李佳珈

（上海理工大學(xué)，上海 200093）

數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)教師教學(xué)的根本依據(jù)與指南，同時(shí)也是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要工具。教材中的習(xí)題是教材的重要組成部分，在教師的教學(xué)過程以及學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中具有重要作用。

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，每接受一種新概念或新知識、新方法，都要通過一定的教學(xué)習(xí)題訓(xùn)練來加以鞏固和掌握。然而，在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，一線教師對習(xí)題的重視度還不夠。相當(dāng)一部分教師對習(xí)題的認(rèn)知較為淺顯，尚未正確理解習(xí)題所具有的重要功能與作用，使得在習(xí)題教學(xué)中存在諸多不足，沒有全面發(fā)揮習(xí)題的作用以及達(dá)到預(yù)期的教育教學(xué)效果。

一、數(shù)學(xué)習(xí)題的內(nèi)涵

教材是教學(xué)大綱（課程標(biāo)準(zhǔn)）的具體化，是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的重要參考及依據(jù)，是現(xiàn)實(shí)教育教學(xué)目標(biāo)的重要資源。在我國，盡管有不同版本的教材，但是不論何種版本，都是以教學(xué)大綱（課程標(biāo)準(zhǔn)）為依據(jù)，是眾多專家學(xué)者集體智慧的結(jié)晶，在一定程度上符合教育教學(xué)規(guī)律以及學(xué)生認(rèn)知發(fā)展階段和順序，具有一定的科學(xué)性和規(guī)范性。習(xí)題是教材的重要組成部分，是為了促進(jìn)學(xué)生對知識的理解、技能的掌握、品德的形成而設(shè)置的一系列活動(dòng)。習(xí)題包括練習(xí)題、討論題、實(shí)踐活動(dòng)等多種形式。

數(shù)學(xué)習(xí)題，從本質(zhì)上說是把現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系按數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)以及教科書的要求，根據(jù)學(xué)科特點(diǎn)、心理學(xué)、教育學(xué)以及學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)的，由易到難、由淺入深、循序漸進(jìn)的具有科學(xué)性和整體性的問題。

二、數(shù)學(xué)習(xí)題的功能

在認(rèn)真分析人教版初中數(shù)學(xué)教材后，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)習(xí)題主要具有以下功能：

（一）鞏固新知、綜合運(yùn)用

教學(xué)中的習(xí)題設(shè)計(jì)與訓(xùn)練主要目的就是鞏固學(xué)生所學(xué)的新的基礎(chǔ)知識、基本技能，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生智力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新與實(shí)踐精神。通過習(xí)題的練習(xí)可以促進(jìn)學(xué)生對基本知識點(diǎn)的消化、技能的掌握以及思維習(xí)慣和品德的形成，從而使題目與概念有機(jī)結(jié)合起來，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，達(dá)到數(shù)學(xué)與實(shí)際問題綜合應(yīng)用的效果。

人教版七年級數(shù)學(xué)下冊的8.2 節(jié)中，有這樣兩道習(xí)題［1］：

1.一條船順流航行，每小時(shí)行20 km；逆流航行，每小時(shí)行16 km。求輪船在靜水中的速度與水的流速。

2.運(yùn)輸360 噸化肥，裝載了6 節(jié)火車車廂與15 輛卡車；運(yùn)輸440 噸化肥，裝了8 節(jié)火車車廂與10 輛卡車，求每輛卡車與每節(jié)火車車廂平均各裝多少噸化肥?

這兩道題的解法中，一組未知數(shù)前無系數(shù)，一組有系數(shù)。第一組在求解過程中用代入消元法或加減消元法都可以，都比較簡單；而第二組在求解時(shí)學(xué)生自然要思考到用加減消元法比較簡便，如果是代入消元法則簡單問題復(fù)雜化。學(xué)生在完成這兩道題的過程中，不僅鞏固了知識，而且能判斷出用哪種求解方法較簡便。這種習(xí)題的設(shè)計(jì)和安排，無一不顯現(xiàn)出鞏固強(qiáng)化知識、綜合應(yīng)用實(shí)踐的具體功能與作用。

（二）有效滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，對于它的學(xué)習(xí)與體會(huì)應(yīng)貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。教師在課堂上要時(shí)刻注重滲透數(shù)學(xué)思想方法，逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和品質(zhì)。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法，需要貫穿于教學(xué)的全過程。數(shù)學(xué)教材習(xí)題的設(shè)計(jì)也貫徹了數(shù)學(xué)思想方法，需要教師重視。比如下面兩道習(xí)題：

1.利用函數(shù)圖像求解不等式:

（1）5x-1 ＞2x+5

（2）x-4 ＜3x+1

2.利用函數(shù)圖像求解方程組:

這是關(guān)于解不等式方程組的問題，與一般題目不同的是，它沒有直接進(jìn)行計(jì)算求解，而是給出要求利用函數(shù)圖像來求解，通過畫出所給式子的函數(shù)圖像可以一目了然地觀察出所求區(qū)域或方程解。這里便體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的思想，從函數(shù)角度看問題，能發(fā)現(xiàn)函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式之間聯(lián)系的奧秘。這種用函數(shù)思想認(rèn)識問題的方法，對于后續(xù)學(xué)習(xí)至關(guān)重要。另外，有時(shí)也會(huì)碰到對于一些題目理解困難、毫無思路的情況，這時(shí)就應(yīng)想到數(shù)形結(jié)合思想，看能否畫個(gè)圖來直觀理解題目內(nèi)涵，也許本身一個(gè)晦澀難懂的題目通過圖形就迎刃而解了，其應(yīng)用可以說相當(dāng)廣泛。

因此，教師要對教材中的每一道題進(jìn)行認(rèn)真分析，揭示和發(fā)現(xiàn)每道題目背后的數(shù)學(xué)思想并加以應(yīng)用。只要教師善于總結(jié)與引導(dǎo)，學(xué)生就能不斷鞏固、強(qiáng)化和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，這對于學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力等方面大有裨益。

（三）診斷反饋與評價(jià)

教材中習(xí)題設(shè)置的一個(gè)目的是檢驗(yàn)學(xué)生對所學(xué)知識點(diǎn)的掌握情況，也就是所謂的診斷反饋與評價(jià)功能。

比如，在學(xué)習(xí)完有理數(shù)加減法法則與方法后，課后有這樣一組練習(xí)題［2］：

計(jì)算下列式子：

這組題目就是為了迅速檢驗(yàn)出學(xué)生是否已經(jīng)聽懂有理數(shù)加減法法則并能進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算。在檢測過程中，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)有很多問題，部分學(xué)生因接受能力較弱，對法則沒有熟練掌握，使得在遇到“-(-10)”時(shí)，會(huì)計(jì)算為“-(-10)=-10”，而正確運(yùn)算應(yīng)該是“-(-10)=10”。這就提醒他們在去括號時(shí)要格外注意，是直接去掉括號里邊式子不變，還是去掉時(shí)里邊要變號。最容易出錯(cuò)的就是左括號前后都是負(fù)號，一定要記牢解決此問題相應(yīng)的減法法則：減去一個(gè)負(fù)數(shù)等于加上它的相反數(shù)；括號前是加號，則直接去掉括號，里邊不變。學(xué)生在做完這幾個(gè)題目后，就會(huì)知道自己哪方面沒有掌握好，哪個(gè)法則應(yīng)用還有問題，之后做題練習(xí)就會(huì)有針對性，多做自己薄弱部分的題目，對于已經(jīng)熟練掌握的部分則不需要再多花精力，讓學(xué)習(xí)變得高效起來；而教師也能根據(jù)學(xué)生的完成情況及時(shí)得到反饋結(jié)果，判斷出自己在哪方面需要再加強(qiáng)講解，讓學(xué)生熟練掌握并應(yīng)用所學(xué)知識。

（四）揭示內(nèi)涵方法、訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)是一門重視邏輯推理的學(xué)科、是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的學(xué)科。學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，可以在數(shù)學(xué)習(xí)題中得以實(shí)現(xiàn)。比如，在人教版數(shù)學(xué)教材八年級上冊的15.2.1 平方差公式這節(jié)中，有下面這個(gè)習(xí)題：

探究：計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

（1）(x+1)(x-1)=x2-x+x-1=x2-1

（2）(m+2)(m-2)=m2-2m+2m-4=m2-4

引導(dǎo)學(xué)生觀察思考并推廣到一般情況，歸納總結(jié)規(guī)律，由此得到平方差公式：

接著給出習(xí)題二：

運(yùn)用平方差公式計(jì)算：

（1）(3x+2)(3x-2)

（2）(b+2a)(2a-b)

在習(xí)題二的（1）中，可以把3x看成a，2看成b，即：

找到其所對應(yīng)的規(guī)律與方法，便可以輕而易舉地算出結(jié)果。

在引例中引導(dǎo)學(xué)生尋找題目之間的共通性與互異性，進(jìn)而嘗試尋出規(guī)律，歸納總結(jié)，在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，與此同時(shí)滲透歸納與類比的數(shù)學(xué)思想方法。

以上分析詳細(xì)地介紹了怎樣利用公式進(jìn)行簡便運(yùn)算，該把誰看作a、把誰看作b，揭示其中所反映的本質(zhì)的內(nèi)涵與方法，那就是分辨清楚，對應(yīng)正確。對于習(xí)題二中的（1）題，直接套用公式很容易；對于（2）題，不能直接套用，因?yàn)樗嵉沽艘幌马樞颍灰莆辗椒?，便一通百通?/p>

（五）文化育人

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們不僅僅學(xué)會(huì)了應(yīng)用許多定義、公式、定理，更重要的是，通過求解各式各樣的題目使我們形成了很多受用一生的良好品質(zhì)，體會(huì)到了數(shù)學(xué)知識的強(qiáng)大以及強(qiáng)烈的民族自豪感。例如：在學(xué)習(xí)完認(rèn)識負(fù)數(shù)后，課后有一個(gè)閱讀與思考，講的是有關(guān)負(fù)數(shù)的衍生。材料中講到中國人很早就開始使用負(fù)數(shù)，在古代商業(yè)活動(dòng)中，以收入為正，支出為負(fù)；以盈余為正，虧欠為負(fù)。在古代農(nóng)業(yè)活動(dòng)中，以增產(chǎn)為正，減產(chǎn)為負(fù)。在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的“方程”一章中我們發(fā)現(xiàn)，它在世界數(shù)學(xué)史上首次正式引入負(fù)數(shù)及其加減法運(yùn)算法則，書中涉及用不同顏色的算籌（小棍形狀的記數(shù)工具）分別表示正數(shù)和負(fù)數(shù)（紅色為正，黑色為負(fù)），并給出名為正負(fù)數(shù)的算法。通過這些習(xí)題，學(xué)生知道中國是最早使用負(fù)數(shù)的國家，我們的祖輩先于其他國民發(fā)明了負(fù)數(shù)，使得在商業(yè)活動(dòng)與農(nóng)業(yè)活動(dòng)的很多計(jì)數(shù)方面更便捷、更清晰易懂，學(xué)生自然而然地增強(qiáng)了文化自信。

諸如此類的習(xí)題可以使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史的衍生與發(fā)展，從而激發(fā)學(xué)生的愛國主義思想與民族自豪感。另外，在求解題目時(shí)，需要學(xué)生開動(dòng)腦筋，勤于思考，或積極主動(dòng)向旁人請教，培養(yǎng)他們迎難而上、開拓創(chuàng)新、堅(jiān)韌不拔的優(yōu)秀思想品格，最終實(shí)現(xiàn)文化育人功能。

三、教師如何利用例題習(xí)題實(shí)現(xiàn)高效課堂

（一）仔細(xì)研究教材，剖析題目本質(zhì)

很多教師對教材的熟悉程度不夠，對習(xí)題的功能與作用認(rèn)知不明確，使得他們錯(cuò)誤地認(rèn)為習(xí)題就是單純拿來做練習(xí)用的，所以每次講完課本知識點(diǎn)后，就簡單地要求學(xué)生完成題目，只注重最終結(jié)果，沒有深入分析例題，剖析其本質(zhì)，挖透其內(nèi)在意義，這種做法無疑將例題的價(jià)值大大壓縮，造成教學(xué)資源的浪費(fèi)，降低了教學(xué)效率，也影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量。

因此，在平時(shí)備課中教師就應(yīng)仔細(xì)研讀課本與教學(xué)參考資料，注意例題與知識點(diǎn)之間的相互聯(lián)系，將它們相互對照，找到它們的結(jié)合點(diǎn)。隨著教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累，不斷歸納與總結(jié)，慢慢實(shí)現(xiàn)從“注重解題結(jié)果”到“領(lǐng)悟核心內(nèi)容”再到“掌握知識體系”轉(zhuǎn)變。

（二）精選題目，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力

教師課堂教學(xué)時(shí)間和學(xué)生接受能力有限，面對課本和各種輔導(dǎo)資料中大量的例題、習(xí)題，學(xué)生沒有那么多的時(shí)間和精力逐一完成。而且，學(xué)生自己在做題目訓(xùn)練時(shí)，很容易出現(xiàn)做了很多題目卻收效不大的現(xiàn)象，主要原因是題目針對性不強(qiáng)，或者題型單一等。因而，教師做好題目的選擇與取舍就顯得尤為重要。具體可以采取以下幾種方法：

一是以課本為基石，就近取材。教材是最好的工具書，它最具有權(quán)威性，里面所選的題目大都精準(zhǔn)且典型，貼近學(xué)生實(shí)際，具有很強(qiáng)的指導(dǎo)性與針對性。

二是選取有層次性的題目。選擇題目時(shí)要盡量做到在難度上逐層深入，由易到難，這樣能更好地幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識并深化學(xué)生對知識的進(jìn)一步應(yīng)用，也更利于滿足不同層次學(xué)生的需求。

三是選取開放性和多樣性的題目。開放性和多樣性的題目能更好地培養(yǎng)學(xué)生的各種數(shù)學(xué)思維能力。開放性題目則意味著答案可能不統(tǒng)一或者解題方法多樣，有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，而題目多樣則有利于培養(yǎng)學(xué)生不同的數(shù)學(xué)能力。

（三）強(qiáng)化講解能力、突出方法指導(dǎo)

對于帶有普遍教育教學(xué)意義的習(xí)題要進(jìn)行重點(diǎn)講解。在講解習(xí)題的過程中，要注重方法的教授。傳播數(shù)學(xué)思想和方法，有利于使用有效的教學(xué)方式對知識進(jìn)行整理與歸納。比如：在初中數(shù)學(xué)例題教學(xué)求解不規(guī)則圖形的面積講解中，教師可借助數(shù)學(xué)思想中的轉(zhuǎn)化與化歸的方法，引導(dǎo)學(xué)生將其中的不規(guī)則圖形通過切割與補(bǔ)充轉(zhuǎn)變?yōu)橐?guī)則圖形，進(jìn)而計(jì)算其面積，即割補(bǔ)法教學(xué)。同時(shí)，不要簡單地就題論題，要注重舉一反三，提煉其中的方法與思想；不要只從正向出發(fā)，還應(yīng)注重逆向思維與正反對比；不能單以講解完題目為結(jié)果，還應(yīng)注重過程反思與評價(jià)。

另外，教師講解題目時(shí)要重視步驟的完整性。教師要帶頭示范，不能因?yàn)槟骋徊襟E簡單就省略，而要達(dá)到讓每名學(xué)生都能聽懂的效果。另外，在講解過程中要引導(dǎo)學(xué)生梳理自己的解題步驟，規(guī)范解題過程，讓他們養(yǎng)成良好的習(xí)慣，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

總之，教師要重視習(xí)題在教育教學(xué)中的功能，在教學(xué)過程中不斷提高、積淀，形成自己的教學(xué)風(fēng)格，合理、有效地應(yīng)用習(xí)題，達(dá)到教書育人的終極目標(biāo)。