王平波， 衛(wèi)紅凱， 婁良軻， 代振

(海軍工程大學 電子工程學院，湖北 武漢 430033)

在傳統(tǒng)的聲吶信號處理中，高斯模型占據(jù)著主導地位。隨著現(xiàn)代主動聲吶體制向低頻、大功率、大孔徑方向發(fā)展，混響對聲吶性能的影響日趨嚴重，如何有效地抑制混響干擾成為主動聲吶信號處理的首要任務(wù)。大量實踐表明，沿襲傳統(tǒng)的高斯分布假設(shè)，往往不能取得理想的抗混響效果。因此，放棄高斯假設(shè)而采用非高斯分布假設(shè)在水聲信號處理業(yè)界已成為一種趨勢[1-2]。 近年來，α穩(wěn)定分布作為一種非高斯分布模型，具有統(tǒng)計分布的穩(wěn)定性和概率密度函數(shù)(probability density function，PDF)的代數(shù)拖尾特點，在信號處理領(lǐng)域受到了廣泛的重視，己成為常用的沖激信號統(tǒng)計模型[3-7]。作為唯一的一類構(gòu)成獨立同分布隨機變量之和的極限分布[4]，α穩(wěn)定分布是廣義的高斯分布，通過調(diào)整特征指數(shù)α的值實現(xiàn)對PDF拖尾厚度的控制，可以對PDF為單峰鐘形隨機信號統(tǒng)計特性進行靈活地描述，比高斯分布具有更廣泛的適用性。而以混響為主的主動聲吶背景干擾，其瞬時幅度樣本是均值為零、正負樣本量大致相等、上下包絡(luò)線基本對稱的隨機信號[1-2]，即其PDF恰好是以0為中心左右對稱的單峰鐘形曲線。因此，本文將原點位置對稱α穩(wěn)定分布(SαS, symmetric alpha-stable distribution)引入到混響非高斯PDF建模中，并使用仿真和實測數(shù)據(jù)對這一建模方法的可行性和正確性進行檢驗，最后通過大量海試混響數(shù)據(jù)建模結(jié)果分析，對混響數(shù)據(jù)的SαS分布規(guī)律進行歸納總結(jié)。

1 混響的特點與SαS分布簡介

1.1 混響數(shù)據(jù)的特點

海洋混響是海洋信道中一切散射作用的總和。從瞬時幅度上看，它是緊跟在發(fā)射之后、總體由強至弱的一連串衰減(可能還有起伏震蕩)波形。

圖1給出了一段典型的主動聲吶陣元級接收數(shù)據(jù)波形，從中可以分析歸納混響數(shù)據(jù)的一般特點。

引發(fā)這段數(shù)據(jù)的發(fā)射信號是4 s脈寬的HFM脈沖。前4 s為發(fā)射脈沖直達聲，稱為直達聲區(qū)。事實上，發(fā)射伊始即引發(fā)混響，亦即，直達聲區(qū)中也有不完整發(fā)射脈沖引發(fā)的混響，但因其混疊于直達聲中難以分離，且此處視為主動聲吶近程盲區(qū)，一般不對其內(nèi)的混響進行研究。直達聲結(jié)束后，數(shù)據(jù)幅度從與直達聲等高度逐漸衰減，直至不再明顯降低，大致如圖中的4～12 s段所示，這一段是典型混響區(qū)域，稱為混響限制區(qū)，該區(qū)域內(nèi)，混響強度高于背景噪聲，是聲吶的主要背景干擾。大致從12 s向后，混響淹沒于背景噪聲之中，以海洋環(huán)境噪聲為主的背景噪聲成為主要的背景干擾，混響的影響可以忽略，而背景噪聲是寬平穩(wěn)的，故接收數(shù)據(jù)幅度不再明顯變化，此段稱為噪聲限制區(qū)。根據(jù)聲吶量程，噪聲限制區(qū)可以延續(xù)很長，這里僅給出一部分。不難理解，研究混響數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性，要基于混響限制區(qū)內(nèi)的數(shù)據(jù)進行。

從圖1中還直觀可見，混響數(shù)據(jù)是0均值的、正負樣本量大致相等、上下包絡(luò)線基本對稱，這意味著，可以使用0均值對稱單鐘型曲線來對混響數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)進行擬合建模。零均值高斯分布、混合高斯分布，和下面要介紹的SαS分布，其PDF恰好就是這樣一類曲線。

1.2 SαS分布簡介

若隨機變量X具有如下形式的特征函數(shù)[3]：

φ(t)=E[exp(itX)]=

exp{iμt-γ|t|α[1+iβsgn(t)ω(t,α)]}

(1)

則稱X服從α穩(wěn)定分布，記為X～S(α,β,γ,μ)。其中，

式中：α為特征指數(shù)，表征穩(wěn)定分布脈沖特性強弱，α∈(0,2]，值越小，則所對應(yīng)分布的拖尾越厚，非高斯脈沖特性越顯著；γ為離差，亦稱為尺度參數(shù)、分散系數(shù)，表征穩(wěn)定分布隨機變量偏離其均值或中值的程度，γ∈(0,∞)，定義σ=γ1/α為標準離差；β為偏斜指數(shù)，表征穩(wěn)定分布的偏斜程度，β∈[-1,1]，β=0、β>0和β<0時，分別對應(yīng)穩(wěn)定分布無偏斜(對稱)、右偏斜和左偏斜情況；μ為位置參數(shù)，表征穩(wěn)定分布的均值(α>1時)或中值(α≤1時)，μ∈(-∞,∞)。

α穩(wěn)定分布特征函數(shù)與其PDF是一對傅立葉變換[3]，可通過對特征函數(shù)進行傅立葉變換得到PDF：

f(x;α,β,γ,μ)=

(2)

除幾組特殊參數(shù)取值外，式(2)一般沒有封閉的解析表達式，需要以數(shù)值積分方式計算[8-9]。圖2給出了以這種方式計算繪出的不同參數(shù)取值時的α穩(wěn)定分布的PDF曲線比較。從各圖中參數(shù)變化時的PDF曲線對比，可以清晰地看到對應(yīng)參數(shù)的物理意義體現(xiàn)。

一些常見分布可以看作是α穩(wěn)定分布S(α,β,γ,μ)的特例[3]，比如：當α=2、β=0時，S(2,0,γ,μ)就是高斯分布(μ,2γ)；當α=1、β=0時，S(1,0,γ,μ)就是柯西分布(μ,γ)。

當偏斜指數(shù)β=0時，α穩(wěn)定分布稱為對稱α穩(wěn)定分布，記為SαS分布。不難發(fā)現(xiàn)，高斯分布、柯西分布都是SαS分布的特例。正常狀態(tài)下的主動聲吶背景干擾數(shù)據(jù)，包括混響數(shù)據(jù)，其樣本都是無偏斜且0均值的，故可用位置參數(shù)μ=0的SαS分布來擬合其PDF，可把這種分布稱為原點位置SαS分布，簡記作Sα(γ)。

可以看到，Sα(γ)分布僅有2個參數(shù)：特征指數(shù)α和離差γ，就像常用的高斯分布一樣簡潔。值得指出，在對混響數(shù)據(jù)進行非高斯PDF建模時，堪用的模型，即使最簡潔的二階0均值混合高斯模型ZMGM(2)，也有3個參數(shù)[1]。相對少的參數(shù)意味著相對快捷而精確的參數(shù)估計算法，在這一點上，Sα(γ)具有無可比擬的優(yōu)勢。

圖2 不同參數(shù)下的S(α,β,γ,μ)分布PDF變化

2 混響數(shù)據(jù)SαS分布建模方法

獲取合格而足量的混響樣本數(shù)據(jù)后，即可以原點位置SαS分布對其進行建模。而建模的核心任務(wù)是，如何構(gòu)建Sα(γ)的2個未知參數(shù)α和γ估計器。

一般的α穩(wěn)定分布S(α,β,γ,μ)參數(shù)估計問題，已經(jīng)有很多文獻研究[3,8，10]。如前分析，混響數(shù)據(jù)實際上可以簡化的α穩(wěn)定分布，即Sα(γ)分布進行PDF建模，故針對這一特點，本文從諸多方法中予以選取并簡化改進，建立了如下2種方法：正負矩法和對數(shù)矩法。

2.1 正負矩法

設(shè)隨機變量X～Sα(γ)，則有[3]：

(3)

式中：

M|X|(p)?E(|X|p)=C(p,α)γp/α

(4)

(5)

這里，Γ(·)為伽馬函數(shù)，定義為[8]：

(6)

由式(3)～(5)，有：

(7)

2.2 對數(shù)矩法

設(shè)隨機變量X～Sα(γ)，則由式(4)有：

E(|X|p)=E(epln|X|)=C(p,α)γp/α

(8)

引入負階矩和分數(shù)階矩概念后，式(8)在p=0處連續(xù)[3]。定義隨機變量Y=ln|X|，則Y的矩母函數(shù)為：

(9)

故Y的任意k階矩都是有限的，且滿足：

(10)

k=1時可得Y的一階原點矩(均值)為:

(11)

式中ce為Euler常數(shù)。同理可得Y的二階中心距(方差)為：

(12)

應(yīng)當指出，式(11)與(12)中已無矩母函數(shù)自變量(亦即正負矩法的中階數(shù))p，這就是說，對數(shù)矩法不需要p初值設(shè)定，恰與正負矩法形成補充，二者估計結(jié)果可以相互印證。

2.3 仿真實例

首先使用PDF可設(shè)定的仿真數(shù)據(jù)檢驗Sα(γ)分布對高斯和非高斯PDF的擬合能力。

圖4 SαS分布Sα(γ)對非高斯數(shù)據(jù)PDF的擬合性能

3 混響數(shù)據(jù)的SαS分布特性分析

本節(jié)以數(shù)組低頻主動拖曳線列陣聲吶(0411三亞海試)數(shù)據(jù)分析為例，驗證以混響為主的主動聲吶背景干擾數(shù)據(jù)(即圖1所示中的混響限制區(qū)內(nèi)數(shù)據(jù)，簡稱為混響)SαS分布PDF建模方法的正確性，并初步歸納混響PDF的SαS分布規(guī)律。

3.1 建模方法驗證

(0411三亞海試)發(fā)射3種主動脈沖信號：Ⅰ表示脈寬為432 ms、頻率為750 Hz的CW脈沖，稱為窄帶短脈沖；Ⅱ表示同樣脈寬、頻帶為650～850 Hz的LFM脈沖，稱為寬帶短脈沖；Ⅲ表示脈寬為1 296 ms、同樣頻帶的LFM脈沖，稱為寬帶長脈沖。使用80元拖曳線列陣接收回波數(shù)據(jù)。進行PDF建模前數(shù)據(jù)已經(jīng)過帶通濾波→波束形成→移頻→降采樣→幅值歸一化等處理[1,11]。

圖5～7分別給出了3段3種脈沖混響數(shù)據(jù)的波形圖和SαS分布PDF建模擬合圖。為便于比較，圖5～7(b)圖中同時繪出了：① 使用柱狀圖統(tǒng)計法得到的PDF曲線，圖中標記為HS。在足夠樣本量下，HS曲線可視為真實分布。② 使用正負矩法Sα(γ)參數(shù)估計得到PDF擬合曲線，圖中標記為NM。③ 使用對數(shù)矩法Sα(γ)參數(shù)估計得到PDF擬合曲線，圖中標記為LM。NM和LM方法得到的α、γ參數(shù)估計值也同時標記于圖5～7(b)圖上方。

圖5 一段窄帶短脈沖混響數(shù)據(jù)SαS分布驗?zāi)?/p>

圖6 一段寬帶短脈沖混響數(shù)據(jù)SαS分布驗?zāi)?/p>

圖7 一段寬帶長脈沖數(shù)據(jù)SαS分布驗?zāi)?/p>

由圖可見，負階矩法、對數(shù)矩法2種參數(shù)估計方法得到的參數(shù)估計值幾乎完全相同，擬合的NM和LM曲線幾乎完全重合。而此二者又與統(tǒng)計得到的HS曲線幾乎完全重合。這說明，這2種參數(shù)估計方法具有幾乎完全相同的PDF建模精度，都能夠真實反映數(shù)據(jù)的PDF特性。換言之，SαS分布Sα(γ)可以精確反映混響數(shù)據(jù)的PDF，其參數(shù)估計選用正負矩法或?qū)?shù)矩法皆可。從運算速度看，對數(shù)矩法略優(yōu)。下文選用對數(shù)矩法。

3.2 建模結(jié)果分析

表1 海試混響數(shù)據(jù)α估值分布區(qū)間統(tǒng)計

4 結(jié)論

1)SαS分布可對主動聲吶背景干擾進行較好的概率密度擬合；

2)在混響限制區(qū)內(nèi)，主動聲吶背景干擾的特征指數(shù)α近半數(shù)集中在1.6～1.9，表現(xiàn)出一定的非高斯性。