方 潔，姜明浩，李宗翰，劉 娜，鄧 瑋

(鄭州輕工業(yè)大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，河南 鄭州 450002)

0 引 言

混沌是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中存在一種特有的不可預(yù)測(cè)的、類似隨機(jī)性的運(yùn)動(dòng)形式。超混沌系統(tǒng)具有兩個(gè)或兩個(gè)以上正的李雅普諾夫指數(shù)，具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，超混沌系統(tǒng)構(gòu)建和實(shí)現(xiàn)是混沌研究的一個(gè)重要方向，對(duì)深入理解混沌信號(hào)產(chǎn)生的本質(zhì)以及工程實(shí)踐具有重要理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義[1]。

在已有文獻(xiàn)中，對(duì)混沌系統(tǒng)構(gòu)建研究大多是在實(shí)數(shù)域上完成的。Fang等[2]基于超混沌系統(tǒng)特征，構(gòu)建了新的四維超混沌系統(tǒng)，分析了動(dòng)力學(xué)特性并搭建了仿真電路。Zhang等[3]提出了具有蝴蝶效應(yīng)的超混沌系統(tǒng)，通過(guò)數(shù)值模擬和電路實(shí)現(xiàn)的方法，研究了系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。Rajagopal 等[4]構(gòu)建了一個(gè)由四維超混沌系統(tǒng)改進(jìn)而成的新型磁控四維混沌系統(tǒng)，并采用自適應(yīng)滑模控制方法實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的同步。Shikha等[5]構(gòu)建了具有雙渦旋吸引子的四維連續(xù)自治超混沌系統(tǒng)，通過(guò)理論分析和數(shù)值仿真研究系統(tǒng)基本動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。Singh等[6]構(gòu)造了3個(gè)具有二次平衡面的四維超混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)表現(xiàn)出3種超混沌態(tài)和5種混沌態(tài)。Chen等[7]提出了一個(gè)新的四維超混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)同時(shí)滿足高復(fù)雜度、強(qiáng)魯棒性和均勻分布帶寬等重要性質(zhì)。Yang等[8]通過(guò)將一個(gè)特定的三維混沌系統(tǒng)線性擴(kuò)充為六維系統(tǒng)，研究了如何用隱藏吸引子來(lái)創(chuàng)建一個(gè)特定的超混沌系統(tǒng)的方法。Ma等[9]基于憶阻電容器構(gòu)建了一個(gè)簡(jiǎn)單混沌電路，并在數(shù)字信號(hào)處理器平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)了該電路。馬旭炯等[10]構(gòu)造了一個(gè)四維離散超混沌系統(tǒng)，結(jié)合重復(fù)量化算法分析了其動(dòng)力學(xué)特性。

復(fù)混沌系統(tǒng)中存在復(fù)變量，復(fù)變量經(jīng)過(guò)虛實(shí)部分離后具有雙倍的變量數(shù)，產(chǎn)生的混沌信號(hào)具有更加不可預(yù)測(cè)性和隨機(jī)性，使得復(fù)混沌系統(tǒng)在保密通信領(lǐng)域有著巨大的應(yīng)用潛力。目前關(guān)于復(fù)混沌系統(tǒng)研究已經(jīng)取得了一系列進(jìn)展。黨紅剛等[11]研究了一個(gè)三維混沌復(fù)系統(tǒng)的基本性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的自適應(yīng)混沌同步和參數(shù)辨識(shí)。張芳芳等[12]研究了時(shí)滯復(fù)Lorenz系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性及時(shí)滯因數(shù)的影響，并基于非線性反饋控制方法實(shí)現(xiàn)了復(fù)Lorenz系統(tǒng)的自時(shí)滯混沌同步。Liu等[13]以超混沌復(fù)系統(tǒng)為載體，研究了該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，通過(guò)將脈沖注入控制參數(shù)中來(lái)增強(qiáng)該混沌系統(tǒng)的隨機(jī)性，并將其應(yīng)用于彩色圖像加密中。Sun等[14]構(gòu)建了一個(gè)新的復(fù)混沌系統(tǒng)，分析了其動(dòng)力學(xué)行為，實(shí)現(xiàn)了3個(gè)復(fù)混沌系統(tǒng)的組合函數(shù)投影同步。Huang等[15]在采樣數(shù)據(jù)控制的基礎(chǔ)上，通過(guò)將復(fù)混沌系統(tǒng)分解為2個(gè)實(shí)系統(tǒng)，研究了時(shí)滯復(fù)混沌Lur’e系統(tǒng)的主從同步問(wèn)題。Liu等[16]基于自適應(yīng)控制技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了具有已知或未知復(fù)變量的復(fù)混沌系統(tǒng)的組合函數(shù)投影同步。Mahmoud等[17]通過(guò)設(shè)計(jì)自適應(yīng)復(fù)滯后同步控制器，構(gòu)建了一組具有未知參數(shù)的復(fù)混沌系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)系統(tǒng)的滯后同步。Zhao等[18]采用主動(dòng)控制方案，研究了復(fù)數(shù)域上激光混沌系統(tǒng)的復(fù)雜自同步。

在實(shí)數(shù)域與復(fù)數(shù)域混沌系統(tǒng)研究的基礎(chǔ)上，基于產(chǎn)生超混沌系統(tǒng)需要滿足的2個(gè)必要條件構(gòu)建了一個(gè)新的四維超混沌系統(tǒng)。對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行了理論推導(dǎo)和數(shù)值模擬，研究了該系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性，并分析了參數(shù)改變時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的變化，從多方面驗(yàn)證了該系統(tǒng)的混沌行為。并以該超混沌系統(tǒng)為基礎(chǔ)，將系統(tǒng)變量從實(shí)數(shù)域擴(kuò)展到復(fù)數(shù)域，得到了一個(gè)新的復(fù)混沌系統(tǒng)。該復(fù)混沌系統(tǒng)具有2個(gè)正的李雅普諾夫指數(shù)，能夠產(chǎn)生豐富的動(dòng)力學(xué)行為。運(yùn)用Multisim軟件對(duì)所設(shè)計(jì)的超混沌系統(tǒng)及其對(duì)應(yīng)的復(fù)混沌系統(tǒng)進(jìn)行電路仿真，電路仿真結(jié)果和數(shù)值分析結(jié)果吻合，表明了所設(shè)計(jì)新混沌系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性。

1 超混沌系統(tǒng)分析

構(gòu)建超混沌系統(tǒng)必須滿足2個(gè)必要條件：一是對(duì)于自治系統(tǒng)而言，至少是四維的；二是至少有2個(gè)正的李雅普諾夫指數(shù)且所有李雅普諾夫指數(shù)之和小于零?；?個(gè)必要條件，構(gòu)造四維超混沌系統(tǒng)如式(1)。

(1)

式中：a，b，c，d，r，e為實(shí)常數(shù)。當(dāng)參數(shù)a=27，b=1.5，c=5，d=43，r=0.5，e=3.5時(shí)，系統(tǒng)存在一典型的超混沌吸引子，如圖1所示。

2 新超混沌系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性

2.1 耗散性和吸引子的存在性

通過(guò)式(1)所構(gòu)造四維超混沌系統(tǒng)的梯度(能量函數(shù))為

(2)

要想確保該系統(tǒng)是耗散的，必須滿足-a-c-b+r<0。當(dāng)a=27，b=1.5，c=5，d=43，r=0.5，e=3.5時(shí)，滿足耗散性條件，即當(dāng)t→∞時(shí)，系統(tǒng)的軌跡最終以指數(shù)速率漸近地收縮到一個(gè)特定的零體積的極限集中，并最終被固定在一個(gè)吸引子上。

(a) x-y-z三維相圖

2.2 平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性

令所構(gòu)造系統(tǒng)的右邊等于零，即

(3)

求解式(3)，可得系統(tǒng)3個(gè)平衡點(diǎn)：S0=(0，0，0，0)；S1=(-52.556 9，-5.990 3，209.883，-2 514.6)；S2=(52.556 9，5.990 3，209.883，2 514.6)。

在所構(gòu)造系統(tǒng)的平衡點(diǎn)處，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性化得其Jacobian矩陣為

S0處計(jì)算可得4個(gè)特征根λ1=-51.805，λ2=19.805，λ3=1.5，λ4=0.5。λ1為負(fù)且λ2、λ3、λ4為正，S0為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)。S1處計(jì)算可得4個(gè)特征根λ1=-13.455+206.92j，λ2=-13.455-206.92j，λ3=-6.339，λ4=0.248。λ3為負(fù)數(shù)，λ4為正數(shù)，λ1λ2為實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)數(shù)，S1為不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)。S2處計(jì)算可得4個(gè)特征根λ1=-13.429+206.919j，λ2=-13.429-206.919j，λ3=-6.288，λ4=3.147。λ3為負(fù)數(shù)，λ4為正數(shù)，λ1、λ2為實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)數(shù)，S2為不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)。

2.3 新混沌系統(tǒng)李雅普諾夫指數(shù)及李雅普諾夫維數(shù)

采用雅閣比矩陣方法計(jì)算系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)，得到LE1=0.458 349，LE2=0.181 250 9，LE3=0，LE4=-33.611 039，即該系統(tǒng)有2個(gè)正的李雅普諾夫指數(shù)，因此是超混沌的。新混沌系統(tǒng)李雅普諾夫指數(shù)如圖2所示。

圖2 新混沌系統(tǒng)李雅普諾夫指數(shù)圖Fig.2 Lyapunov exponents spectrum of new chaotic system

新系統(tǒng)的李雅普諾夫維數(shù)為分?jǐn)?shù)維，進(jìn)一步說(shuō)明新系統(tǒng)是混沌的。

2.4 參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)的影響

參數(shù)的改變，系統(tǒng)的穩(wěn)定性會(huì)發(fā)生變化，使系統(tǒng)處于不同的狀態(tài)?？捎美钛牌罩Z夫指數(shù)譜及分岔圖對(duì)照分析系統(tǒng)狀態(tài)變化。

固定參數(shù)b=1.5，c=5，d=43，r=0.5，e=3.5改變a，a∈(15，40)。系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜(第4條李雅普諾夫指數(shù)曲線省略)及分岔圖如圖3所示。當(dāng)a∈(15，17.5)時(shí)系統(tǒng)處于超混沌、混沌、擬周期、周期交替出現(xiàn)狀態(tài)；當(dāng)a∈(17.5，21)時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；當(dāng)a∈(21，22)系統(tǒng)處于擬周期狀態(tài)；當(dāng)a∈(22，24.2)系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；當(dāng)a∈(24.2，26.6)時(shí)，系統(tǒng)處于超混沌、混沌、擬周期、周期交替出現(xiàn)狀態(tài)；當(dāng)a∈(26.6，30)系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)；當(dāng)a∈(30，33.3)時(shí)系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；當(dāng)a∈(33.3，34.3)系統(tǒng)處于擬周期狀態(tài)；當(dāng)a∈(34.3，40)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

(a) 李雅普諾夫指數(shù)譜

固定參數(shù)a=27，c=5，d=43，r=0.5，e=3.5 改變b，b∈(0，25)。系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜及分岔圖如圖4所示。當(dāng)b∈(0，1)時(shí)，系統(tǒng)處于混沌、周期、擬周期交替出現(xiàn)狀態(tài)。當(dāng)b∈(1，4.4)時(shí)，系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)；當(dāng)b∈(4.4，5.25)系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；當(dāng)b∈(5.25，7.05)時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；當(dāng)b∈(7.05，8.78)時(shí)，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；當(dāng)b∈(8.78，12.6)時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；當(dāng)b∈(12.6，18.85)時(shí)，系統(tǒng)處于擬周期狀態(tài)；當(dāng)b∈(18.85，25)時(shí)，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)。

(a) 李雅普諾夫指數(shù)譜

固定參數(shù)a=27，b=1.5，d=43，r=0.5，e=3.5改變c，c∈(25，55)。系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜及分岔圖如圖5所示。當(dāng)c∈(0，14)時(shí)，系統(tǒng)處于超混沌、混沌交替出現(xiàn)狀態(tài)；當(dāng)c∈(14，30)時(shí)系統(tǒng)處于周期狀態(tài)。

固定參數(shù)a=27，b=1.5，c=5，r=0.5，e=3.5 改變d，d∈(25，55)。系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜及分岔圖分別如圖6所示。當(dāng)d∈(25，26.9)時(shí)，系統(tǒng)處于擬周期狀態(tài)；當(dāng)d∈(26.9，29)時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；當(dāng)d∈(29，30.6)時(shí)，系統(tǒng)處于周期、混沌交替出現(xiàn)狀態(tài)；當(dāng)d∈(30.6，44)時(shí)，系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)；當(dāng)d∈(44，48.6)時(shí)，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；當(dāng)d∈(48.6，51.5)時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；當(dāng)d∈(51.5，55)時(shí)，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)。

固定參數(shù)a=27，b=1.5，c=5，d=43，e=3.5改變參數(shù)r，r∈(-20，3.5)。超混沌系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜及分岔圖如圖7所示。當(dāng)r∈(-20，-17.2)時(shí)，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；當(dāng)r∈(-17.2，-7.4)時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；當(dāng)r∈(-7.4，-1.5)時(shí)系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；當(dāng)r∈(-1.5，1.6)時(shí)系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)；當(dāng)r∈(1.6，3.5)時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

(a) 李雅普諾夫指數(shù)譜

(a) 李雅普諾夫指數(shù)譜

2.5 Poincaré截面圖

圖8展示了新超混沌系統(tǒng)在不同截面上的Poincaré映像。截面上的截點(diǎn)形成連續(xù)的線狀或片狀的稠密點(diǎn)集，進(jìn)一步驗(yàn)證了該系統(tǒng)的混沌特性。

(a) 李雅普諾夫指數(shù)譜

3 新超混沌系統(tǒng)電路實(shí)現(xiàn)

超混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量實(shí)際上是處于一個(gè)很大的動(dòng)力學(xué)變化范圍，在構(gòu)建實(shí)際混沌電路時(shí)，這個(gè)范圍超出了所使用的運(yùn)算放大器所能提供的電壓范圍。由于變量替換并不會(huì)改變系統(tǒng)狀態(tài)和特性，因此可進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓?，令x1=x/50，y1=y/50，z1=z/50，w1=w/50。由此原系統(tǒng)可轉(zhuǎn)化為

(4)

轉(zhuǎn)化后的系統(tǒng)式(4)的電路方程為

(5)

(a) x=0(二維)

圖9 新超混沌系統(tǒng)電路圖Fig.9 Circuit diagram of new hyperchaotic system

圖9 (續(xù))Fig.9 (Continuation)

(a) x-y平面相圖

4 復(fù)混沌系統(tǒng)

4.1 復(fù)混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)

(6)

當(dāng)參數(shù)取a=15，b=1.5，c=5，d=43，r=0.5，e=3.5時(shí)，復(fù)混沌系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)，其相圖如圖11所示。

4.2 復(fù)混沌系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)

基于Multisim構(gòu)建復(fù)混沌系統(tǒng)仿真電路如圖12所示。仿真結(jié)果如圖13所示。對(duì)比圖13與圖11可見(jiàn)仿真結(jié)果一致，該復(fù)混沌系統(tǒng)在物理層面是可以實(shí)現(xiàn)的。

圖12 復(fù)混沌系統(tǒng)電路圖Fig.12 Circuit diagram of complex chaotic system

圖12 (續(xù))Fig.12 (Continuation)

4.3 李雅普諾夫指數(shù)及李雅普諾夫維數(shù)

復(fù)混沌系統(tǒng)式(6)的李雅普諾夫指數(shù)計(jì)算可得LE1=3.945 771，LE2=0.001 854，LE3=0，LE4=-1.289 807，LE5=-4.019 445，LE6=-9.318 841，LE7=-19.702 222，該系統(tǒng)有兩個(gè)正的李雅普諾夫指數(shù)，因此是超混沌的，復(fù)混沌系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)圖如圖14所示。計(jì)算復(fù)混沌系統(tǒng)李雅普諾夫維數(shù)為4.661 2，為分?jǐn)?shù)維，進(jìn)一步說(shuō)明該復(fù)系統(tǒng)是混沌的。

圖14 復(fù)混沌系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)圖Fig.14 Lyapunov exponents spectrum of complex chaotic system

5 結(jié) 論

構(gòu)造了一個(gè)新的有5個(gè)可變參數(shù)的四維超混沌系統(tǒng)。隨著參數(shù)改變，系統(tǒng)可以出現(xiàn)混沌吸引子、超混沌吸引子、周期、擬周期等豐富的動(dòng)力學(xué)行為。將新超混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量從實(shí)數(shù)域擴(kuò)展到復(fù)數(shù)域，得到一個(gè)新的復(fù)混沌系統(tǒng)。用Multisim 設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了新超混沌系統(tǒng)及復(fù)混沌系統(tǒng)的仿真電路。電路仿真結(jié)果與數(shù)值分析結(jié)果一致，驗(yàn)證了新該系統(tǒng)的存在性和物理可實(shí)現(xiàn)性，為混沌系統(tǒng)在信息傳遞、超導(dǎo)、保密通信等領(lǐng)域的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

(a) x3-x5-x6三維相圖

(a) x1-x3平面相圖