劉加霞 北京教育學(xué)院初等教育學(xué)院院長(zhǎng)，教育心理學(xué)博士，教授，教育部國(guó)培專家?guī)斐蓡T;提出“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)是一切教學(xué)法的根”“實(shí)證研究學(xué)生是有效教學(xué)的根本”“培訓(xùn)實(shí)質(zhì)是改變與創(chuàng)新”等觀點(diǎn)，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《課程教材教法》《中國(guó)教育學(xué)刊》《中小學(xué)管理》《人民教育》《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》《小學(xué)教學(xué)》等期刊發(fā)表論文百余篇，著作有《小學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)》《小學(xué)數(shù)學(xué)有效學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)》《小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)》等。

算術(shù)平均數(shù)（本文簡(jiǎn)稱“平均數(shù)”）是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最基礎(chǔ)、最重要的概念之一，它具有反應(yīng)靈敏、簡(jiǎn)明易解、適合進(jìn)一步演算和較小受抽樣變化的影響等優(yōu)點(diǎn)，是當(dāng)下小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的唯一統(tǒng)計(jì)量（小學(xué)階段不涉及眾數(shù)、中位數(shù)），平均數(shù)被用來描述一組數(shù)據(jù)的“平均水平、整體水平”。一般地，小學(xué)生對(duì)平均數(shù)的理解有三個(gè)水平：算法水平、概念水平與統(tǒng)計(jì)水平。這三個(gè)水平的具體含義及行為表現(xiàn)是什么？是否有明確的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)判定學(xué)生達(dá)到某個(gè)水平？本文將結(jié)合教材內(nèi)容、名師教學(xué)進(jìn)一步分析闡述。

一、平均數(shù)的概念本質(zhì)與功能

平均數(shù)是通過加工原始數(shù)據(jù)得到的，它不是“客觀”存在的，具有“虛擬性”。例如，某個(gè)小組平均收集了5.2個(gè)礦泉水瓶。如何讓學(xué)生體會(huì)用平均數(shù)作“代表”的合理性？平均數(shù)的“代表性”有何功能？筆者梳理小學(xué)數(shù)學(xué)不同版本教材中涉及平均數(shù)的問題情境，以進(jìn)一步理解平均數(shù)的概念本質(zhì)與功能。

情境1：甲小隊(duì)4名學(xué)生投籃比賽成績(jī)（用統(tǒng)計(jì)表或象形統(tǒng)計(jì)圖呈現(xiàn)）分別是：7、8、7、6，乙小隊(duì)5名學(xué)生的成績(jī)分別是：4、5、6、8、7。哪個(gè)小隊(duì)投籃水平更高？（類似情境還有已知某支球隊(duì)每名隊(duì)員的身高數(shù)據(jù)，判斷該球隊(duì)隊(duì)員身高的整體水平）

情境2：每3秒呈現(xiàn)10個(gè)數(shù)字，記錄下每次可以記住幾個(gè)數(shù)字。淘氣5次記住數(shù)字的情況（以統(tǒng)計(jì)表方式呈現(xiàn)數(shù)據(jù)）分別是：4、5、5、7、9，淘氣能記住幾個(gè)數(shù)字？或者是：淘氣平均每次記住幾個(gè)數(shù)字？（類似情境還有統(tǒng)計(jì)一周家庭用水量、某種商品售出數(shù)量等）該問題換為“哪個(gè)數(shù)能代表淘氣記憶數(shù)字的水平”更好。

情境3：五位小朋友用直尺測(cè)量同一支鉛筆的長(zhǎng)度，記錄每次測(cè)得的數(shù)據(jù)（單位：厘米）如下：15、15.3、18、15.1、15，你認(rèn)為用哪個(gè)數(shù)代表這支鉛筆的長(zhǎng)度更合理？可以算一算，并寫出你的理由。（類似情境還有評(píng)獎(jiǎng)時(shí)各位評(píng)委所給分?jǐn)?shù)，計(jì)算平均分為何“去掉最高分、最低分”）

情境4：根據(jù)有關(guān)規(guī)定，我國(guó)對(duì)學(xué)齡前兒童實(shí)行免票乘車，即一名成年人可以攜帶一名身高不足1.2米的兒童免費(fèi)乘車。1.2米這個(gè)數(shù)據(jù)可能是如何得到的呢？據(jù)統(tǒng)計(jì)，目前北京市6歲男童身高的平均值是119.3厘米，女童身高的平均值是118.7厘米。請(qǐng)根據(jù)上面信息解釋免票線確定的合理性。

分析這4個(gè)問題情境可以看出，平均數(shù)適用于描述未分組的離散型原始數(shù)值數(shù)據(jù)，進(jìn)一步分析可以看出，如果“數(shù)據(jù)”的來源與意義不同，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的意義與用途也不同，小學(xué)階段大致分為兩大類，有三種具體情況。

第一類是不涉及抽樣的情況，有限個(gè)樣本數(shù)據(jù)就是總體，前述情境1～3就是這一類。該類又分為兩種情況：其一是數(shù)據(jù)描述某一樣本空間中各個(gè)元素的特征，這時(shí)可以用平均數(shù)來描述這個(gè)“集合”的整體水平，也可以比較兩個(gè)同類集合整體水平的高低。例如，情境1中數(shù)7、6分別代表甲、乙兩個(gè)小隊(duì)投籃的整體水平，比較哪個(gè)小隊(duì)投籃水平更高，這時(shí)平均數(shù)主要有描述、比較的功能，還不具備統(tǒng)計(jì)意義。其二，數(shù)據(jù)是同一個(gè)量的幾次測(cè)量值，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)既可以描述樣本數(shù)據(jù)的整體水平，也可以用來預(yù)測(cè)、推斷這個(gè)量的期望值，或者估計(jì)真實(shí)值，例如情境2和情境3。根據(jù)大數(shù)定律規(guī)定，試驗(yàn)或測(cè)量的次數(shù)接近無(wú)窮大時(shí)，測(cè)量數(shù)值的平均數(shù)幾乎肯定地收斂于期望值，這時(shí)的平均數(shù)具有統(tǒng)計(jì)意義。

第二類是數(shù)據(jù)需要通過抽樣獲得，用樣本數(shù)據(jù)的平均值代表總體水平的情況，例如情境4中“北京市6歲男童的平均身高”是通過抽樣得到的，這時(shí)的平均數(shù)具有統(tǒng)計(jì)意義。用樣本的平均數(shù)代表總體水平時(shí)，學(xué)生理解平均數(shù)有一定的困難，所以大多數(shù)教材選擇“樣本就是總體”的情境，即樣本是固定的某個(gè)小隊(duì)、小組等（數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)有限）群體的整體水平。

二、小學(xué)階段平均數(shù)的理解水平解析

研究表明，小學(xué)生對(duì)平均數(shù)的理解有三個(gè)水平：算法水平、概念水平、統(tǒng)計(jì)水平。算法水平主要表現(xiàn)為會(huì)計(jì)算（總和除以個(gè)數(shù)、移多補(bǔ)少）一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，這是深入理解平均數(shù)的基礎(chǔ)。學(xué)生只會(huì)計(jì)算平均數(shù)還不夠，還要理解平均數(shù)的概念本質(zhì)與價(jià)值，即達(dá)到后兩個(gè)水平的理解。學(xué)生的理解達(dá)到概念水平主要體現(xiàn)在：會(huì)求平均數(shù)，知道平均數(shù)是代表一組數(shù)據(jù)整體（平均）水平的量值、平均數(shù)的大小易受極端數(shù)據(jù)影響（敏感性）等特性。達(dá)到統(tǒng)計(jì)水平主要體現(xiàn)在：在前兩個(gè)水平的基礎(chǔ)上，能夠解釋并體會(huì)平均數(shù)作“代表”的合理性，主要表現(xiàn)為三個(gè)方面：平均數(shù)與某個(gè)數(shù)據(jù)（可以是原始數(shù)據(jù)中的某個(gè)，也可以是眾數(shù)、中位數(shù)，雖然小學(xué)階段不涉及這兩個(gè)集中量數(shù)，但學(xué)生對(duì)其理解不難）對(duì)比感受其合理性;知道什么情況下用平均數(shù)做判斷、做預(yù)測(cè)的結(jié)論更“好”;知道所做的判斷、預(yù)測(cè)不能“百分百”地正確，平均數(shù)作為代表進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)有意外，有“翻車”的可能。

前述情境1～3，以及常見的“統(tǒng)計(jì)一年每個(gè)月的水費(fèi)，再求每月的平均數(shù);教材上某小組收集的水瓶、籃球隊(duì)隊(duì)員的身高數(shù)據(jù)等”，這里所求的平均數(shù)只是概念水平，代表這組數(shù)據(jù)的整體水平，學(xué)生只理解這層含義還達(dá)不到對(duì)平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)水平的理解。

一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)易受這組數(shù)據(jù)中每一個(gè)數(shù)據(jù)的影響，“稍有風(fēng)吹草動(dòng)就能帶來平均數(shù)的變化”，即平均數(shù)的敏感性。一般說來，數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性，因此所獲得的數(shù)據(jù)具有隨機(jī)誤差，但不排除人無(wú)意犯錯(cuò)誤或有意人為干擾所獲得的數(shù)據(jù)，這時(shí)數(shù)據(jù)的“誤差”超出“可接受范圍”，產(chǎn)生“極端數(shù)據(jù)”，這樣得到的平均數(shù)不能很好地描述整體水平。正如情境3中，數(shù)據(jù)“18厘米”值得“懷疑”，可能是錯(cuò)誤測(cè)量導(dǎo)致，用平均數(shù)代表鉛筆長(zhǎng)度時(shí)，要把18這個(gè)數(shù)據(jù)去掉，求另外四個(gè)測(cè)量值的平均數(shù)。評(píng)獎(jiǎng)大賽去掉最高、最低分也是這個(gè)道理，這樣的理解可以說達(dá)到了統(tǒng)計(jì)水平的理解。

學(xué)生能達(dá)到統(tǒng)計(jì)水平的理解主要取決于對(duì)數(shù)據(jù)隨機(jī)性的認(rèn)識(shí)，而小學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)隨機(jī)性的理解有難度，因此，要求小學(xué)生對(duì)平均數(shù)達(dá)到統(tǒng)計(jì)水平的理解是一種高標(biāo)準(zhǔn)的要求。理論上說，國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該規(guī)定有多少學(xué)生達(dá)到該水平即滿足課程標(biāo)準(zhǔn)要求，但這方面沒有具體規(guī)定。為什么說達(dá)到統(tǒng)計(jì)水平有難度呢？看下面的分析。

比如測(cè)量一個(gè)東西，每次測(cè)量結(jié)果未必都一樣，有隨機(jī)誤差，可以用算式x=u+ε（x是測(cè)量數(shù)據(jù)，u是真實(shí)數(shù)據(jù)，ε是隨機(jī)誤差）表示。在測(cè)量過程中，只有測(cè)量數(shù)據(jù)是已知的，其余兩個(gè)量都是未知的，這樣沒法運(yùn)算，所以就需要多次測(cè)量。例如測(cè)量n次，得到n個(gè)算式，其中真實(shí)數(shù)據(jù)是不變的，測(cè)量值、隨機(jī)誤差是變化的，隨機(jī)誤差有時(shí)為正，有時(shí)為負(fù)，這n個(gè)算式相加，當(dāng)隨機(jī)誤差之和為0時(shí)，平均數(shù)就可以代表真實(shí)數(shù)據(jù)，但多次的隨機(jī)誤差之和很難為0，則用平均數(shù)來估計(jì)（代表）真實(shí)數(shù)據(jù)，這就是平均數(shù)（準(zhǔn)確說是算術(shù)平均數(shù)）的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。如果每次測(cè)得的數(shù)據(jù)差異較大（尤其有極端數(shù)據(jù)時(shí)），隨機(jī)誤差或系統(tǒng)誤差非常大（不排除人為因素導(dǎo)致），用平均數(shù)來代表真實(shí)值或者刻畫整體水平就不合適，去掉極端數(shù)據(jù)，使平均數(shù)更具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，是對(duì)平均數(shù)的“高水平”理解。

三、“好情境”“好問題”助力高層次理解

浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師俞正強(qiáng)在《種子課2.0》一書中說：雖然能讓學(xué)生做對(duì)題目，但他們并沒有真正理解平均數(shù)，甚至有的學(xué)生下課后還說“平均數(shù)就是平均分”。這一方面說明學(xué)生對(duì)平均數(shù)的理解達(dá)到后兩個(gè)水平確實(shí)有難度（學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)少，容易受“因果型”“二元型”思維支配），另一方面也與教師選擇的情境與問題有關(guān)。例如，有的教師設(shè)計(jì)如下情境：5個(gè)筆筒中分別插了3、4、2、5、1支鉛筆，怎樣做可以使每個(gè)筆筒的鉛筆數(shù)一樣多？這樣的問題情境無(wú)意中強(qiáng)化了“平均數(shù)就是平均分、平均數(shù)是‘每份數(shù)”這一錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，因?yàn)橥ㄟ^操作，學(xué)生“看到”“每份一樣多”“每份是多少”，與以前所學(xué)“平均分”一樣，弱化了對(duì)平均數(shù)是代表這組數(shù)據(jù)的平均水平或整體水平的認(rèn)識(shí)。選擇“好情境、好問題”特別重要，下面分析俞正強(qiáng)老師教學(xué)“平均數(shù)”時(shí)的問題情境。

俞正強(qiáng)老師設(shè)計(jì)的“哪個(gè)數(shù)能代表跑步水平”的問題很巧妙，具體為：二年級(jí)某小朋友，跑了五次60米，所用時(shí)間如下（單位：秒）：15、14、12、10、14。他需要填寫這張表：60米，我大約要跑 秒。俞老師設(shè)計(jì)一系列問題，如：這位小朋友填了15，卻又劃去了，同學(xué)們知道為什么嗎？后來這位小朋友又填了10，過了一會(huì)兒也把10劃去了，同學(xué)們知道為什么嗎？同學(xué)們認(rèn)為這位小朋友最好應(yīng)填幾？等等?；趯W(xué)生已有的對(duì)跑步時(shí)“超常發(fā)揮、正常發(fā)揮、失常發(fā)揮”的生活經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生對(duì)比、體驗(yàn)用哪個(gè)“數(shù)”代表跑步水平更恰當(dāng)。其中，“這位小朋友最好填幾？13秒這個(gè)數(shù)，小朋友根本沒跑出來過，填上去是不是不誠(chéng)實(shí)啊，能填嗎？13秒沒有跑出來過，跟所給的數(shù)據(jù)有什么關(guān)系？”等問題的教學(xué)，直接揭示了平均數(shù)的本質(zhì)——預(yù)測(cè)、估計(jì)某個(gè)量的真實(shí)水平，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比不同數(shù)據(jù)的“代表性”各有優(yōu)劣的情況下，理解用平均數(shù)作“代表”的合理性。這樣的教學(xué)能使學(xué)生認(rèn)識(shí)到下一次跑步，不一定跑出13秒，但13秒也不是天外來物，是通過統(tǒng)計(jì)學(xué)生多次跑步情況算出來的，統(tǒng)計(jì)更多次的跑步成績(jī)所得的平均數(shù)更能代表他的跑步能力。這樣的情境比“人數(shù)不同的兩個(gè)小隊(duì)誰(shuí)的水平高”更符合平均數(shù)的本意，更有利于學(xué)生對(duì)接已有的生活經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)化平均數(shù)雖然與平均分有關(guān)，但意義截然不同的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生既能達(dá)到概念水平的理解，又較容易達(dá)到統(tǒng)計(jì)水平的理解。

此外，要使更多學(xué)生達(dá)到統(tǒng)計(jì)水平的理解，需要增加、延長(zhǎng)學(xué)習(xí)平均數(shù)的時(shí)間。第一次學(xué)習(xí)使學(xué)生達(dá)到“概念水平”的理解，初步感悟平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義;第二次學(xué)習(xí)通過解釋現(xiàn)實(shí)生活中的平均數(shù)，使學(xué)生初步感悟抽樣所得到的樣本平均數(shù)可以代表總體水平，真正體會(huì)平均數(shù)“代表性”的“好壞”（統(tǒng)計(jì)學(xué)不研究“對(duì)錯(cuò)”）。

助理編輯 劉佳