李林婧

（文山學(xué)院 教師教育學(xué)院， 云南 文山 663099）

1 問題的緣起

在一次近期觀摩的《解簡(jiǎn)易方程》數(shù)學(xué)示范課中，教師通過一系列等式與不等式的對(duì)比后得出“含有未知數(shù)的等式叫做方程”。遺憾的是沒有學(xué)生能夠提出 “那么學(xué)過的公式，例如正方形周長(zhǎng)是否算作方程呢？”。這樣的現(xiàn)象一方面反映出教師講什么學(xué)生就學(xué)什么，缺少質(zhì)疑能力，另一方面作為教育工作者不得不思考：通過這樣學(xué)習(xí)后學(xué)生是否真正的理解了方程本質(zhì)？這樣理解方程對(duì)學(xué)生后繼學(xué)習(xí)列方程是否有影響？ 因此，在方程教學(xué)前教師很有必要對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)行整體的研讀，從兒童發(fā)展與需要的角度，讀透教材知識(shí)結(jié)構(gòu)與基本線索，深挖知識(shí)本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系。

1.1 簡(jiǎn)易方程在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性

簡(jiǎn)易方程屬于早期代數(shù)的核心主題，在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中亦是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的一個(gè)重要內(nèi)容。對(duì)簡(jiǎn)易方程的理解程度直接影響小學(xué)后一階段分式方程的學(xué)習(xí)。而小學(xué)階段的早期代數(shù)基礎(chǔ)，又為初中的一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程以及高中階段三元方程、高次方程的理解提供了支持。甚至更大程度影響著學(xué)生今后關(guān)于方程與函數(shù)間的區(qū)分、認(rèn)識(shí)與理解。由此可以看出，學(xué)好簡(jiǎn)易方程可提升代數(shù)的綜合應(yīng)用與理解能力，為中學(xué)進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

1.2 小學(xué)簡(jiǎn)易方程教學(xué)中的難點(diǎn)問題

1.2.1 學(xué)生學(xué)習(xí)存在的障礙以及產(chǎn)生障礙的原因

（1）受算數(shù)思維定式，很難構(gòu)建與新內(nèi)容相匹配的認(rèn)知圖式。

在第一學(xué)段（1至3年級(jí)）教師會(huì)盡量避免提及方程思想，學(xué)生慣性使用的算術(shù)法多是逆向思維。到了第二學(xué)段（4至6年級(jí)）突然接觸代數(shù)，方程的引入打破學(xué)生的常規(guī)，逆向思維到順向思維轉(zhuǎn)變的適應(yīng)度不夠。因此部分學(xué)生感受到學(xué)習(xí)更抽象、更有阻力了，與前一階段的學(xué)習(xí)不一樣了！產(chǎn)生了一定的學(xué)習(xí)壓力，有時(shí)甚至降低了學(xué)習(xí)熱情。

（2）列方程局限于模仿，沒有建模意識(shí)。學(xué)生對(duì)于方程認(rèn)識(shí)基于表層，并未感受到方程的出現(xiàn)是基于解決問題。學(xué)生在課堂上仿佛聽懂了教師的列方程解題思路，但稍加變化問題條件與結(jié)論，獨(dú)立完成就變得束手無策了。

（3）解方程的程序繁瑣、容易出錯(cuò)。在算數(shù)法解題時(shí)只要能夠列式，計(jì)算便是輕車熟路。而列方程解應(yīng)用題需要順向思維，求未知數(shù)需要逆向思考。學(xué)生感覺計(jì)算繞來繞去后容易出錯(cuò)，甚是不便。

（4）利用方程解決問題的優(yōu)越性不明顯。面對(duì)一個(gè)問題時(shí)，小學(xué)生總喜歡用最簡(jiǎn)單直接的方法，而不想去理解更復(fù)雜的解決方案，除非嘗到其中甜頭。然而初學(xué)方程時(shí)教師提出的問題較簡(jiǎn)單，算術(shù)法更易獲取答案。造成學(xué)生對(duì)方程的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)不高，興趣也不大。

1.2.2 教師教學(xué)存在的問題以及問題形成原因

（1）第一學(xué)段的數(shù)學(xué)教學(xué)沒有對(duì)方程做好鋪墊，扼殺了學(xué)生早期代數(shù)的萌芽。第一學(xué)段的教學(xué)中刻意強(qiáng)調(diào)算數(shù)法，抑制學(xué)生用類似方程形式思考呈現(xiàn)問題。這樣直接導(dǎo)致學(xué)生從低年級(jí)開始就認(rèn)為順向思維不能很好地解決問題，只有算術(shù)法才是解題最簡(jiǎn)便的方法。但符號(hào)感的建立不能夠一朝一夕就完成，到第二學(xué)段才發(fā)現(xiàn)學(xué)生的符號(hào)感尚未建立為時(shí)稍晚。例如，“字母表示數(shù)”一課應(yīng)該是依據(jù)已有學(xué)習(xí)體驗(yàn)對(duì)早期代數(shù)中字母進(jìn)行抽象概括，但大部分學(xué)生課后依然不能完全表述字母可以表示哪些量。

（2）部分教師不重視方程教學(xué)，功利地應(yīng)付考試。一些教師認(rèn)為不需要知道什么是建模與方程思想，只要能讓學(xué)生列出方程，會(huì)解方程就行。另有一些教師認(rèn)為，學(xué)生初次接觸方程，不管怎么教都需要一個(gè)過渡與適應(yīng)期。如果應(yīng)付考試只要重復(fù)多次、依據(jù)公式練習(xí)自然就會(huì)“套用”了。也正因如此，雖然很多學(xué)生表面上聽懂了題目，一旦稍加變化則表現(xiàn)得束手無策。可以看出學(xué)生是在機(jī)械模仿，并未能體會(huì)方程帶來的便捷。生搬硬套的方式消磨了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣也不利于其思維發(fā)展。

（3）教師概念教學(xué)設(shè)計(jì)不夠完善，導(dǎo)致學(xué)生不能完全獨(dú)立列出方程。大部分小學(xué)教師在進(jìn)行簡(jiǎn)易方程概念教學(xué)時(shí)，僅采用“天平的平衡性”幫助學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)易方程的結(jié)構(gòu)進(jìn)行理解。然后拋出方程的定義“含有未知數(shù)的等式叫做方程”。這樣的定義只能讓學(xué)生從表層判斷出哪些式子是方程。放到實(shí)際意義中卻不能理解等號(hào)兩邊為什么能夠、怎么能夠建立平衡。這樣的教學(xué)忽略了模型思想滲透，并未深刻讓學(xué)生理解“未知量也能與已知量建立某種相等關(guān)系”使問題得到解決。

（4）教師的解方程教學(xué)時(shí)規(guī)則過多，使學(xué)生感受不到方程妙處，反而認(rèn)為求解方程既繁瑣又易錯(cuò)。其實(shí)學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)單方程的求解有自己的認(rèn)知，若擔(dān)心學(xué)生出錯(cuò)而要求必須按照書本步驟，教條且按部就班，反而使計(jì)算失去了靈活度又容易出錯(cuò)。

（5）大多數(shù)例題選擇利用算數(shù)法就能輕松解決，方程方法沒有提起學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。依據(jù)圖式理論與最近發(fā)展區(qū)理論，學(xué)生只有因舊的知識(shí)不足以解決新問題才不自覺引發(fā)對(duì)新知學(xué)習(xí)的渴望。但教材編排遵循了由易到難原則，考慮到學(xué)生方程學(xué)習(xí)中的接受能力，初學(xué)時(shí)的應(yīng)用題都是簡(jiǎn)單的。學(xué)生算術(shù)法就能夠輕松獲取答案，感受不到方程法的益處。

2 簡(jiǎn)易方程教材研讀與思想方法剖析

對(duì)簡(jiǎn)易方程教學(xué)中存在的種種問題，教師應(yīng)基于兒童需要對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)與教科書仔細(xì)研讀。在研讀過程中挖掘細(xì)節(jié)、叩問本質(zhì)、創(chuàng)新延伸。只有加深教師自身對(duì)教材蘊(yùn)含的方程內(nèi)容知識(shí)的理解，才能提高學(xué)生的邏輯抽象思維、分析問題、解決問題的能力[1]。以下將以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書五年級(jí)上冊(cè)[2]為例，基于兒童立場(chǎng)對(duì)簡(jiǎn)易方程的學(xué)習(xí)進(jìn)行研讀與思想方法剖析。

2.1 基于兒童的認(rèn)知建構(gòu)，理解與反思課程標(biāo)準(zhǔn)要求

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）中對(duì)于方程的內(nèi)容在第一學(xué)段中沒有安排。第二學(xué)段的要求是：“在具體情境中學(xué)會(huì)用字母表示；結(jié)合簡(jiǎn)單的實(shí)際情境，了解等量關(guān)系，能用方程表示；能用方程表示簡(jiǎn)單情景中的等量關(guān)系，了解方程的作用；了解等式的性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的方程”[3]。雖然課程標(biāo)準(zhǔn)第一學(xué)段中沒有提及簡(jiǎn)易方程相關(guān)內(nèi)容，但教師在早期教學(xué)中忽略對(duì)代數(shù)必要引導(dǎo)與鋪墊，五年級(jí)學(xué)習(xí)“式與方程”就顯得非常不適應(yīng)。算術(shù)與代數(shù)的割裂是各國(guó)教育的傳統(tǒng)與現(xiàn)實(shí)，這種割裂某種程度上會(huì)使小學(xué)生忽視現(xiàn)實(shí)的代數(shù)情境的意義。使得學(xué)生失去在小學(xué)接受代數(shù)思維訓(xùn)練的良好時(shí)機(jī),造成了學(xué)生后期學(xué)習(xí)代數(shù)的諸多困難。

2.2 基于兒童的認(rèn)知基礎(chǔ)，叩問方程本質(zhì)，創(chuàng)造性使用教科書

簡(jiǎn)易方程單元的第一節(jié)內(nèi)容為字母表示數(shù)。在小學(xué)階段依據(jù)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，可以將字母代表數(shù)歸結(jié)為幾類：（1）用字母表示任意數(shù)。（2）用字母代表某一類數(shù)。如，用字母N代表自然數(shù)；R代表實(shí)數(shù)；Q代表有理數(shù)。（3）用字母表示數(shù)量關(guān)系。如，運(yùn)算定律、路程公式、變化規(guī)律等數(shù)量關(guān)系。（4）用字母表示特定未知數(shù)。如，小紅出門帶了10元錢，買了一些水果花了B元，回家后剩下5元。教科書中雖有具體案例，但是并未幫助學(xué)生進(jìn)行概括、整理與歸類。教師在課堂上可以幫助學(xué)生依據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，回憶、類比、舉例所學(xué)過的字母代替數(shù)字的例子，幫助學(xué)生總結(jié)得出：有時(shí)出現(xiàn)大量的數(shù)據(jù)、某個(gè)具體未知數(shù)據(jù)、或一種復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，用字母代替表示可以更方便地描述與幫助理解。對(duì)于用字母表示特定未知數(shù)的學(xué)習(xí)，也為下一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)進(jìn)行了鋪墊。

簡(jiǎn)易方程單元的第二節(jié)內(nèi)容為解簡(jiǎn)易方程。內(nèi)容的第一部分是利用天平平衡引出“含有未知數(shù)的等式就是方程。”在此不由得想起學(xué)者傅贏芳提出的兩個(gè)疑問：“天平”是否反應(yīng)方程的本質(zhì)？“用字母表示未知數(shù)”是否反應(yīng)方程本質(zhì)？[4]雖然小學(xué)階段我們不必要一定對(duì)學(xué)生介紹完備的定義，但是這樣的定義略顯得只重形式而忽略實(shí)質(zhì)意義。這個(gè)定義還有一漏洞就是前一節(jié)內(nèi)容中的運(yùn)算定律、路程公式、類似函數(shù)的等式都可以包含于此定義，但它們并不屬于簡(jiǎn)易方程。在此，筆者比較贊同張奠宙老先生對(duì)簡(jiǎn)易方程做出的定義：“方程是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系?！盵5]要確定這樣的定義，教學(xué)引入中依然可以沿用第一節(jié)的內(nèi)容。例如：小紅出門帶了10元錢，買了一些水果花了B元，回家后剩下5元。還可以怎樣表達(dá)反映這句話的意思？相信不同的學(xué)生都有不同的表達(dá)方式，最后將學(xué)生引入到用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表示：B+5=10或10-5=B或10-B=5等等。再讓學(xué)生討論哪種表達(dá)方式最簡(jiǎn)潔、完備、容易理解且能快速獲得結(jié)果。最后在學(xué)生深入理解“把未知數(shù)與已知數(shù)建立關(guān)系”基礎(chǔ)上引出定義。

簡(jiǎn)易方程單元的第三節(jié)內(nèi)容為等式的性質(zhì)，學(xué)生能夠依據(jù)具體的生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行理解與感悟，教師可以通過合作學(xué)習(xí)的方式讓學(xué)生操作、表達(dá)與交流。重點(diǎn)在于，學(xué)生能夠用不同的方法解釋出等式左右兩邊同時(shí)乘或除以一個(gè)不為0的數(shù)，等式的值不變。在理解基礎(chǔ)上的表達(dá)可以為后續(xù)的應(yīng)用做足準(zhǔn)備。

簡(jiǎn)易方程單元的第四節(jié)是解方程。在舊版本的教科書中是讓學(xué)生應(yīng)用四則運(yùn)算法則進(jìn)行求解，而新版本中是利用等式的性質(zhì)。筆者認(rèn)為可以大膽放手讓學(xué)生去猜想驗(yàn)證并說明算理。所謂算理就是說清楚為什么能這樣計(jì)算。只要學(xué)生說理正確清晰，沒有必要糾正學(xué)生必須使用新版本教科書的算理進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于復(fù)雜的方程則可以采用劃“整體”的方法分析結(jié)構(gòu)，再歸結(jié)為已能夠解決的簡(jiǎn)單的方程進(jìn)行計(jì)算。另外，可以對(duì)B+5=10或10-5=5這兩種等式找找差異、找找相同點(diǎn)、做對(duì)比與小結(jié)，增進(jìn)學(xué)生算數(shù)與代數(shù)之間的鏈接認(rèn)識(shí)。

2.3 基于兒童的思維特點(diǎn)，對(duì)習(xí)題進(jìn)行分類分層次設(shè)計(jì)

2.3.1 對(duì)字母表示數(shù)的練習(xí)標(biāo)注所屬分類

學(xué)生在練習(xí)的過程中應(yīng)該進(jìn)一步提升思維的系統(tǒng)性與完備性?？梢宰寣W(xué)生對(duì)習(xí)題分類并描述，加深對(duì)字母不僅可以表示一類數(shù)、特殊值還可以表示各種數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)。例如：教科書52至55頁，主要表現(xiàn)的是用字母表示數(shù)量關(guān)系。練習(xí)54頁第3題，使用字母表示運(yùn)算律；練習(xí)54頁第5題，使用字母表示公式。

2.3.2 對(duì)實(shí)際問題與方程進(jìn)行模塊化學(xué)習(xí)與練習(xí)

實(shí)際問題與方程這一節(jié)是對(duì)字母表示特定未知數(shù)、方程、列方程、解方程的綜合應(yīng)用能力的培養(yǎng)。教科書的應(yīng)用題可以分類為：“和差問題”“和倍問題”“單價(jià)與總價(jià)問題”“行程問題（包括追及和相遇問題）”“盈虧問題”“工程問題”“銷售問題”等。教師可以嘗試將應(yīng)用題分類后以模塊形式呈現(xiàn)和練習(xí)，讓學(xué)生從模塊學(xué)習(xí)中體會(huì)利用解決同一類問題時(shí)模型的優(yōu)勢(shì)。

2.3.3 拔高層次讓學(xué)生體會(huì)方程解決復(fù)雜問題的優(yōu)勢(shì)

高年級(jí)小學(xué)生都不太喜歡利用方程解題，多數(shù)時(shí)候遇到難題就主動(dòng)放棄。主要原因在于學(xué)習(xí)過程中沒有感受到方程的便利。教師可以制造一些特殊問題激發(fā)學(xué)生對(duì)方程的興趣。讓學(xué)生自發(fā)地感覺利用算術(shù)法的局限性，自覺主動(dòng)地去探究方程的方法。

建議教師對(duì)幾個(gè)模塊講解后拔高層次。首先，專設(shè)例如“雞兔同籠問題”“年齡問題”等模塊進(jìn)行訓(xùn)練。讓學(xué)生分別利用選擇算術(shù)法與方程法進(jìn)行計(jì)算，并討論算理與算法。在小組合作、探究、對(duì)比中，總結(jié)方程與算數(shù)法的優(yōu)缺點(diǎn)以及如何選擇使用。其次，平時(shí)注意積累、收集特殊現(xiàn)實(shí)問題（使用方程是唯一或者最簡(jiǎn)便方法）。對(duì)其進(jìn)行情景設(shè)計(jì)并應(yīng)用于教學(xué)。例如，一快遞員上午送走了車內(nèi)一半的貨物，又增加了18件貨物，最后車內(nèi)貨物件數(shù)是原來貨物件數(shù)的兩倍，原來有幾件貨物？通過拋出這些類似的問題，讓學(xué)生在做與討論中感受到方程帶給人們的便捷。最后，設(shè)計(jì)開放性問題。對(duì)同一個(gè)問題不斷進(jìn)行條件與結(jié)論互相交換、增加條件，修改結(jié)論等等的變式訓(xùn)練，培養(yǎng)發(fā)散思維。讓學(xué)生養(yǎng)成不盲目照搬模型，遇到問題靈活應(yīng)變的習(xí)慣。

2.4 基于兒童的未來發(fā)展，剖析承載的思想方法

字母表示數(shù)中體現(xiàn)“符號(hào)思想”。教師教學(xué)中要幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到：符號(hào)的參與使某些復(fù)雜的文字語言變成了簡(jiǎn)單易讀的數(shù)學(xué)關(guān)系；人們可以從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律并用符號(hào)表示；利用符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系，能夠比閱讀文字語言更快速提取其中的關(guān)系；在一定的算法下，符號(hào)關(guān)系還可以解決特定的問題。

列方程體現(xiàn)“模型思想”。所謂模型，廣義理解就是現(xiàn)實(shí)生活中抽象出來的能夠解決某一類問題的數(shù)學(xué)關(guān)系。在模塊化學(xué)習(xí)中所提及的“和差問題”“和倍問題”“單價(jià)與總價(jià)問題”“行程問題（包括追及和相遇問題）”“盈虧問題”“工程問題”“銷售問題”“雞兔同籠問題”等，不正是學(xué)生之前學(xué)習(xí)過程中腦海里已建立起來的一個(gè)個(gè)模型嗎？小學(xué)生在五年級(jí)以前已經(jīng)接觸太多了！而五年級(jí)下學(xué)期，需要教師幫助學(xué)生系統(tǒng)地整理、歸類并總結(jié)：在解決實(shí)際問題時(shí)，可以先把它歸結(jié)為是否是已經(jīng)建立起來的模型的問題。如果是，可以利用已經(jīng)建立好的模型與問題條件進(jìn)行對(duì)應(yīng)并獲得等量關(guān)系。

列方程與解方程中的“化歸思想”。列方程的過程是化歸為已知模型的過程。如果不是已知模型的問題，一樣可以在條件中分析對(duì)比出相似的模型，類比聯(lián)想獲取新模型。同樣的，解方程就是把未知數(shù)化為已知數(shù)的過程。如果不能直接求出未知數(shù)，就轉(zhuǎn)化為求一個(gè)結(jié)構(gòu)式，通過求出這個(gè)結(jié)構(gòu)中的某個(gè)式子能進(jìn)一步得到未知數(shù)的值。

算術(shù)體現(xiàn)逆向思維過程，方程體現(xiàn)順向思維過程。用一個(gè)形象的例子比喻算術(shù)與方程就好像柯南探案。算術(shù)法是倒推著尋找線索，獲得一個(gè)小結(jié)論再進(jìn)一步倒推直到獲取真相。方程法是順著事件的發(fā)展順序去梳理線索，找到線索之間的相互關(guān)聯(lián)獲得前因后果。然而，在求方程的解的過程又是一個(gè)體現(xiàn)了逆運(yùn)算的過程。

3 簡(jiǎn)易方程在教學(xué)中的建議

首先，希望教師在一至四年級(jí)的教學(xué)過程中不要忽視對(duì)學(xué)生進(jìn)行早期代數(shù)知識(shí)的鋪墊?；仡櫞鷶?shù)的發(fā)展歷程，算數(shù)與代數(shù)之間有很多緊密的連接點(diǎn)。如果忽視對(duì)低年級(jí)小學(xué)生早期代數(shù)中具體情境意義的教育, 就會(huì)使他們失去在小學(xué)接受代數(shù)思維訓(xùn)練的良好時(shí)機(jī), 造成了后期學(xué)習(xí)代數(shù)的諸多困難[4]。

其次，在一至四年級(jí)的算術(shù)教學(xué)中滲透一些簡(jiǎn)單的方程思想。例如，在3+5=□的計(jì)算后，也可以適當(dāng)增加3+□=8，□+3=8的計(jì)算，并讓學(xué)生嘗試談?wù)勛约簽槭裁茨軌虻贸鲞@樣的結(jié)果?，F(xiàn)在的孩子相當(dāng)聰明，相信越早的滲透方程思想學(xué)生也有更多的時(shí)間去消化。不要養(yǎng)成了算術(shù)解題的慣性思維后再?gòu)?qiáng)行扭轉(zhuǎn)就太困難了！

最后，教師在教學(xué)前需要整體的閱讀教材，做到理解教材又超越教材。從縱向上領(lǐng)悟知識(shí)內(nèi)容滲透的思想方法、教科書中內(nèi)容的整體布局。從橫向上把握知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)間的相互聯(lián)系以及概念、性質(zhì)的本質(zhì)意義。只有落實(shí)好每一單元，每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的研讀，才能實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)在小學(xué)階段的培養(yǎng)真正落地！