為v=120 km·h-1=33.3 m·s-1，則計(jì)算可得跳發(fā)球時(shí)排球在空氣中的雷諾數(shù)為

Re=48 762

所以可取CD=0.44，則可計(jì)算得到

k=9.83×10-4 kg·m-1。（9）

下面來求解其軌跡方程。根據(jù)受力分析可以列出動(dòng)力學(xué)方程：

x：kv2cosα=-mdvxdt（10）

y：-mg+kv2sinα=mdvydt（11）

v=vx+vy

其中，α是某一時(shí)刻排球速度方向與水平的夾角大小。

在求解這個(gè)微分方程時(shí)，由于變量v是二次，故方程得不到解析解。為了求得解析解，我們用一個(gè)等效k1，使其滿足：

Ff=kv2=k1v

即有

k1=kv

這樣將方程降次，便能得到解析解。但是速度v并不是一個(gè)常數(shù)，而是隨時(shí)間t變化的。然而在我們研究的過程內(nèi)，初速度較大，持續(xù)時(shí)間短，重力會(huì)使得球體加速，空氣阻力使其減速，二者近似平衡，即我們認(rèn)為這短時(shí)間內(nèi)速度基本不變。故有：

k1=kv0（12）

方程（9）（10）轉(zhuǎn)化為：

x：-k1vcosα=mdvxdt（10′）

y：mg-k1vsinα=mdvydt（11′）

又因?yàn)橛校?/p>

vcosα=vx，vsinα=vy

方程化成：

x：k1vx=-mdvxdt（10″）

y：mg-k1vy=mdvydt（11″）

可以分別解得水平豎直方向上的速度隨時(shí)間的變化關(guān)系：

x：vxt=v0cosθe-k1mt（13）

y：vyt=v0sinθ-mgk1e-k1mt+mgk1（14）

兩個(gè)方向上速度分別對(duì)時(shí)間積分，進(jìn)而可以得到兩個(gè)方向上位移隨時(shí)間的變化關(guān)系：

x：xt=mv0cosθk11-e-k1mt（15）

y：yt=mk1v0sinθ-mgk11-e-k1mt+mgk1t（16）

同樣，當(dāng)y=h時(shí)，我們可以得到球體在空中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的數(shù)值解，再帶入x（t），則可以計(jì)算出發(fā)球距離。

2.3 旋轉(zhuǎn)模型——考慮空氣阻力和馬格努斯力的排球運(yùn)動(dòng)規(guī)律

當(dāng)球體在空氣中的移動(dòng)速度為v，自轉(zhuǎn)角速度為ω時(shí)，其受到的馬格努斯力的大小為：

FM=18πρd3ωv=k2v（17）

k2=18πρd3ω=18π×0.129×0.213ω=4.69×10-4ω

其中，ρ為空氣密度，d為排球直徑。

其實(shí)在球體運(yùn)動(dòng)過程中，ω也會(huì)隨著時(shí)間變化，準(zhǔn)確地應(yīng)該寫成ω（t）。但是球體運(yùn)動(dòng)時(shí)受到切向阻力應(yīng)該遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于法向阻力，即旋轉(zhuǎn)速度ω變化不大，我們直接認(rèn)為其是一個(gè)定值，由初始條件決定。

馬格努斯力的方向是ω×v的方向，滿足右手螺旋定則，即右手四個(gè)指頭與大拇指垂直，四指從ω的方向卷向v的方向，此時(shí)大拇指的方向即是馬格努斯力的方向，垂直于速度方向。側(cè)向受力是基本均衡的，兩個(gè)力相反，并相互抵消。簡單來說，如果我們發(fā)的是一個(gè)水平的上旋球，則馬格努斯力的方向剛好是豎直向下的。

加上馬格努斯力后球體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程變?yōu)椋?/p>

Ff+FM=-mdvdt

兩個(gè)方向的分量為：

x：-kv2cosα-k2vsinα=mdvxdt（18）

y：mg-kv2sinα+k2vcosα=mdvydt（19）

同樣，這個(gè)方程無法求得解析解，我們用跟上面一樣的等效的一次形式的空氣阻力方程對(duì)方程進(jìn)行簡化：

x：-k1vcosα-k2vsinα=mdvxdt（18′）

y：mg-k1vsinα+k2vcosα=mdvydt（19′）

再利用：

vcosα=vx，vsinα=vy

方程最終轉(zhuǎn)化成：

x：-k1vx-k2vy=mdvxdt（18″）

y：mg-k1vy+k2vx=mdvydt（19″）

下面我們需要來求解這組方程。首先由（18″）式可得：

vy=-mk2dvxdt-k1k2vx（20）

帶入到（19″）中，有

d2vxdt2+2k1mdvxdt+k21+k22m2vx=-k2gm（21）

其特征根方程為：

r2+2k1mr+k21+k22m2=0（22）

特征根為：

r1，2=-k1m±k2mi（23）

故方程的解的形式為：

vxt=v0e-k1tmC1cosk2tm+C2sink2tm+C3（24）

根據(jù)初始條件：

vx0=v0cosθ=v0C1+C3

mv'x0=-k1v0cosθ-k2v0sinθ=-k1vx（0）+k2v0C2

及方程（21）可以解得幾個(gè)未知常數(shù)分別為：

C1=cosθ+k2mgv0（k21+k22）

C2=-sinθ

C3=-k2mgk21+k22（25）

故vx表示為：

vxt=v0e-k1mtcosθ+k2mgv0k21+k22cosk2mt-sinθsink2mt-k2mgk21+k22（26）

再將方程（23）帶入到方程（24）中，可以解得vy的通解為：

vy1t=v0e-k1mtcosθ+k2mgv0k21+k22sink2mt+sinθcosk2mt+k1mgk21+k22（27）

我們?cè)O(shè)vyt的特解為vy2（t）。則vy表示為：

vyt=vy1t+vy2（t）（28）

將（28）帶入到（19″）有：

mg-k1（vy1+vy2）+k2vx=md（vy1+vy2）dt（29）

而vy的通解應(yīng)該也滿足（19″）式，即

mg-k1vy1+k2vx=mdvy1dt（30）

則特解vy2（t）應(yīng)該滿足的條件為：

-k1vy2=mdvy2dt（31）

解得：

vy2t=C4e-k1mt（32）

則vy的解為：

vyt=v0e-k1mtcosθ+k2mgv0k21+k22sink2mt+sinθcosk2mt+k1mgk21+k22+C4e-k1mt

根據(jù)初始條件，當(dāng)t=0時(shí)，

vy0=v0sinθ=v0sinθ+k1mgk21+k22+C4

得到：

C4=-k1mgk21+k22（33）

則有：

vyt=v0e-k1mtcosθ+k2mgv0k21+k22sink2mt+sinθcosk2mt+k1mgk21+k22（1-e-k1mt）（34）

進(jìn)一步分別對(duì)時(shí)間積分可以得到兩個(gè)方向的位移-時(shí)間關(guān)系：

x：xt=mv0k21+k22[e-k1mt（K1cosk2mt+K2sink2mt）-K1]+C3t（35）

y：yt=mv0k21+k22[e-k1mt（K1sink2mt-K2cosk2mt）+K2]-C4t-mk11-e-k1mt（36）

其中，常數(shù)項(xiàng)K1，K2分別為：

K1=k1C1+k2C2=k1k2mgv0（k21+k22）+k1cosθ-k2sinθK2=k2C1-k1C2=k22mgv0k21+k22+k1sinθ+k2cosθ（37）

可見兩個(gè)運(yùn)動(dòng)水平豎直兩個(gè)方向的位移隨時(shí)間的表達(dá)式的形式相對(duì)比較復(fù)雜，含有較多常數(shù)項(xiàng)。

3 分析與討論

上文我們主要建立了三個(gè)球體運(yùn)動(dòng)模型：一是不考慮空氣阻力和馬格努斯力，只受重力影響的理想模型;二是不考慮旋轉(zhuǎn)，即沒有馬格努斯力，但是考慮空氣阻力的較為實(shí)際的球體運(yùn)動(dòng)模型;三是在第二種模型的基礎(chǔ)上再加上球體上旋引起的馬格努斯力的影響，并對(duì)三個(gè)模型都做了一定的數(shù)學(xué)分析計(jì)算，得到了每個(gè)模型在水平x方向和豎直y方向的速度v和位移隨時(shí)間的關(guān)系表達(dá)式。下面我們將采用畫圖和實(shí)際數(shù)值的方法對(duì)這幾個(gè)模型做進(jìn)一步的分析對(duì)比。

為了方便討論對(duì)比，我們先列出用得到的常數(shù)值：

空氣密度：ρ=0.129 kg·m-3

排球直徑：d=0.21 m

排球質(zhì)量：m=0.27 kg

重力加速度：g=9.80 m·s-2

3.1 準(zhǔn)確模型

這兒說的準(zhǔn)確是指，阻力式準(zhǔn)確來說是與速度的二次方程正比。但在上面的計(jì)算中，由于求解微分方程時(shí)得不到解析解，故用一個(gè)等效的一次式做了近似，從而得到的是等效模型式。而準(zhǔn)確模型得相關(guān)方程為：

3.1.1 基本模型

x：x=v0cosθ-t（38）

y：y=v0sinθ-t+12gt2（39）

3.1.2 阻力模型

x：kv2cosα=-mdvxdt（40）

y：-mg+kv2sinα=mdvydt（41）

k=CDρπd28=9.83×10-4kg·s-1（42）

3.1.3 旋轉(zhuǎn)模型

x：-kv2cosα-k2vsinα=mdvxdt（43）

y：mg-kv2sinα+k2vcosα=mdvydt（44）

k2=18πρd3ω=7.04×10-3kg·s-1（45）

由準(zhǔn)確的二次阻力公式推出來的阻力模型和旋轉(zhuǎn)模型方程，我們都沒有辦法得到解析解，也沒有簡單的辦法可以直接得到數(shù)值解，在以后有了更方便的工具后可以對(duì)其進(jìn)行數(shù)值圖像研究。我們此次不做太多討論。

3.2 等效模型

為了簡化模型求得解析解，我們提出了阻力的一次等效公式：

Ff=kv2=k1v

并認(rèn)為

k1=kv0（46）

所得到兩種模型的方程為：

3.2.1 阻力模型

速度-時(shí)間關(guān)系：

x：vxt=v0cosθe-k1mt（47）

y：vyt=v0sinθ-mgk1e-k1mt+mgk1（48）

位移-時(shí)間關(guān)系：

x：xt=mv0cosθk11-e-k1mt（49）

y：yt=mk1v0sinθ-mgk11-e-k1mt+mgk1t（50）

3.2.2 旋轉(zhuǎn)模型

速度-時(shí)間關(guān)系：

x：vxt=v0e-k1mtcosθ+k2mgv0k21+k22cosk2mt-sinθsink2mt-k2mgk21+k22（51）

y：vyt=v0e-k1mtcosθ+k2mgv0k21+k22sink2mt+sinθcosk2mt

+k1mgk21+k221-e-k1mt（52）

位移-時(shí)間關(guān)系：

x：xt=mv0k21+k22[e-k1mt（K1cosk2mt+K2sink2mt）-K1]+C3t（53）

y：yt=mv0k21+k22[e-k1mt（K1sink2mt-K2cosk2mt）+K2]-C4t-mk11-e-k1mt（54）

其中，各常數(shù)項(xiàng)分別為：

C1=cosθ+k2mgv0（k21+k22）C2=-sinθC3=-k2mgk21+k22C4=-k1mgk21+k22（55）

K1=-k1C1+k2C2=-k1k2mgv0k21+k22-k1cosθ+k2sinθK2=k2C1-k1C2=k22mgv0k21+k22+k1sinθ+k2cosθ（56）

3.3 數(shù)值圖像分析

從方程來看，模型越復(fù)雜得到的公式自然也就更加復(fù)雜。阻力模型所得到的結(jié)果應(yīng)該是最接近我們平時(shí)發(fā)的沒有旋轉(zhuǎn)的不具有太強(qiáng)攻擊性的一般球的實(shí)際軌跡，而加上旋轉(zhuǎn)以后的影響便可以從旋轉(zhuǎn)模型里面看出來。為了更加直觀地看出阻力、旋轉(zhuǎn)帶來的影響，我們可以分別從數(shù)值和圖像兩個(gè)方面去討論。我們先假定一組初始條件：

初速度：v0=120 km·h-1=33.3 m·s-1;

方向夾角：θ=3.00;

發(fā)球高度：h=3.40 m;

旋轉(zhuǎn)速度：ω=15.0 r·s-1;

通過相應(yīng)的公式，利用電腦，可以計(jì)算得到各種情形下的發(fā)球距離，如表1：

由表1中信息，由于空氣阻力的存在，球體在空中飛行時(shí)間會(huì)延長，發(fā)球距離會(huì)縮短，但是這兩個(gè)變化量都是比較小的，只約基礎(chǔ)模型的1%～2%。而加上旋轉(zhuǎn)比不加旋轉(zhuǎn)時(shí)，球的飛行時(shí)間從0.673 956 s變?yōu)?.550 195 s，減少0.123 761 s，約18.36%，留給防守方判斷的時(shí)間明顯縮短，再加上本來飛行時(shí)間就極短，故對(duì)接球一方的隊(duì)員的反應(yīng)能力來說是一個(gè)極大的考驗(yàn);發(fā)球距離從22.412 m減少至16.924 4 m，減少5.4876 m，這是一個(gè)非?？捎^的變化量，即有著非常明顯的“急墜”現(xiàn)象。這個(gè)變化會(huì)給接球一方進(jìn)一步帶來很大的難度，而且使得球更容易落在界內(nèi)不致于出界丟分。我們知道，排球場(chǎng)的長度是18 m，從表1中數(shù)據(jù)可以看見，如果不加旋轉(zhuǎn)，按我們假設(shè)的初始條件計(jì)算，會(huì)使得球直接飛出界外;而加上旋轉(zhuǎn)后由于明顯的距離縮短，則可以落在界內(nèi)。圖5是根據(jù)上述初始條件得到的幾個(gè)模型下球體的運(yùn)動(dòng)軌跡。

上述假設(shè)的條件是根據(jù)世界一流排球運(yùn)動(dòng)員的數(shù)據(jù)得出的，下面我們用與我們平時(shí)情況更加接近的一組初始條件進(jìn)行計(jì)算對(duì)比：

初速度：v0=72 km·h-1=20.0 m·s-1;

方向夾角：θ=-10.0°;

發(fā)球高度：h=2.30 m;

旋轉(zhuǎn)速度：ω從0 r·s-1到12r·s-1變化。

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，我們可以看出，隨著旋轉(zhuǎn)速度的增加，球體的飛行時(shí)間、發(fā)球距離都逐漸減小，但這兩個(gè)量的變化規(guī)律是有所區(qū)別的。飛行時(shí)間隨著旋轉(zhuǎn)速度的增加，基本呈線性減少，旋轉(zhuǎn)速度每增加3 r/s，飛行時(shí)間減少0.04 s左右;而發(fā)球距離的減少量則是不均勻的，呈負(fù)指數(shù)規(guī)律，即旋轉(zhuǎn)速度每增加一定值，開始時(shí)發(fā)球距離減少得比較多，到后來減少量比剛開始少。圖6是不同旋轉(zhuǎn)速度時(shí)發(fā)球球體的運(yùn)動(dòng)軌跡，也可以反映出和表2相同的規(guī)律。

4 結(jié)論

我們先通過數(shù)學(xué)建模，通過計(jì)算得到了三個(gè)模型：不考慮空氣阻力、馬格努斯力的基礎(chǔ)模型;考慮空氣阻力，不考慮馬格努斯力的阻力模型;同時(shí)考慮空氣阻力和馬格努斯力的旋轉(zhuǎn)模型的速度和位移的含時(shí)間參數(shù)t的參數(shù)方程解，并通過表格數(shù)值和圖像的方式進(jìn)行了簡單的分析。我們現(xiàn)在可以得出如下結(jié)論：

4.1 阻力模型

其實(shí)也就是平時(shí)最常見的無攻擊性的發(fā)球模型，由于空氣阻力，飛行時(shí)間會(huì)略微加長，發(fā)球距離略微縮短但是沒有明顯變化，控制不得當(dāng)比較容易出界。主要特點(diǎn)是發(fā)球難度小，但是攻擊性差，給接球方?jīng)_擊較小。

4.2 旋轉(zhuǎn)模型

旋轉(zhuǎn)速度越大，球體飛行時(shí)間越短，發(fā)球距離越小，且變化比較明顯，可以達(dá)到20%以上。發(fā)球飛行時(shí)間隨旋轉(zhuǎn)速度基本呈線性減小，由于大力跳發(fā)時(shí)球體飛行時(shí)間本來就比較短，通過旋轉(zhuǎn)進(jìn)一步有效地縮短接球方的反應(yīng)時(shí)間，使接球難度變大;發(fā)球距離隨發(fā)球旋轉(zhuǎn)速度的增減呈負(fù)指數(shù)關(guān)系變短，加上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)就可以使得發(fā)球距離明顯變短，這可以給我們一個(gè)很好的啟示是，加上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以使得發(fā)球更加不容易出界，這是發(fā)球加上旋轉(zhuǎn)的第一個(gè)優(yōu)點(diǎn);其次，較強(qiáng)旋轉(zhuǎn)時(shí)發(fā)球距離可以變化得非常明顯，達(dá)到5 m以上，在較短時(shí)間內(nèi)給防守隊(duì)員的判斷帶去更大的困難，從而使得發(fā)球更加具有沖擊性。

綜上，旋轉(zhuǎn)式發(fā)球相比與不旋轉(zhuǎn)的發(fā)球，飛行時(shí)間減少，發(fā)球距離縮短，更加具有攻擊性，運(yùn)動(dòng)員們?cè)趯?shí)際訓(xùn)練時(shí)可以結(jié)合本文與實(shí)際，多多感受旋轉(zhuǎn)球的特點(diǎn)，從而使得訓(xùn)練更有針對(duì)性、更加有效。

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