李喜明 王驍力 李桂超 段運(yùn)鵬 廖 寧 李 爽 仝文放

（1.南陽(yáng)市第二中學(xué)校，河南 南陽(yáng) 473055；2.南陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 南陽(yáng) 473061）

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。具體而言，就是學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和已經(jīng)形成的數(shù)學(xué)思維去發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題，進(jìn)而使自己和社會(huì)受益的能力。為了達(dá)到這個(gè)目標(biāo)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 版）》確定了高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析［1］。這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立，又相互交融，是一個(gè)有機(jī)整體。數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，旨在用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述問題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)造模型解決問題。數(shù)學(xué)建模是六個(gè)核心素養(yǎng)的樞紐，它把這些核心素養(yǎng)有機(jī)結(jié)合到一起，并且能夠有效地組織、發(fā)展和檢驗(yàn)其他五個(gè)核心素養(yǎng)。中學(xué)生數(shù)學(xué)建模問題近年來受到了教育界的廣泛關(guān)注，許多學(xué)者就高中數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的相關(guān)問題進(jìn)行了研究探討和實(shí)踐。呂世虎等人指出在高中數(shù)學(xué)課程改革實(shí)踐中數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)沒有得到落實(shí)，提出對(duì)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)專門設(shè)置課時(shí)、組織活動(dòng)和評(píng)價(jià)的具體要求等相關(guān)應(yīng)對(duì)措施［2］。陳泳通過對(duì)比最近兩個(gè)版本的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，發(fā)現(xiàn)2017 版的新課標(biāo)在課程理念上更重視數(shù)學(xué)建模，在課程內(nèi)容上更重視數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)［3］。劉丹以函數(shù)的應(yīng)用為例研究并實(shí)踐了在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的教學(xué)思路和教學(xué)方法［4］。張思明提供了豐富的中學(xué)數(shù)學(xué)建模素材和案例，并且生動(dòng)地展現(xiàn)了中學(xué)教師如何做好中學(xué)數(shù)學(xué)建模，使得學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的提升有了一個(gè)真實(shí)的可操作、可展現(xiàn)的平臺(tái)［5］。

針對(duì)部分高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣不高的現(xiàn)狀，河南省南陽(yáng)市第二中學(xué)校以組織數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)作為突破口，通過課內(nèi)和課外兩種數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的有機(jī)結(jié)合，極大地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和解決問題的能力；并用實(shí)際案例分析了課內(nèi)、課外的實(shí)際數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)，然后探討了數(shù)學(xué)建模活動(dòng)對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示。

一、結(jié)合常規(guī)教學(xué)的課內(nèi)數(shù)學(xué)建模案例研究

在中學(xué)開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的目標(biāo)，是讓學(xué)生在深刻理解中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力，使得學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述世界，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。高中數(shù)學(xué)教師則要善于利用現(xiàn)有教材，在課堂教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡x取生活實(shí)際案例作為數(shù)學(xué)建模的切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，達(dá)到解決問題的目的。下面以學(xué)生小明患病治療過程中所遇到的一個(gè)問題為例來進(jìn)行分析。

學(xué)生小明因患某種疾病住院治療，經(jīng)專家會(huì)診決定采用針劑類藥物M。該針劑類藥物可以瞬間提升血液中的藥物濃度。在給藥之后，血液中的藥物漸漸被人體吸收，濃度逐漸降低，低于藥物的有效濃度之后就需要再次給藥。這樣一來，就需要醫(yī)院制定一個(gè)給藥時(shí)間間隔和每次給藥劑量的設(shè)計(jì)。這個(gè)問題可以拆分成兩個(gè)子問題分別在不同的教學(xué)章節(jié)中引入。

（一）子問題1

1.問題提出

醫(yī)院向小明注射了藥物M，在時(shí)刻t=0 時(shí)，他血液中的藥物濃度為c0(mg/L)。已知經(jīng)過T 小時(shí)后，他血液中的殘留藥物濃度c0e-KT(mg/L)，此時(shí)再次注射藥物。假設(shè)每次注射藥物后，血液中的藥物濃度瞬間上升c0(mg/L)。設(shè)R(n)為第n 次注射后血液中的藥物濃度，n ∈N*。請(qǐng)你寫出數(shù)列{R(n)}的遞推公式，并計(jì)算其通項(xiàng)公式。

2.問題分析

在等比數(shù)列的課程教學(xué)中，可以把該問題作為實(shí)際應(yīng)用例題。引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)的等比數(shù)列相關(guān)知識(shí)進(jìn)行分析。如果藥劑量過小或給藥時(shí)間間隔過長(zhǎng)，病人的住院時(shí)間沒有被充分用來治療，卻花著住院費(fèi)，既延誤了病情，又浪費(fèi)了金錢；如果藥劑量過大或給藥時(shí)間間隔過小，則會(huì)造成血液中的藥物堆積，當(dāng)藥物濃度高出人體所能承受的安全濃度時(shí)便會(huì)產(chǎn)生副作用。為了制定一個(gè)最優(yōu)的給藥時(shí)間間隔和每次給藥劑量，需要求出第n 次注射后血液中的藥物濃度。

3.基本假設(shè)

（1）給藥方式為針劑注射；

（2）每次給藥后藥物濃度的瞬間提升值C0為定值；

（3）給藥時(shí)間間隔為定值T。

4.模型的建立與求解

依題意可知第n+1 次注射后血液中的藥物濃度由第n 次注射后血液中的殘留藥物濃度和第n+1 次注射引起的藥物濃度增加量構(gòu)成，從而：

記λ=e-kT，則R(n+1)=λR(n)+c0,(n ∈N*)從而：

繼續(xù)求解，可得如下通項(xiàng)公式：

在子問題1 數(shù)學(xué)模型的建立和求解的過程中，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用等比數(shù)列知識(shí)來分析和解決問題，借助問題在強(qiáng)化學(xué)生對(duì)等比數(shù)列的理解與掌握的同時(shí)，也培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)。

（二）子問題2

1.問題提出

2.問題分析

在數(shù)列極限的教學(xué)中，可以把子問題2 作為應(yīng)用實(shí)例。教師引導(dǎo)學(xué)生采用子問題1 中的方法求出第n 次注射后的血液中藥物濃度R(n)的通項(xiàng)公式后，需要引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)列{R(n)}單調(diào)遞增并趨于定值的性質(zhì)翻譯到具體情景當(dāng)中，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)列的極限反映了注射藥物后的瞬時(shí)濃度在后期會(huì)無限接近某個(gè)水平，從而達(dá)到了“穩(wěn)定狀態(tài)”。以此啟發(fā)學(xué)生明晰思考的方向：從數(shù)列{R(n)}的極限出發(fā)能夠確定給藥時(shí)間間隔和每次給藥劑量。

3.基本假設(shè)

基本假設(shè)同子問題1。

4.模型的建立與求解

采用子問題1 的方法可以求出第n 次注射后的血液中藥物濃度R(n)的通項(xiàng)公式為：

因此，

式（6）中，H 的實(shí)際意義是對(duì)于藥物M 人體所能承受的最高安全濃度。

令Q(n)=R(n)e-kT，則，其中L 的實(shí)際意義是人體對(duì)于藥物M 的最低有效濃度。由

可以解得：

該子問題讓學(xué)生通過運(yùn)用所學(xué)的數(shù)列極限等知識(shí)，再次深刻認(rèn)識(shí)了數(shù)學(xué)建模過程中的模型建立、模型求解等重要步驟，從而培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法建立模型解決問題的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

5.問題拓展

（1）一般老人長(zhǎng)期服用或注射某種藥物時(shí)，第一次服用或注射的劑量一般會(huì)是后面服用劑量的兩倍，為什么要這樣安排呢？

（2）通過采訪你家附近醫(yī)院針劑注射方式使用較多的成人科室的醫(yī)生，利用課上學(xué)習(xí)的知識(shí)結(jié)合某種具體藥物建立數(shù)學(xué)模型，并且求出在同時(shí)考慮病人和醫(yī)院利益的情況下每次給藥后藥物濃度的瞬間提升值C0和給藥時(shí)間間隔T。在計(jì)算過程中需要獨(dú)立完成模型的所有細(xì)節(jié)計(jì)算和推導(dǎo)，撰寫并提交一篇研究報(bào)告。

（3）前面我們建立數(shù)學(xué)模型時(shí)為了簡(jiǎn)化均采用了一室模型，即把人體看成單個(gè)同體單元，適用于給藥以后，藥物立即迅速地分布在血液和其他體液組織中，并達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡的情形。但實(shí)際上藥物在體內(nèi)通常不是一室配置的，而是更多地呈現(xiàn)出二室配置的特點(diǎn)。二室模型假設(shè)藥物進(jìn)入體內(nèi)后在兩個(gè)房室內(nèi)配置，一個(gè)是中央室，另一個(gè)是外周室，并假定藥物首先進(jìn)入中央室，然后再由中央室向外周室轉(zhuǎn)移。請(qǐng)你進(jìn)一步推廣你的多階段遞推模型，以研究在三種常見的給藥方式（即快速靜脈注射、恒速靜脈點(diǎn)滴、口服或肌肉注射）下基于二室模型的藥劑量模型，并且分別求出在同時(shí)考慮病人和醫(yī)院利益的情況下求出每次給藥后藥物濃度的瞬間提升值C0和給藥時(shí)間間隔T。

通過引導(dǎo)學(xué)生解決這兩個(gè)子問題，不但能夠讓學(xué)生鞏固和加深對(duì)基本初等函數(shù)、等比數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列極限等高中數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，而且使學(xué)生初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的基本過程，最終使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以提升。

二、依托學(xué)生社團(tuán)的課外數(shù)學(xué)建模案例研究

數(shù)學(xué)建模社為學(xué)生在課外進(jìn)行數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)提供了一個(gè)發(fā)展和培養(yǎng)實(shí)踐創(chuàng)新能力的良好平臺(tái)。在學(xué)生的數(shù)學(xué)建模社團(tuán)活動(dòng)中，邀請(qǐng)了校內(nèi)外教師為學(xué)生作數(shù)學(xué)建模專題講座，帶領(lǐng)學(xué)生結(jié)合生活實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，并撰寫數(shù)學(xué)建模論文，鼓勵(lì)學(xué)生組隊(duì)參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。下面以數(shù)學(xué)建模小組所作的數(shù)學(xué)建模案例“高校招生考試制度改革中物理學(xué)科選考人數(shù)較少”為例，以示社團(tuán)活動(dòng)所取得的成果。

（一）問題提出

近年來，我國(guó)在部分省市開始對(duì)高考文理分科考試制度進(jìn)行改革，以上海市為例，“3+3”新高考方案推行后，物理學(xué)科呈現(xiàn)出“問題難，考生少”的現(xiàn)狀，“懼選物理”的情緒普遍存在。

（二）問題分析

在當(dāng)前高考錄取政策下，追求總分最大化是學(xué)生的目標(biāo)。所以，當(dāng)學(xué)生有選科自由時(shí)，他們考慮的重點(diǎn)是該學(xué)科成績(jī)上升空間和學(xué)科試題難度兩個(gè)方面。因此，我們分別基于以上兩個(gè)主要因素建立數(shù)學(xué)模型。

（三）基本假設(shè)

（1）假設(shè)學(xué)生每次考試中發(fā)揮基本穩(wěn)定；（2）假設(shè)改卷過程中教師對(duì)主觀題判斷基本一致。

（四）模型的建立與求解

為研究選考物理人數(shù)較少這一反?，F(xiàn)象的原因，并為河南省即將迎來的高考改革中可能出現(xiàn)的該類問題探求解決方案，課題組從學(xué)生的學(xué)科成績(jī)和學(xué)科試題的難度這兩個(gè)因素入手來進(jìn)行研究。

1.基于學(xué)科成績(jī)差異的選考傾向分析

課題組調(diào)取了南陽(yáng)市二中在2016 至2019 學(xué)年時(shí)理科生在市級(jí)、省級(jí)聯(lián)考中的物理、化學(xué)成績(jī)，據(jù)此利用最小二乘法進(jìn)行線性擬合，得到如下結(jié)論。

化學(xué)學(xué)科的成績(jī)波動(dòng)情況可反映為：

物理學(xué)科的成績(jī)波動(dòng)情況可反映為：

由此可見，高中學(xué)生三年物理成績(jī)相對(duì)化學(xué)成績(jī)來說上升空間較小，整體提升幅度不大。類似把物理和生物、政治、歷史、地理等選考學(xué)科分別對(duì)比也可以得出類似的結(jié)果。因此，學(xué)生會(huì)選擇容易突破和易取高分的化學(xué)等五門學(xué)科，這在一定程度上導(dǎo)致物理學(xué)科選考人數(shù)較少。

2.基于學(xué)科試題難度差異的選考傾向分析

對(duì)于學(xué)生來說，更傾向于選擇難度較小的學(xué)科，而盡量規(guī)避難度較大的學(xué)科。課題組成員利用南陽(yáng)市普通高三學(xué)生2018 年期末和2019 年一摸各科試卷及成績(jī)，借鑒鮑建生的試題綜合難度模型［6］，計(jì)算出了各學(xué)科的綜合難度系數(shù)（難度系數(shù)最高為1，最低為0）。筆者發(fā)現(xiàn)物理學(xué)科自身的客觀難度較大，這一現(xiàn)象可能會(huì)在學(xué)生群體中引發(fā)磁吸效應(yīng)，致使學(xué)生更傾向于報(bào)考生物、化學(xué)等較容易的學(xué)科。

（五）模型檢驗(yàn)

2019 年上海高考小三門選考人數(shù)中，地理又一次成為六門小學(xué)科中人數(shù)最多的學(xué)科，生物位居第二，物理依然是選擇人數(shù)最少的學(xué)科。由于等級(jí)考是排名制的，許多學(xué)生選擇放棄物理，轉(zhuǎn)戰(zhàn)其他學(xué)科，因此物理學(xué)科選擇的人數(shù)從2017 年的1.9 萬(wàn)，降到了2018年的不到1.5萬(wàn)，2019年再次降至1.2萬(wàn)，僅占27。52%，這也驗(yàn)證了所建模型的合理性和適用性。

（六）實(shí)踐反思

該課題讓學(xué)生通過運(yùn)用所學(xué)的最小二乘估計(jì)等知識(shí)，解決身邊遇到的選考物理人數(shù)較少的問題，不僅加深了對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，而且認(rèn)識(shí)到所學(xué)相關(guān)知識(shí)的實(shí)用性，從而掌握了數(shù)學(xué)建模的基本過程：提出問題、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型檢驗(yàn)。該課題以研究性學(xué)習(xí)的形式開展活動(dòng)［7］，以小組為單位，小組內(nèi)成員相互配合、分工協(xié)作、培養(yǎng)了學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神［8］。學(xué)生通過參與課題活動(dòng)，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等六大核心素養(yǎng)。

通過這些社團(tuán)活動(dòng)，能夠引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己身邊的問題，并利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)其加以解決，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，提升其實(shí)踐能力，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的形成。

三、數(shù)學(xué)建模對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

（一）教師要提高自身的建模意識(shí)

數(shù)學(xué)建模實(shí)際就是利用所掌握的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，將社會(huì)實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題并給出切合實(shí)際的解決方法。在此過程中就要使學(xué)生學(xué)會(huì)搜集信息，以更好地掌握和利用一些數(shù)學(xué)的邏輯思維方法來解決實(shí)際問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高其問題意識(shí)和解決問題的能力。因此，作為高中數(shù)學(xué)教師，不僅要掌握扎實(shí)的專業(yè)知識(shí)，更要實(shí)時(shí)關(guān)注生產(chǎn)生活的方方面面以及社會(huì)熱點(diǎn)問題，做建模的有心人，提高自身的數(shù)學(xué)建模意識(shí)。教師還需要系統(tǒng)學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)建模，在課堂教學(xué)中適時(shí)引入數(shù)學(xué)建模，運(yùn)用建模來解決數(shù)學(xué)問題，切實(shí)推動(dòng)高中數(shù)學(xué)建模在課堂教學(xué)的運(yùn)用，從而提高學(xué)生解決問題的能力。

（二）教師要轉(zhuǎn)變教學(xué)方式

高中數(shù)學(xué)教師要改變單純講授的教學(xué)方式，根據(jù)不同的內(nèi)容采取不同的方法，使教學(xué)模式、教學(xué)方法靈活多樣，在適當(dāng)時(shí)機(jī)可借助課內(nèi)和課外的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，培養(yǎng)學(xué)生問題意識(shí)、邏輯思維能力和解決問題的能力。教師要學(xué)會(huì)從知識(shí)的傳授者轉(zhuǎn)向?qū)W生學(xué)習(xí)、發(fā)展和提高的促進(jìn)者，從空間的支配者轉(zhuǎn)向?qū)W生建?；顒?dòng)的引導(dǎo)者、組織者與合作者。教師要能熟練使用和操作計(jì)算機(jī)，熟悉現(xiàn)代信息和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，會(huì)使用常用的數(shù)學(xué)建模軟件，能參與小組合作、交流，成為建模小組成員的合作伙伴。

（三）運(yùn)用數(shù)學(xué)建模要循序漸進(jìn)

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于受傳統(tǒng)教育觀念的影響，教師往往采用傳統(tǒng)的教學(xué)方法，很少運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的思想進(jìn)行教學(xué)，且學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中也對(duì)數(shù)學(xué)建模知之甚少，這就要求教師在課堂教學(xué)中不可能一蹴而就，要針對(duì)不同的內(nèi)容采取不同的方法，使學(xué)生逐步掌握數(shù)學(xué)建模的方法。在教學(xué)安排上，作為數(shù)學(xué)教師在根據(jù)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行建模教學(xué)時(shí)，要注意由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，使學(xué)生逐步掌握數(shù)學(xué)建模的方法來解決數(shù)學(xué)問題。另外，教師在運(yùn)用數(shù)學(xué)建摸教學(xué)時(shí)，還要注意引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)遇到的問題，逐一仔細(xì)閱讀，從給出的問題條件中搜集和提煉信息，找出與所要解決問題有關(guān)的信息，以便運(yùn)用建模的方法解決問題，在此過程中，逐步培養(yǎng)學(xué)生的信息意識(shí)和問題意識(shí)。

（四）教師要以人為本

高中數(shù)學(xué)教師要樹立以人為本的教學(xué)觀念，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)能力，提出適當(dāng)?shù)囊?，為學(xué)生提供動(dòng)手、動(dòng)腦和表達(dá)自己想法的機(jī)會(huì)，提供學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的環(huán)境；為學(xué)生提供自學(xué)實(shí)踐的時(shí)空，學(xué)以致用，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

課內(nèi)和課外的實(shí)踐活動(dòng)表明，開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)能夠切實(shí)有效地改變高中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)方法和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而激發(fā)學(xué)生自主思考，鍛煉學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和解決問題能力，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。