金永學(xué)，徐 棟，鄭明萬，賈 棟

（1.同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海200092；2.濟(jì)南市市政工程設(shè)計(jì)研究院（集團(tuán)）有限責(zé)任公司，山東濟(jì)南250002）

橋梁伸縮縫有著釋放溫度變化產(chǎn)生的縱向變形和汽車荷載產(chǎn)生的縱向變形及梁端轉(zhuǎn)動(dòng)變形的作用［1］。然而，伸縮縫直接承受車輪荷載的反復(fù)沖擊且易因灰土雜物的堵塞而失去作用。其作為橋梁的薄弱部位病害多發(fā)、耐久性差，需要進(jìn)行長(zhǎng)期的維護(hù)和更換［2］。由此設(shè)想，對(duì)于一些中小跨徑的橋梁，可以取消橋梁的伸縮縫將梁與橋臺(tái)連成一體。這樣的橋梁被稱為整體式橋臺(tái)橋梁。

由于整體式橋臺(tái)橋梁的上部結(jié)構(gòu)與下部結(jié)構(gòu)連成一體，在計(jì)算時(shí)需要同時(shí)建立上、下部結(jié)構(gòu)模型并考慮結(jié)構(gòu)-土相互作用。針對(duì)結(jié)構(gòu)模型問題，Diclei［3-4］提出一種簡(jiǎn)化的二維框架模型，橋臺(tái)樁基礎(chǔ)及樁側(cè)土作用通過一定長(zhǎng)度的懸臂梁等效，而Faraji等［5］提出了三維彈簧-框架的有限元模型，采用離散的文克勒土彈簧作為橋梁結(jié)構(gòu)的邊界條件，三維模型能夠計(jì)算出橋梁受力的空間效應(yīng)，且相較于等代懸臂梁法，土彈簧對(duì)土體進(jìn)行模擬更為準(zhǔn)確，故三維彈簧-框架的計(jì)算模型目前更為人們所接受；針對(duì)結(jié)構(gòu)-土相互作用問題，根據(jù)彈性地基梁理論，一般認(rèn)為樁上任一點(diǎn)所受的橫向彈性土抗力與該點(diǎn)的位移成正比，且不考慮樁土之間的粘著力和摩阻力，即

式中：σxz為深度z處樁的彈性土抗力；Cz為深度z處的地基系數(shù)，表示單位面積土在彈性限度內(nèi)產(chǎn)生單位變形時(shí)所需的力；Xz為深度z處樁的橫向位移。

地基系數(shù)與土體類別、性質(zhì)有關(guān)，且隨深度變化而變化。常用的幾種確定地基系數(shù)的方法有：“m”法、“K”法、“c值”法和“C”法［6］。由于測(cè)試條件和分析方法的不同，幾種方法描述的地基系數(shù)隨深度的分布規(guī)律也有所差異。我國(guó)的《公路橋涵地基與基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范》JTG D63—2007［7］提供的確定地基系數(shù)的方法是“m”法，認(rèn)為地基系數(shù)Cz值隨深度成正比例地增長(zhǎng)，即

式中：m為地基比例系數(shù)；z為地基土深度。

湖南大學(xué)邵旭東、馬競(jìng)、劉釗等［8-9］在清遠(yuǎn)市四九橋的模型中將“m”法確定剛度的文克勒彈簧作為整個(gè)結(jié)構(gòu)的邊界條件，進(jìn)行整體式橋臺(tái)橋梁的力學(xué)性能分析。

結(jié)構(gòu)-土相互作用可以從臺(tái)-土相互作用和樁-土相互作用2個(gè)部分討論，二者的不同之處在于橋臺(tái)單側(cè)與土體相互作用，樁兩側(cè)均與土體相互作用。在只考慮土體受壓性能的條件下，對(duì)樁單側(cè)布置土彈簧作為邊界條件模擬樁-土相互作用是合理的；而臺(tái)后沿高度方向何處需要布置土彈簧應(yīng)根據(jù)具體工況具體分析：在某一給定工況下，結(jié)構(gòu)與土體擠壓的位置應(yīng)布置土彈簧，結(jié)構(gòu)與土體脫開的位置應(yīng)撤掉土彈簧，因此在計(jì)算過程中需要對(duì)結(jié)構(gòu)體系進(jìn)行反復(fù)調(diào)整。這種邊界條件非線性造成體系與荷載相關(guān)，給實(shí)橋的設(shè)計(jì)帶來諸多困難。我國(guó)的《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》JTG D60—2015［10］給出多種組合對(duì)橋涵進(jìn)行設(shè)計(jì)，每種組合下各項(xiàng)荷載又要考慮分項(xiàng)系數(shù)。對(duì)于整體式橋臺(tái)橋梁，具體分項(xiàng)系數(shù)下的荷載組合帶來較大的工作量，不利于設(shè)計(jì)與調(diào)整。

本文選取一座兩跨的整體式橋臺(tái)橋梁，建立簡(jiǎn)化的“單梁+單樁”實(shí)體有限元模型，其核心在于根據(jù)公式同時(shí)調(diào)整樁徑及土彈簧剛度，并驗(yàn)證簡(jiǎn)化手段的可行性。通過計(jì)算“單梁+單樁”模型在整體升溫工況下的梁端軸力與形心處線位移及跨中加載工況下的梁端彎矩及角位移，將下部結(jié)構(gòu)及土體對(duì)上部結(jié)構(gòu)的約束作用提取出來，轉(zhuǎn)化成加在梁端形心處的一個(gè)線彈簧與一個(gè)角彈簧的組合，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成2個(gè)與梁端形心豎向保持一定距離的線彈簧，作為上部結(jié)構(gòu)梁格模型的邊界條件。

1 工程概況

以一座兩跨整體式橋臺(tái)橋梁為計(jì)算實(shí)例，如圖1所示。主梁為2×40m連續(xù)預(yù)應(yīng)力混凝土小箱梁，兩端與橋臺(tái)固結(jié)，中部橋墩處設(shè)置固定支座。

橋臺(tái)位置處的橫斷面和橋臺(tái)具體尺寸如圖2、3所示。橫橋向6片小箱梁全寬16.7m，高2.0m；橋臺(tái)寬1.80m，高1.85m，背墻高2.30m，單側(cè)橋臺(tái)下布置5根鉆孔灌注樁，樁徑1m，樁長(zhǎng)15m，樁臺(tái)位置的土質(zhì)為粉質(zhì)黏土，粉質(zhì)黏土的地基比例系數(shù)取m=10 000kN·m-4。

整體式橋臺(tái)橋梁采用如下的方式進(jìn)行施工：在橋位處建造下部結(jié)構(gòu)；張拉正彎矩預(yù)應(yīng)力束，吊裝小箱梁形成簡(jiǎn)支梁體系；中支點(diǎn)澆筑，張拉頂板負(fù)彎矩預(yù)應(yīng)力束形成連續(xù)梁體系；邊支點(diǎn)澆筑，主梁與橋臺(tái)固結(jié)；臺(tái)后填土，臺(tái)后土壓力傳遞至結(jié)構(gòu)上。

2 基于統(tǒng)一邊界和梁格模型的整體式橋臺(tái)橋梁分析方法

2.1 概述

基于統(tǒng)一邊界和梁格模型的整體式橋臺(tái)橋梁的分析方法其思路在于：從實(shí)體有限元模型中提取出來邊界條件，作用于梁格模型上。由于邊界相對(duì)于主梁有尺度差異，計(jì)算需要更為精細(xì)，所以采用實(shí)體模型提取邊界條件。但實(shí)體模型往往計(jì)算量大，需要對(duì)其進(jìn)行一定的簡(jiǎn)化，因此考慮將全橋模型轉(zhuǎn)化成“單梁+單樁”模型。

圖1 1/2橋梁立面（單位：cm）Fig.1 The elevation of half bridge(unit:cm)

圖2 橋臺(tái)位置處橫斷面（單位：cm）Fig.2 Cross section at abutment location(unit:cm)

臺(tái)后土彈簧的非線性導(dǎo)致了體系的不確定性，針對(duì)這一問題，需要根據(jù)代表性工況對(duì)邊界條件進(jìn)行統(tǒng)一。梁格模型的邊界條件可以看作是由置于梁端形心處的一個(gè)角彈簧和一個(gè)線彈簧組成，進(jìn)一步地可以轉(zhuǎn)化成置于梁端的2個(gè)具有一定距離的線彈簧。在“單梁+單樁”模型中，通過整體升溫工況，得到梁端軸向力和形心處線位移，求出線彈簧剛度；通過跨中集中力加載工況，得到梁端彎矩及角位移，求出角彈簧剛度。實(shí)體有限元模型中提取的邊界條件將應(yīng)用于梁格模型中。

2.2 “單梁+單樁”的簡(jiǎn)化模型

整體式橋臺(tái)橋梁的模擬不同于常規(guī)橋梁，需要同時(shí)建立上部結(jié)構(gòu)和下部結(jié)構(gòu)聯(lián)合分析。但在建模過程中，可以借鑒常規(guī)橋梁全橋簡(jiǎn)化成“單梁”的思路，將整體式橋臺(tái)橋梁簡(jiǎn)化成“單梁+單樁”的模型。本例中存在梁數(shù)和樁數(shù)不對(duì)等的問題，需要強(qiáng)行改變梁或樁的數(shù)量。假定梁的數(shù)量、尺寸不發(fā)生變化，則需要調(diào)整樁的數(shù)量、尺寸及土彈簧剛度，以保證變化前后下部結(jié)構(gòu)對(duì)上部結(jié)構(gòu)的約束效果不變。若關(guān)注樁的彎曲受力且認(rèn)為橋臺(tái)剛度足夠大，令變化前后樁截面總慣性矩不變，有

其中，調(diào)整前單樁樁徑d1=1 000mm，則調(diào)整后單樁樁徑d2=955mm，調(diào)整前后的樁截面如圖4所示。

顯然，在不考慮樁側(cè)土影響的情況下，這樣的簡(jiǎn)化是成立的。考到樁后總面積的增加，土體的抗推剛度增加，需要對(duì)土彈簧剛度做出調(diào)整。楊位洸［11］推導(dǎo)了樁的內(nèi)力與位移的具體計(jì)算公式。在其公式的基礎(chǔ)上，假定樁底順橋向線位移為零，彎矩為零，則有樁頂橫向位移x0、轉(zhuǎn)角φ0如下：

圖3 橋臺(tái)具體尺寸（單位：cm）Fig.3 Dimensions of the abutment(unit:cm)

圖4 調(diào)整前后的樁截面（單位：mm）Fig.4 The pile section before and after adjustment(unit:mm)

其中，M0為樁頂彎矩，Q0為樁頂水平力，m為地基比例系數(shù)，α為樁變形系數(shù)，b為樁計(jì)算寬度，E為樁材料彈性模量，I為樁截面抗彎慣性矩，A、B、C、D項(xiàng)都是與α有關(guān)的參數(shù)。由于分式較為復(fù)雜，若令剛度不變就需要令樁變形系數(shù)α不變，已知調(diào)整前的樁截面慣性矩I1等于調(diào)整后樁截面慣性矩I2，若使調(diào)整前樁變形系數(shù)α1與調(diào)整后樁變形系數(shù)α2相等，有

式中：下角標(biāo)1表示調(diào)整前，下角標(biāo)2表示調(diào)整后，即m1為調(diào)整前的地基比例系數(shù)，m2表示調(diào)整后的地基比例系數(shù)，b1表示調(diào)整前的樁基計(jì)算寬度，b2表示調(diào)整后的樁基計(jì)算寬度。已知d1=1.000m，d2=0.955m，m1=10 000.0kN · m-4，則 m2=8 431.5kN·m-4。關(guān)于此推導(dǎo)的理想解釋是，雖然變化前后樁的截面抗彎慣性矩沒變，但樁后總周長(zhǎng)增加導(dǎo)致樁土相互作用面積增加，只有減小地基系數(shù)m（相當(dāng)于減小土彈簧剛度），才能保證變化前后下部結(jié)構(gòu)對(duì)上部結(jié)構(gòu)的約束不變。

為了驗(yàn)證簡(jiǎn)化模型的可行性，分別建立簡(jiǎn)化前、簡(jiǎn)化后僅調(diào)整樁徑和簡(jiǎn)化后同時(shí)調(diào)整樁徑與土彈簧剛度的下部結(jié)構(gòu)模型，對(duì)3個(gè)模型的樁頂施加相同大小的z向彎矩105kN·m，如圖5所示。

圖5 相同彎矩下的3種下部結(jié)構(gòu)模型Fig.5 Three substructure models under the same bending moment

樁身的位移和轉(zhuǎn)角結(jié)構(gòu)如圖6所示。

對(duì)3個(gè)模型的樁頂施加相同大小的x向水平力105kN，如圖7所示。

樁身的位移和轉(zhuǎn)角結(jié)構(gòu)如圖8所示。

從圖6、圖8中可以看出，只調(diào)整樁徑得到的樁身剛度與簡(jiǎn)化前的模型相比具有一定的誤差，尤其在樁頂部，相同荷載下的位移與轉(zhuǎn)角誤差較大。而同時(shí)調(diào)整樁徑與土彈簧剛度得到的樁身剛度與簡(jiǎn)化前的模型相比誤差很小，說明這種簡(jiǎn)化是可行的。

建立“單梁+單樁”的實(shí)體有限元模型如圖9所示。其中，混凝土用Solid單元模擬，預(yù)應(yīng)力鋼絞線及鋼筋用Truss單元模擬?；炷?、鋼筋與鋼絞線都視為均勻彈性體，以彈性模量與泊松比表示結(jié)構(gòu)的材料特性。嚴(yán)格按照實(shí)際尺寸建模，z軸沿橋梁縱向，y軸豎直向上，x軸沿橋梁橫向。

圖6 3種下部結(jié)構(gòu)模型在相同彎矩下的樁身變形Fig.6 Pile deformation of three substructure models under the same bending moment

圖7 相同水平力下的3種下部結(jié)構(gòu)模型Fig.7 Three substructure models under the same horizontal force

圖8 3種下部結(jié)構(gòu)模型在相同水平力下的樁身變形Fig.8 Pile deformation of three substructure models under the same horizontal force

圖9 “單梁+單樁”模型Fig.9 The“single beam+single pile”model

臺(tái)后及樁后的土彈簧布置如圖10所示。臺(tái)后在每約0.2m×0.2m的尺寸范圍內(nèi)布置一個(gè)土彈簧，樁后每隔1m的深度布置一個(gè)土彈簧，土彈簧剛度根據(jù)計(jì)算取值。

圖10 土彈簧布置Fig.10 Soil spring arrangement

2.3 基于“單梁+單樁”模型的上部結(jié)構(gòu)邊界條件

擬將“單梁+單樁”模型的相關(guān)計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)換成上部結(jié)構(gòu)的梁格模型的邊界條件，用于梁的組合工況計(jì)算中，思路如下：

將梁格模型的邊界條件處理成一個(gè)約束梁端位移的線彈簧與一個(gè)約束梁端轉(zhuǎn)動(dòng)的角彈簧，如圖11所示。線彈簧剛度及角彈簧剛度由“單梁+單樁”模型在以下2種特定的工況計(jì)算：①在整體升溫10℃的情況下，計(jì)算梁端的軸力和形心處線位移；②在單跨跨中施加1 000kN的集中力時(shí)，計(jì)算梁端的彎矩和角位移。

圖11 置于梁端形心位置的角彈簧與線彈簧Fig.11 An angle spring and a wire spring placed at the centroid of the beam end

如圖12所示，整體升溫10℃，梁端的軸力為961.4kN，梁端形心線位移為3.26mm。根據(jù)計(jì)算獲得線彈簧的剛度kl為：

如圖13所示，單跨跨中施加1 000kN的集中力，梁端彎矩為2 858kN·m，梁端角位移為：根據(jù)計(jì)算獲得角彈簧的剛度kr為：

圖12 整體升溫情況下的物理量Fig.12 Quantities under the condition of overall heating

進(jìn)一步地，將角彈簧與線彈簧的組合轉(zhuǎn)化成2個(gè)有一定距離的線彈簧，設(shè)轉(zhuǎn)化前角彈簧剛度為kr，線彈簧剛度為kl；轉(zhuǎn)化后2個(gè)線彈簧組的剛度分別為k1和k2。如圖14所示，轉(zhuǎn)化前后應(yīng)保證在相同軸力下的位移及相同彎矩下的轉(zhuǎn)角不變，存在以下的剛度換算關(guān)系：

將剛度換算公式簡(jiǎn)化后有

設(shè)d1=4m，求解得

圖13 單跨跨中加載情況下的物理量Fig.13 Quantities under single-span loading

圖14 線彈簧剛度求解Fig.14 Calculation of wire spring stiffness

3 計(jì)算模型及結(jié)果

3.1 梁格模型及荷載

圖15 梁格模型的邊界條件Fig.15 Boundary condition of grillage model

取預(yù)制梁和現(xiàn)澆段作為梁格模型的縱向單元，預(yù)制梁和現(xiàn)澆段之間通過虛擬橫梁連接，虛擬橫梁的厚度為頂板厚度，長(zhǎng)度為預(yù)制梁外側(cè)加腋根部至現(xiàn)澆段形心，如圖16所示。沿順橋向每1m對(duì)主梁進(jìn)行劃分，端部適當(dāng)加密。建立的梁格模型如圖17所示。

圖16 梁格模型劃分Fig.16 Division of grillage model

圖17 全橋梁格模型Fig.17 Grillage model of whole bridge

考慮的荷載包括恒載、二期恒載、活載、整體溫度作用、梯度溫度作用、基礎(chǔ)沉降、徐變。其中，參考《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》JTG D60—2015，設(shè)計(jì)車道荷載采用公路Ⅰ級(jí)（即均布荷載標(biāo)準(zhǔn)值為10.5kN·m-1，集中荷載標(biāo)準(zhǔn)值為340kN）；以寒冷地區(qū)為基準(zhǔn)，混凝土橋梁的有效溫度標(biāo)準(zhǔn)值，最低為—10℃，最高為34℃，故考慮整體升降溫為22℃；按照《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》JTG D60—2015，考慮梯度升降溫的影響，其中梯度降溫?cái)?shù)值為梯度升溫?cái)?shù)值的一半；基礎(chǔ)沉降分成中墩沉降1cm和2個(gè)邊墩同時(shí)沉降1cm這2種情況討論；與徐變有關(guān)的年平均濕度取65%，預(yù)制小箱梁認(rèn)為存放3個(gè)月，加載齡期取90d，現(xiàn)澆段的加載齡期為28d。

3.2 計(jì)算結(jié)果

通過梁格模型查看幾種荷載下主梁結(jié)構(gòu)內(nèi)力，分析如下：

將施工完畢、徐變10年后及一次落架的結(jié)構(gòu)彎矩進(jìn)行對(duì)比，如圖18所示?？梢钥闯?，盡管從施工步驟上來說，整體式橋臺(tái)橋梁的恒載主要由簡(jiǎn)支梁承擔(dān)，但由于徐變作用，其內(nèi)力向著一次落架施工的方向上靠攏，且徐變對(duì)結(jié)構(gòu)影響很明顯。

圖18 徐變作用下的結(jié)構(gòu)彎矩Fig.18 Moment of structure under creep

整體溫度作用下結(jié)構(gòu)彎矩如圖19所示。在整體升溫工況下，梁端產(chǎn)生負(fù)彎矩，整體降溫產(chǎn)生正彎矩。整體式橋臺(tái)橋梁由于受到下部結(jié)構(gòu)及土體的約束，在溫度作用下梁體脹縮，端部會(huì)受到彎矩作用，這種情況與框架梁較類似。

基礎(chǔ)作用下結(jié)構(gòu)彎矩如圖20所示。在中支點(diǎn)沉降情況下，由于下部結(jié)構(gòu)的約束作用，會(huì)導(dǎo)致梁端產(chǎn)生負(fù)彎矩，邊支點(diǎn)沉降產(chǎn)生正彎矩。

對(duì)幾種荷載進(jìn)行組合，以《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》JTG D60—2015中的基本組合為例，取結(jié)構(gòu)重要性系數(shù)1.1，恒載作用分項(xiàng)系數(shù)1.2，基礎(chǔ)變位分項(xiàng)系數(shù)0.5，活載作用分項(xiàng)系數(shù)1.4，整體溫度作用及梯度溫度作用分項(xiàng)系數(shù)1.4，組合值系數(shù)0.75。組合后的彎矩值與規(guī)范值的比較結(jié)果如圖21所示，彎矩值均小于抗力值。由于提取邊界條件后得到了一個(gè)線性體系，因此能夠?qū)崿F(xiàn)上部結(jié)構(gòu)在多種荷載組合下的驗(yàn)算，方便指導(dǎo)設(shè)計(jì)工作。

圖19 整體溫度作用下的結(jié)構(gòu)彎矩Fig.19 Moment of structure under integral heating

圖20 基礎(chǔ)沉降作用下的結(jié)構(gòu)彎矩Fig.20 Moment of structure under settlement

圖21 承載能力極限狀態(tài)的抗彎承載力Fig.21 Bending capacity in ultimate limit states

4 結(jié)論

（1）在采用“m”法確定文克勒土彈簧剛度的基礎(chǔ)上，提出了一種簡(jiǎn)化模型，并通過同時(shí)調(diào)整樁徑和土彈簧剛度保證了下部結(jié)構(gòu)對(duì)上部結(jié)構(gòu)的約束作用不變。對(duì)原下部結(jié)構(gòu)和簡(jiǎn)化后的下部結(jié)構(gòu)施加相同的單位荷載發(fā)現(xiàn)樁端位移接近，驗(yàn)證了簡(jiǎn)化手段的可行性。

（2）考慮2種代表性工況下簡(jiǎn)化模型上部結(jié)構(gòu)端部的內(nèi)力及位移，計(jì)算剛度后將2個(gè)線彈簧作為邊界條件，安裝到上部結(jié)構(gòu)的梁格模型的端部。由此能夠?qū)崿F(xiàn)上部結(jié)構(gòu)在不同荷載組合下的驗(yàn)算與調(diào)整，為整體式橋臺(tái)橋梁上部結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供一種新思路。

（3）在《公路橋涵地基與基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范》JTG D63—2007中，計(jì)算樁在非巖石地基中水平位移及作用效應(yīng)時(shí)采用“m”法。而對(duì)于巖石地基，則認(rèn)為其抗力系數(shù)Cz不隨巖層埋深變化，即Cz=C0，此時(shí)計(jì)算方法中的土彈簧剛度的確定應(yīng)按照規(guī)范取巖石地基抗力系數(shù)C0。

作者貢獻(xiàn)申明：

金永學(xué)：推導(dǎo)理論公式、數(shù)值計(jì)算及撰寫論文。

徐 棟：提出理論及指導(dǎo)論文撰寫。

鄭明萬：提供數(shù)據(jù)及整理資料。

賈 棟：提供數(shù)據(jù)及整理資料。