江敏珊

《教學(xué)用書(shū) 》是由具有豐富經(jīng)驗(yàn)的一線教師、專家、學(xué)者依據(jù)各科大綱及教材內(nèi)容和要求并結(jié)合教學(xué)實(shí)際共同編寫(xiě)的，對(duì)廣大教師們的教育教學(xué)工作具有很強(qiáng)的指導(dǎo)性和實(shí)用性。它既是教師認(rèn)識(shí)和理解教材的基礎(chǔ)，也是教師實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源。本學(xué)期，我任教一年級(jí)兩個(gè)班的數(shù)學(xué)。在《減法》備課階段，我覺(jué)得內(nèi)容簡(jiǎn)單，所以備課前沒(méi)有閱讀《教學(xué)用書(shū)》。在第一個(gè)班級(jí)進(jìn)行教學(xué)時(shí)，由于對(duì)知識(shí)重難點(diǎn)沒(méi)有進(jìn)行深入研究，沒(méi)有找準(zhǔn)知識(shí)的延伸處，沒(méi)有用足習(xí)題，因此在第一個(gè)班的教學(xué)效果不好，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣不高?，F(xiàn)場(chǎng)聽(tīng)課的老師指出了我上課所出現(xiàn)的問(wèn)題，同時(shí)給我提了一個(gè)重要的建議，那就是每節(jié)課的備課都必須仔細(xì)研讀《教學(xué)用書(shū)》，理解每一個(gè)情境和例題的編寫(xiě)意圖，理解感悟每一道習(xí)題的作用和目標(biāo)，真正走進(jìn)教材。在經(jīng)過(guò)第一次的教學(xué)反思，我認(rèn)真反復(fù)研讀《教學(xué)用書(shū)》。在第二個(gè)班進(jìn)行教學(xué)時(shí)，我調(diào)整了部分教學(xué)內(nèi)容，對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)做了適當(dāng)?shù)男薷模鲈O(shè)了豐富多樣化的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題多角度、多方位、多層次的思考。下面結(jié)合兩個(gè)班的《減法》教學(xué)過(guò)程，談?wù)勎沂侨绾瓮ㄟ^(guò)研讀并合理使用《教學(xué)用書(shū)》來(lái)逐步改進(jìn)教學(xué)的。

一、初次教學(xué)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

第一個(gè)班級(jí)教學(xué)《減法》時(shí)，沒(méi)有研讀《教學(xué)用書(shū)》，出現(xiàn)了以下幾點(diǎn)不足：

1.在講完第一道“氣球情境圖”的例題后，馬上進(jìn)入了第二道“松鼠情境圖”練習(xí)，例題講解與練習(xí)環(huán)節(jié)不太對(duì)應(yīng)，練習(xí)缺乏針對(duì)性和有效性。

2.對(duì)一課時(shí)的內(nèi)容把握不夠清晰，只講解了“看算式，說(shuō)意思”的例題，缺少對(duì)減法算法的多樣化的例題講解。

3.講解 “氣球情境圖”例題的時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，沒(méi)有合理好分配教學(xué)時(shí)間。

4.練習(xí)題的設(shè)計(jì)沒(méi)有層次化，沒(méi)有找準(zhǔn)知識(shí)的延伸處，沒(méi)有用足習(xí)題。

二、研讀用書(shū)，改進(jìn)教學(xué)

教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的聽(tīng)課教師們都認(rèn)為我在第一個(gè)班教學(xué)時(shí)，沒(méi)有充分研讀每道例題和練習(xí)題的編寫(xiě)意圖，沒(méi)有關(guān)注教材的縱向聯(lián)系、橫向練習(xí)和整體把握，以致于在突破知識(shí)重難點(diǎn)和發(fā)展學(xué)生思維能力上，沒(méi)有達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果。為此，我認(rèn)真研讀《教學(xué)用書(shū)》，調(diào)整了部分教學(xué)內(nèi)容，重新設(shè)計(jì)了教學(xué)過(guò)程。在進(jìn)行第二個(gè)班級(jí)教學(xué)時(shí)，我站在學(xué)生的角度出發(fā)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知的“學(xué)困點(diǎn)”。同時(shí)，通過(guò)以下幾點(diǎn)改進(jìn)，促進(jìn)了學(xué)生的思考、知識(shí)的及時(shí)生長(zhǎng)。

【改進(jìn)1】數(shù)學(xué)書(shū)27頁(yè)“小松鼠情境圖”

與減法的含義的編排相一致，此情境圖也是加法計(jì)算情境圖的延續(xù)：玩耍的5只小松鼠，跑走了3只。從而引出算式5-3=。《教學(xué)用書(shū)》的編寫(xiě)意圖是通過(guò)呈現(xiàn)計(jì)算5-3的兩種方法，體現(xiàn)算法多樣化的思想。在第二個(gè)班級(jí)進(jìn)行教學(xué)時(shí)，為了更好地理解此情境圖時(shí)加法計(jì)算情境圖的延續(xù)，我在教學(xué)中增加了小松鼠加法計(jì)算情境圖的知識(shí)回顧，目的是讓學(xué)生重溫計(jì)算3+2的多種方法，讓學(xué)生能對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行類比和遷移，發(fā)展思維能力。

（1）小松鼠加法計(jì)算情境圖的知識(shí)回顧

（2）小松鼠減法計(jì)算情境圖的新授

為了讓學(xué)生對(duì)兩道小松鼠題做區(qū)分，在不改變圖意和題意的情況下，通過(guò)查閱網(wǎng)上資料，我更改了小松鼠的顏色，以提供學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這也符合低年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)趣味化的特點(diǎn)。

【改進(jìn)2】數(shù)學(xué)書(shū)《練習(xí)五》練習(xí)片段

1、數(shù)學(xué)書(shū)《練習(xí)五》第7題?！督虒W(xué)用書(shū)》的編寫(xiě)意圖是“5以內(nèi)的加減法，學(xué)生第一次見(jiàn)到這種形式的題目，可以初步滲透函數(shù)思想?！痹跊](méi)有認(rèn)真研讀《教學(xué)用書(shū)》時(shí)，在第一個(gè)班級(jí)教學(xué)時(shí)，部分學(xué)生看不懂圖意，計(jì)算結(jié)果正確率不高。在經(jīng)過(guò)認(rèn)真研讀《教學(xué)用書(shū)》后，我改變了該練習(xí)題的呈現(xiàn)方式，改用了“流動(dòng)圖”展示，把“+1”和“5-”做成了“流動(dòng)圖”，該題學(xué)生的正確率有了明顯的提高。這符合教材的編排特點(diǎn)之一，也就是從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)逐步開(kāi)展學(xué)習(xí)內(nèi)容，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2、數(shù)學(xué)書(shū)《練習(xí)五》第6題。這組練習(xí)題在第一個(gè)班級(jí)教學(xué)時(shí)是沒(méi)有呈現(xiàn)的，練習(xí)形式過(guò)于單一。在認(rèn)真研讀《教學(xué)用書(shū)》后，在第二個(gè)班級(jí)進(jìn)行教學(xué)時(shí)，我增設(shè)了以下這一題組。第6題的教學(xué)建議是“先說(shuō)圖意，再列式計(jì)算。最后引導(dǎo)學(xué)生橫看、豎看，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，直觀感知加、減法之間的關(guān)系?！痹诘诙€(gè)班級(jí)進(jìn)行教學(xué)時(shí)，學(xué)生用“”方式橫著看，他們發(fā)現(xiàn)第一排是和為4的加法算式，第二排是被減數(shù)為4的減法算式;學(xué)生用“”方式豎著看，發(fā)現(xiàn)第一排算式的和是第二排算式中的被減數(shù)，第一排算式中的已知加數(shù)是第二排算式中的差。結(jié)合《教學(xué)用書(shū)》的教學(xué)目標(biāo)提到：“初步學(xué)會(huì)根據(jù)加減法的含義和算法解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題”和“養(yǎng)成認(rèn)真作業(yè)、書(shū)寫(xiě)整潔的良好習(xí)慣”，我注重強(qiáng)調(diào)學(xué)生做題的課堂筆記，規(guī)范學(xué)生的做題行為，并且受到了良好的教學(xué)效果。

【改進(jìn)3】?jī)?yōu)化練習(xí)設(shè)計(jì)，發(fā)展思維能力

1、數(shù)學(xué)書(shū)《練習(xí)五》第3題的小花圖。《教學(xué)用書(shū)》的編寫(xiě)意圖是“要求學(xué)生根據(jù)圖意寫(xiě)減法算式，直觀感受原有的4個(gè)笑臉、剩下的笑臉間的關(guān)系，鞏固減法的計(jì)算方法，理解同數(shù)相減得0的道理，滲透函數(shù)思想?！庇捎诘谝粋€(gè)班級(jí)教學(xué)時(shí)，沒(méi)有注重練習(xí)的層次性和針對(duì)性。因此，在第二個(gè)班級(jí)，除了講解小花圖之外，我還增設(shè)了一組草莓圖。學(xué)生在做題過(guò)程中，理解了“劃去 ”和“虛線框”都可以表示去掉的意思，直觀感受減法的含義，加深對(duì)減法的理解。另外，在同一組草莓圖中，出現(xiàn)5以內(nèi)的加、減法的不同算式，有利于強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于加減法含義的理解。

2、《教學(xué)用書(shū)》的編寫(xiě)特點(diǎn)是“設(shè)計(jì)富有兒童情趣的學(xué)習(xí)素材和活動(dòng)情境，以激發(fā)學(xué)習(xí)興趣與動(dòng)機(jī)，促進(jìn)兒童主動(dòng)建構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)?！币虼?，研讀《教學(xué)用書(shū)》后，通過(guò)上網(wǎng)收集資料，選取以下一組題為這節(jié)課的拓展題。在第二個(gè)班級(jí)教學(xué)時(shí)，學(xué)生比較容易解決“樹(shù)上還有幾個(gè)桃子？”。而第二個(gè)問(wèn)題“小猴子摘走了幾個(gè)桃子？”，通過(guò)教師的適時(shí)點(diǎn)撥，學(xué)生二人討論，最終成功解決“猴子與桃”的故事。

三、回顧反思，用好用活

在發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)班的教學(xué)中所存在的問(wèn)題后，我認(rèn)真研讀《教學(xué)用書(shū)》，有效調(diào)整和改進(jìn)教學(xué)環(huán)節(jié)，提高了習(xí)題的“品位”，找準(zhǔn)了知識(shí)點(diǎn)的延伸處。因此， 在第二個(gè)班上這節(jié)課時(shí)，收到很好的教學(xué)效果：顯著地提高了教學(xué)的條理性;很好地體現(xiàn)了練習(xí)題的層次性和針對(duì)性;有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這些都真正達(dá)到有效教學(xué)。通過(guò)兩個(gè)班級(jí)的同一課時(shí)的不同教學(xué)，我切身感受到用好《教學(xué)用書(shū)》與不用《教學(xué)用書(shū)》的巨大差別，深刻理解到《教學(xué)用書(shū)》的重要作用。 作為新教師的我，必須要認(rèn)真研讀它，準(zhǔn)確把握教材的深度、廣度及大綱對(duì)具體知識(shí)、技能要求學(xué)生達(dá)到的等級(jí)，真正感悟《用書(shū)》的優(yōu)點(diǎn)，用好《用書(shū)》、用活《用書(shū)》，才能激發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生真正享受思考的快樂(lè)！

解讀新教材之等比數(shù)列和的性質(zhì)

林英杰

青島西海岸新區(qū)第一高級(jí)中學(xué) 山東青島 266555

“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”是高中數(shù)列章節(jié)非常重要的教學(xué)內(nèi)容，其公式的探究、推導(dǎo)以及靈活應(yīng)用是代數(shù)式結(jié)構(gòu)分析的典范，其中蘊(yùn)含了非常豐富的數(shù)學(xué)思想。下面就人教A版新教材中的一個(gè)例題來(lái)進(jìn)一步探究等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)。

首先我們一起來(lái)看一下新教材中關(guān)于該性質(zhì)的描述（課本P37）：

教材是基于等比數(shù)列的前m項(xiàng)和的公式的角度，通過(guò)分類討論的數(shù)學(xué)思想對(duì)該性質(zhì)進(jìn)行了證明。而在舊版人教A版的必修5<<數(shù)列>>章節(jié)中僅僅是在PB組練習(xí)里出現(xiàn)了該性質(zhì)的雛形，即：

2.已知等比數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，求證S，S-S，S-S也成等比數(shù)列。

這也是新舊兩版教材對(duì)該性質(zhì)的處理方式的不同，因?yàn)檫@種安排上的不同，在實(shí)際教學(xué)中師生對(duì)該性質(zhì)的重視程度會(huì)有巨大差異。下面我們借助題目實(shí)戰(zhàn)一下：

【典例】已知等比數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，若S=7，S=91，則S=（ ）

A.28 B.32 C.21 D.28或-21

【解析】∵數(shù)列{a}為等比數(shù)列，

∴S，S-S，S-S成等比數(shù)列，即7，S-7，91-S成等比數(shù)列

∴（S-7）=7（91-S），解得S=28或-21.

很多同學(xué)解到這里就選擇了選項(xiàng)D.但實(shí)際上該題的正確答案是A.28.

那么同學(xué)們明明用了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)，那為什么還是做出了錯(cuò)誤的答案呢？教師在實(shí)際教學(xué)中如何才能有效避免這種情況的發(fā)生。這篇文章旨在通過(guò)將課本中對(duì)該性質(zhì)的隱性的語(yǔ)言描述轉(zhuǎn)化為具相的等式關(guān)系來(lái)凸顯該性質(zhì)的實(shí)用性，以及在解題中的有效性。

首先我們借助數(shù)列的前n項(xiàng)和的定義以及等比數(shù)列中任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：，可以推導(dǎo)出這樣一個(gè)等式：

我們把上式記為（*）式. 這是一個(gè)對(duì)q=1和q≠1均成立的式子。

當(dāng)m=n時(shí)，（*）式可化為，

即得……①;

當(dāng)m=2n時(shí)，（*）式可化為，

結(jié)合①式，可得……②

以此類推，當(dāng)q≠-1時(shí)，

;;……

綜上：對(duì)于等比數(shù)列{a}，當(dāng)q≠-1時(shí)，其前n項(xiàng)和滿足：

（1）;

（2）仍成等比數(shù)列，公比是q;

且有：;.

下面我們應(yīng)用上面推得的等式來(lái)求解【典例】，具體過(guò)程如下：

解：由題意易知，等比數(shù)列{a}的公比q≠-1.

∵，∴q+q=12，解得∴q=3（q=-4舍）

（解法一）∴.

（解法二），∴91=7+3S，解得S=28.

事實(shí)證明，我們推得的等式具有非常好的實(shí)戰(zhàn)效果.下面請(qǐng)大家試著解決以下問(wèn)題：

（1）設(shè)等比數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，若，則等于 （ ）

A.2 B. C. D.3

（2）如果一個(gè)等比數(shù)列的前5項(xiàng)的和等于10，前10項(xiàng)的和等于50，那么這個(gè)數(shù)列前15項(xiàng)的和等于多少？

在等差數(shù)列中應(yīng)用類似的推導(dǎo)方法，我們可以推導(dǎo)出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和S滿足：.有興趣的讀者可以推導(dǎo)一下.

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