王曉靜，趙 密，王丕光，杜修力，程星磊

(北京工業(yè)大學城市與工程安全減災教育部重點實驗室，北京100124)

隨著經(jīng)濟的發(fā)展，近海工程結構的發(fā)展也越來越受到關注，如海上風電、人工島、跨海橋梁等[1-3]。地震作用下水-結構的相互作用會在結構的表面產(chǎn)生動水壓力作用，該動水壓力會影響結構的動力響應和動力特性[4-6]。因此研究水-柱體結構相互作用對近海工程結構的抗震設計具有重要的意義。

地震作用下水-結構的相互作用的研究可以追溯到1933年Westergaard 對豎直壩面上的地震動水壓力的求解。地震作用下水-柱體相互作用的研究則始于1965年橢圓截面剛性柱體上動水壓力的推導[7]。之后，Chopra 在討論了水體壓縮性和表面波對圓柱結構地震響應的影響[8]。水-柱體結構相互作用的分析方法主要有解析法、數(shù)值法、和物理實驗法[9]等。解析法是通過首先求解水-柱體結構相互作用的定解問題的動水壓力解析式，進而將動水壓力公式代入結構的運動方程對結構進行動力響應分析[10-15]。解析法一般只能分析幾何形狀簡單的等截面柱體結構，如圓柱[10-13]和橢圓柱[14-15]。數(shù)值法則是基于有限元[16-17]、邊界元[18-19]、無限單元[20]等數(shù)值方法分析水-柱體結構相互作用問題的方法，數(shù)值方法對結構的幾何形狀沒有那么高的要求，可以求解幾何形狀復雜的結構或者傾斜結構。

軸對稱柱體結構是近海工程中常見的結構形式，如圓錐柱體、復合桶形基礎等[17,21-22]。數(shù)值方法可以用于求解地震作用下水-軸對稱柱體的相互作用問題。近海工程中一般將水體介質(zhì)視為無限域，數(shù)值模型中可通過引入人工邊界條件將水體分為近場有限域和遠場無限域。近場有限域可以用動力有限元法進行模擬，遠場無限域則用人工邊界條件模擬[23-26]。王丕光等[24]提出了一種三維圓柱形高精度時域人工邊界條件求解三維復雜結構與水體的動力相互作用問題。本文則是針對地震作用下水-軸對稱柱體的相互作用問題的特點，采用分離變量法將三維問題轉變?yōu)橐环N環(huán)向解析、豎向和徑向數(shù)值的二維分析模型；二維分析模型中，基于比例邊界有限元法(SBFEM)[27-29]推導了一種模擬遠場無限域的高精度人工邊界。比例邊界有限元法能夠降低問題的維度，從而減小計算量、提高計算效率，并且能自動滿足無限遠處的輻射邊界條件。

1 問題描述

地震作用下水-軸對稱柱體的動力相互作用問題如圖1 所示，圖中h表示水深，H為柱體高度；在直角坐標系和柱坐標系中，z軸為沿著柱體軸線向上，坐標原點位于柱體底部；a(z)表示z處截面半徑。假定地基為剛性，地面運動沿x方向運動，相應的位移時程為ug；結構-水體系統(tǒng)初始靜止；水體假定為小擾動不可壓縮流體，并忽略表面重力波的影響，水體的密度為 ρw=1000 kg/m3。柱坐標系(r,θ,z)下水體的控制方程為：

式中，p表示水體的動水壓力。

圖1 軸對稱結構-水相互作用示意圖Fig.1 Axisymmetric cylinder-water interaction

水底、水面和水與結構交界面的邊界條件以及無窮遠處的輻射條件分別為：

動力壓力p的可以通過分離變量的方式并結合邊界條件表示為p=p1(r,z,t)cosθ，則相應的軸對稱結構-水相互作用問題的控制方程和邊界條件可以用動水壓力的環(huán)向分量p1表示為：

為方便敘述在下文的推導過程中p1稱為動水壓力。

在r=R0處引入人工邊界條件，則無限域水體可以分為近場有限域 ΩI和遠場無限域 ΩII。近場有限域可以用軸對稱有限元離散。

2 軸對稱有限元推導

采用與有限元相同的四節(jié)點四邊形單元等參單元變換，再利用高斯積分即可得到剛度矩陣的值。

3 高精度人工邊界條件

3.1 比例邊界坐標變換

基于比例邊界中心線的思想，本文將oz軸選取為比例邊界中心線，如圖2所示，圖中比例邊界坐標 ξ 和 η，為局部坐標。徑向坐標 ξ可以看作是比例系數(shù)，因此域內(nèi)任一點的坐標(r,z)可以用局部比例邊界坐標 ξ 和 η表示為：

式中：N=N(η)=[(1-η)/2 (1+η)/2]為形函數(shù)；zb=[z1z2]T為邊上的節(jié)點坐標。

圖2 SBFE 坐標變換Fig.2 Thetransformation of SBFE coordinates

3.2 比例邊界有限元方程

對控制方程式(6)運用加權余量法可得：

將相應的坐標變換關系式(21)、式(22)和式(23)代入式(24)，并對其中的兩項進行分部積分得：

對動水壓力和權函數(shù)采用相同的形函數(shù)插值：

式中：p1=p1(ξ)為單元節(jié)點動水壓力向量；w=w(ξ)為權函數(shù)向量。定義B1=b1N，B2=b2N,η，下標撇號表示導數(shù)，如N,η即表示形函數(shù)N 對坐標η的導數(shù)。

將式(26)、式(27)代入式(25)，并消去任意權函數(shù)w和對 ξ的積分可得：

其中：

將式(28)沿人工邊界處進行裝配，消去系數(shù)為零的項，并利用上下表面的邊界條件可得：

4 水-軸對稱柱體系統(tǒng)的時域方程

4.1 水體有限元方程

整個水域的動水壓力可以表示為：

4.2 水-軸對稱柱體系統(tǒng)的時域方程

柱體結構可以用梁單元進行模擬，單元剛度和質(zhì)量矩陣可以用一下公式表示[30]：

5 數(shù)值算例

本文中算例的結構的彈性模量、密度、泊松比和阻尼比分別為：21 GPa，7800 kg/m3，0.3和0.02，結構的厚度為0.06 m。圖3為本文中選取的作用在剛性地基上的地震動時程曲線，圖4為對應的地震動的傅里葉幅值曲線。

圖3 地震動時程Fig.3 Time history of earthquakes

5.1 方法驗證

首先，對軸對稱結構的等效梁單元進行驗證。表1為本文軸對稱結構的等效梁單元和ABAQUS中的實體梁單元計算的自振頻率的比較，可以看出相對誤差在5%以內(nèi)，因此本文選用的等效變換方法是符合精度要求的。

其次，對二維分析模型中的人工邊界的驗證。分別選取等截面圓柱和圓錐柱體兩個模型：模型1等截面圓柱的半徑和高度分別為3 m、80 m，模型2圓錐形柱體的半徑、傾角和高度分別為a=3 m 、θ0=atan(80/1)和80 m。模型1的參考解為解析解，模型2的參考解為20 000×80的擴展有限元解，網(wǎng)格大小為5×5。人工邊界的設置在r=50m 處。圖5為剛性軸對稱柱體上的動水力分布本文解和參考解的對比。由圖5可以看出，采用本文提出的人工邊界條件得到的本文解與參考解極好地吻合。

最后，對本文提出的水-軸對稱相互作用的子結構分析方法的驗證。等截面圓柱的參考解為將柱體結構與動水壓力的解析解耦合求得的結構動力反應；圓錐柱體模型的參考解為柱體結構有限元方程與動水力的擴展有限元方程與柱體結構有限元方程耦合解得的結構動力反應。在模型1、模型2施加圖3所示的編號為No.1地震動荷載，將結構的頂部位移作為參考量。圖6為結構頂部位移響應本文解和參考解的對比。由圖6可以看出本文方解與參考解吻合較好。

圖4 地震動的傅里葉幅值曲線Fig.4 Furrier amplitude spectrum of ground motions

表1 等效變換梁單元和實體單元的自振頻率Table 1 The natural frequency of vibration comparison of solid element and equivalent beam

圖5 剛性柱體上無量綱動水力沿高度分布Fig.5 The distribution of dimensionless hydrodynamic pressure

5.2 應用分析

計算了不同水深時水-軸對稱結構相互作用系統(tǒng)的地震響應，分析水深對水-軸對稱結構相互作用。引入無量綱系數(shù)Ru=uim/u0m，其中uim表示不同水深時水-軸對稱結構相互作用時位移響應的最大值，u0m表示軸對稱結構在空氣中時位移響應的最大值。

以模型2為例，分別計算了水深為20 m、40 m、60 m 和80 m 時，荷載分別為圖3所示的7條地震動時的結構的動力響應；圖7為Ru隨水深的變化。由圖7可以看出，地震動水壓力對結構地震反應的影響隨水深相對結構高度(h/H)的增加呈增大趨勢，這主要是由于作用在結構上的地震動水壓力隨水深的增加而增大。需要指出的是，由于不同地震動的頻譜特性不同，因此不同地震動作用下動水壓力對結構地震響應的影響也不相同。

定義自振頻率降低率為：

圖6 柱體頂部位移響應Fig.6 Top displacement of the axisymmetric structure

圖7 R u 與水深的關系Fig.7 R u vary with different earthquakes

式中，ωws和ωs分別是指水-結構相互作用系統(tǒng)的自振頻率和結構無水時的自振頻率。

表2為不同水深時水-軸對稱相互作用系統(tǒng)的自振頻率。表3為不同水深時自振頻率的相對值。由表2和3可以看出當水深相對結構高度較小時(h/H≤0.25)，系統(tǒng)的基頻和結構無水時的基頻相差不大，由圖7也可以看出此時結構的地震響應與無水時沒有明顯差異；這表明水深相對結構高度較淺時，地震動水壓力對柱體結構地震響應的影響可忽略。隨著水深相對結構的高度的增大(0.25＜h/H≤1)，系統(tǒng)的頻率降低率逐漸減小，自振頻率的減低可能會使得系統(tǒng)的二階自振頻率出現(xiàn)在地震動的卓越頻率范圍內(nèi)，圖7中也可以看出此時結構的地震響應與無水時相差較大；因此水深相對結構高度較深時，地震動水力對柱體結構的動力響應和自振特性的影響不可忽略。

表2 水-軸對稱結構相互作用系統(tǒng)的自振頻率Table2 Thenatural frequency of vibration of wateraxisymmetric interaction system

表 3自振頻率降低率Table 3 The reduction ratio of natural vibration frequency

6 結論

基于不可壓縮水體，本文提出了一種地震作用下水-軸對稱柱體相互作用的動力響應的子結構分析方法。首先將水體三維模型轉化為環(huán)向解析、豎向和徑向離散的二維模型，其次用高精度人工邊界條件模擬無限域水體的作用，在保證了精度的同時大大提高了計算效率。

數(shù)值算例中分別驗證了結構的等效梁單元、動水壓力和水-結構動力相互作用耦合模型的精確性。以圓錐柱體為例分析了地震作用下水深對水-軸對稱結構相互作用的地震響應的影響，數(shù)值算例表明隨著水深的增加，動水力對結構的自振頻率和動力響應的影響呈增大的趨勢。

由于本文提出的子結構可以將水-軸對稱結構的相互作用通過附加質(zhì)量的模擬，易于在商業(yè)有限元軟件中實現(xiàn)和方便于工程應用。