劉天明，閻慧臻，馬晨光，楊飛飛，曹穎鴻

(大連工業(yè)大學 信息科學與工程學院,遼寧 大連 116034)

0 引 言

近年來的分數階微積分的相關研究表明，相比于整數階微積分，分數階微積分可以更好地描述客觀物理世界[1]，因此針對分數階微積分的研究成為熱點。針對Chen系統(tǒng)[2]、Liu系統(tǒng)[3]和簡化Lorenz系統(tǒng)[4]等非線性混沌系統(tǒng)的研究發(fā)現，相比于整數階混沌系統(tǒng)，分數階混沌系統(tǒng)具有更為復雜的動力學特性[5-6]。

目前，分數階混沌系統(tǒng)的求解算法主要有頻域法(FDM)[7]、預估校正法(ABM)[8]和Adomian分解法(ADM)[9]。這些算法普遍采用的是黎曼-劉維爾定義和卡普托定義，但它們都存在一些問題：首先是其不能滿足整數階微積分所滿足的一些重要性質[10]，例如乘積法則和鏈式法則；其次，計算過程非常復雜[11-12]。因此，Khalil等[13]提出了一種新的分數微積分定義——可整合分數微積分。該分數階微積分定義和性質與ADM算法相結合可以很好彌補現有算法求解分數階微分方程的不足[14-15]。CADM算法改進ADM算法，降低了計算的復雜程度，并具備較快的收斂速度、計算速度和較小的資源消耗等優(yōu)點[10]。CADM算法求解分數階混沌系統(tǒng)正逐漸成為研究的熱點[16-18]。

分數階混沌系統(tǒng)的應用[19-21]實際依賴信號處理的軟硬件技術。數字信號處理器(DSP)以其性能優(yōu)越、處理方便等優(yōu)點在工程上得到了廣泛的應用。基于此，本研究利用DSP技術，對提出的四維分數階混沌系統(tǒng)進行了硬件實現。

本研究在一個四維Sprott-B混沌系統(tǒng)的基礎上，利用可整合微積分定義構造該四維混沌系統(tǒng)的分數階形式?；贑ADM算法求取該分數階系統(tǒng)的數值解，對其動力學行為進行了分析，利用0-1測試驗證產生混沌最小階數，同時用SE和C0復雜度算法分析了該系統(tǒng)隨機性。最后運用DSP技術對該系統(tǒng)進行了硬件實現。

1 分數階混沌系統(tǒng)數值分析

1.1 分數階混沌系統(tǒng)CADM求解算法

設一個分數階系統(tǒng)方程為

(1)

(2)

(3)

將系統(tǒng)非線性項進行分解：

(4)

式中：i=0，1，2，…；j=1，2，…。則方程數值解為

(5)

式中：

(6)

1.2 分數階混沌系統(tǒng)求解

在文獻[22]提出的Sprott-B系統(tǒng)的基礎上設計了一個新的四維自治混沌系統(tǒng)如式(7)所示。

(7)

式中：x，y，z，w為狀態(tài)變量；a，b，c為系統(tǒng)參數。

根據分數階微積分定義，式(7)對應的分數階系統(tǒng)為

(8)

式中：q為系統(tǒng)階數。分解式(8)可得其中的線性項、非線性項和常數項分別為

(9)

(10)

(11)

根據式(4)對系統(tǒng)非線性項進行分解，在保證精度的基礎上取前6項可得

(12)

(13)

(14)

設該分數階混沌系統(tǒng)的初值為x0=[x1(0)，x2(0)，x3(0)，x4(0)]，展開式第一項為

(15)

同時令

(16)

(17)

令h=t-t0為步長，同時

(18)

則第二項可表示為

(19)

類似地，可得其他5項展開式分別為

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

由此可得此時分數階混沌系統(tǒng)解為

(25)

2 分數階混沌系統(tǒng)動力學特性分析

2.1 系統(tǒng)仿真

取式(7)系統(tǒng)參數a=4、b=9、c=5和q=0.8，步長h=0.01，x0=[1，1，1，1]，系統(tǒng)相圖如圖1所示。此時李雅普諾夫指數為L1=1.017 0、L2=0、L3=-12.547 9和L4=-16.720 6，系統(tǒng)維度DL=2.09。系統(tǒng)有一個正的李雅普諾夫指數，表明此時系統(tǒng)為混沌態(tài)。

此時系統(tǒng)Poincaré截面如圖2所示，圖中Poincaré截面既不是有限點集，也不是封閉曲線，是一些成片的具有分形結構的密集點，這種結構具備混沌系統(tǒng)的典型特征。

圖2 系統(tǒng)y-x平面的Poincaré截面(q=0.8)Fig.2 Poincaré section of the system on the y-x plane (q=0.8)

2.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

(26)

取a=4、b=9和c=5，此時系統(tǒng)平衡點為S1，2=(±3，±3，0，0)，系統(tǒng)特征方程為

λ32+9λ24+29λ16+126λ8+360=0

(27)

求解特征方程特征值，若其滿足

(28)

則系統(tǒng)在平衡點是漸進穩(wěn)定的[23]。其中M是分數階分母的最小公倍數。將特征值代入式(28)得

(29)

表明此時系統(tǒng)特征值滿足式(28)，所以系統(tǒng)在平衡點S1，2處是穩(wěn)定的。

2.3 系統(tǒng)參數變化對動力學特性的影響

2.3.1 參數a對系統(tǒng)動力學特性影響

取參數b=9、c=5和q=0.8，仿真步長h=0.01，系統(tǒng)初值x0=[1，1，1，1]，當a∈[1，5]時，系統(tǒng)的李雅普諾夫指數譜和分岔圖如圖3所示。為了更好觀察系統(tǒng)特性變化，在圖3(a)中舍去了最小的兩條李雅普指數曲線。當a在[2.98，3.03]，[3.46，3.5]，[4.27，4.33]和[4.34，5]范圍內取值時，系統(tǒng)最大的李雅普諾夫指數為零，所以a在這些區(qū)間內取值系統(tǒng)是周期態(tài)。在其他范圍內，最大的李雅普諾夫指數為正，系統(tǒng)是處于混沌態(tài)。表1總結了當系統(tǒng)隨參數a變化時所具有的復雜動力學行為。

(a) x-y平面相圖

(a) a=5.00

(a) 李雅普諾夫指數譜

表1 參數a變化的系統(tǒng)狀態(tài)Tab.1 The system status with a

由表1可知，參數a∈[1，5]時，系統(tǒng)中出現了一種典型的混沌吸引子和6種不同類型的周期態(tài)。圖4中分別取了周期1(a=5)、周期2(a=4.4)、周期5(a=4.16)和混沌態(tài)(a=4)時的相圖和0-1測試，圖中可以看到當系統(tǒng)處于周期態(tài)時，p-s平面上是有界的規(guī)則的運動；當系統(tǒng)處于混沌態(tài)時，p-s平面上是類似于布朗運動的無界運動。

2.3.2 參數b對系統(tǒng)動力學特性影響

取參數a=4、c=5和q=0.8，仿真步長h=0.01，系統(tǒng)初值x0=[1，1，1，1]，圖5是系統(tǒng)參數b∈[7，11]變化時的李雅普諾夫指數譜和分岔圖。圖5(a)同樣舍去最小的兩條李雅普諾夫指數曲線。從分岔圖中可以看到，隨著參數b增加，系統(tǒng)通過倍周期分岔從周期態(tài)進入混沌狀態(tài)，同時當參數b在[8.53，8.59]和[10.21，10.25]處時出現兩個較為明顯的周期窗口，這與李雅普諾夫指數譜是相對應的。

(a) 李雅普諾夫指數譜

如表2所示，系統(tǒng)參數b∈(7，11)時，系統(tǒng)出現了各種不同的動力學行為，有多種類型的周期態(tài)和混沌態(tài)出現，說明參數b的變化對系統(tǒng)動力學特性有較大的影響。

表2 參數b變化的系統(tǒng)狀態(tài)Tab.2 The system status with b

2.3.3 階數q對系統(tǒng)動力學特性的研究

取a=4、b=9和c=5，步長h=0.01，系統(tǒng)初值x0=[1，1，1，1]，q∈[0.5，1]。系統(tǒng)隨階數q變化的指數譜和分岔圖如圖6所示。從圖6(a)李雅普諾夫指數譜中可見，當q∈[0.53，1]，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。當q<0.52時，在分岔圖和李雅普諾夫指數譜中均沒有數值，系統(tǒng)處于發(fā)散狀態(tài)。

(a) q=0.53

(a) SE復雜度

(a) 李雅普諾夫指數譜

為了進一步分析系統(tǒng)適用于保密通信等領域的參數選擇范圍，更好的觀測混沌系統(tǒng)的動力學特性[24-27]。取系統(tǒng)階數q∈(0.5，1)，序列長度N=50 000，此時系統(tǒng)SE復雜度和C0復雜度如圖7所示。由圖(7)知，當q大于0.52時，SE復雜度和C0復雜度的變化趨勢是逐漸減小的，當q=1時，復雜度的值達到最小?？梢?，分數階混沌系統(tǒng)是比整數階混沌系統(tǒng)更為復雜，隨著階數減小，系統(tǒng)復雜度會相應變大，說明該系統(tǒng)的分數階狀態(tài)比整數階狀態(tài)具有高的應用價值。

由圖6可知q<0.52時，系統(tǒng)是發(fā)散的，為了驗證系統(tǒng)產生混沌的最小階數，引入了0-1測試。0-1測試的結果如圖8所示，當參數q=0.53時，測試結果為類布朗運動，說明系統(tǒng)是混沌的。如圖8(b)所示當參數q=0.52時，測試結果為穩(wěn)定點，說明系統(tǒng)是非混沌的。由此可得系統(tǒng)產生混沌的最小階數0.53×4=2.12。

3 分數階混沌系統(tǒng)DSP實現

完成分數階混沌系統(tǒng)的硬件實現是其實際應用的基礎。首先對DSP進行初始化，并進行系統(tǒng)初始設置。然后對系統(tǒng)式(8)進行迭代，將迭代結果數據推送入硬件系統(tǒng)后處理并將結果從DSP中輸出，最后使用數據進行初始值的替換并進行迭代，直到結束為止。在數據處理環(huán)節(jié)，DSP產生的數據被傳送入DAC8552中轉換成模擬信號傳送給示波器。

DSP硬件平臺中采用的DSP-芯片為TMS320F28335，采用16位雙通道D/A轉換器DAC8552對由DSP產生的時間序列進行轉換。D/A轉換器由DSP通過SPI(串行外圍接口)控制，把數字信號轉化為模擬信號傳送到示波器上顯示。

圖9為通過DSP平臺得到的混沌系統(tǒng)信號相圖。此處系統(tǒng)參數a=4、b=9和c=5，系統(tǒng)階數q=0.8，步長h=0.01，將其與計算機仿真得到的系統(tǒng)相圖進行比較，二者結果是一致的。

圖9 DSP實現系統(tǒng)相圖Fig.9 The system phase diagram of DSP implementation

4 結 論

設計了一種四維分數階系統(tǒng)，采用CADM分解算法求解了該四維分數階混沌系統(tǒng)的數值解并分析了該系統(tǒng)動力學特性。結果表明，該分數階混沌系統(tǒng)具有復雜的動力學行為。系統(tǒng)產生混沌的最小階數為2.12，而且通過復雜度分析可知，當q=0.53時，系統(tǒng)復雜度最高，此時混沌序列隨機性最好，安全性能最高。最后在DSP平臺上完成了該系統(tǒng)的硬件實現，結果體現了CADM算法的正確性以及分數階混沌系統(tǒng)的物理可實現性。研究結果為分數階混沌系統(tǒng)運用于保密通信等領域，提供了理論和實際應用基礎。