姜勇鋼

(江蘇省南通市海門第一中學(xué) 226100)

筆者借助本文，通過一道三次函數(shù)為原型題目的分析、解答、求解、歸類等，將一題的多種方法一一呈現(xiàn)，并通過題目的分析引領(lǐng)學(xué)生去深入分析、感悟題目，學(xué)會在對比中感悟，在感悟中應(yīng)用，在應(yīng)用中提升，在長期的教學(xué)引領(lǐng)下，實(shí)現(xiàn)減負(fù)高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境.

一、例題呈現(xiàn)

已知f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)，若函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)x1,x2，x1

方法一(直接代數(shù)運(yùn)算)求導(dǎo)得

f′(x)=3x2+2ax+b，

所以x1,x2是方程

3x2+2ax+b=0

的兩個根，根據(jù)韋達(dá)定理得

又由題意得

所以g(x)=f(x)-f(x0)

=(x-x0)(x-x1)2

顯然它有兩個零點(diǎn)，分別為x1和x0.

方法二(平移代換)將f(x)的解析式作如下變形：

①

②

而g(x)=f(x)-f(x0)=[φ(t)+B]-[φ(t0)+B]=φ(t)-φ(t0).

③

所以原題等價于下列命題：

已知φ(t)=t3+At，若函數(shù)φ(t)有兩個極值點(diǎn)t1,t2，t1

顯然有兩個零點(diǎn)t0,t1.

二、方法總結(jié)

方法總結(jié)，并引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行全面的解讀和反思，這是全面提升這道題目的價值所在，也是提升學(xué)生解題能力的關(guān)鍵所在，在這道題目上，我們可以做以下四個環(huán)節(jié)的總結(jié)與反思，分析與提煉、變式與拓展.

1. 判斷一個多項(xiàng)式的零點(diǎn)時，如果能因式分解，當(dāng)然優(yōu)先考慮因式分解.

在本題中，顯然有一個零點(diǎn)是x0，所以必有一個因式x-x0. 而這道題選擇作為參數(shù)x1,x2，消去a,b,x0，而不是通常地利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化以a,b為參數(shù)，是因?yàn)閤0的表達(dá)式中x1,x2的地位并不對等，無法湊出只含x1+x2和x1x2的形式.

2. 本題可以推廣至一般情況，得到下列結(jié)論：

設(shè)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有兩個極值點(diǎn)x1,x2，且x1

圖1

即點(diǎn)A在線段DB上的投影將線段DB分成1∶2的兩部分，點(diǎn)B在線段AC上的投影將線段AC分成2∶1的兩部分.

3.2016年天津高考壓軸題第(2)問即以命題為背景，求證A,F,C(D,F,B)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系.

現(xiàn)節(jié)選如下：

(文)設(shè)函數(shù)f(x)=x3-ax-b,x∈R，其中a,b∈R，若f(x)存在極值點(diǎn)，且f(x1)=f(x0)，其中x1≠x0，

求證：x1+2x0=0；

(理)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R，其中a,b∈R，若f(x)存在極值點(diǎn)，且f(x1)=f(x0)，其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3.

4. 2013年廣東文數(shù)壓軸題第(2)問亦與此有關(guān)，節(jié)選如下：

設(shè)函數(shù)f(x)=x3-kx2+x，當(dāng)k<0時，求f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.

容易分析得該三次函數(shù)在[k,-k]上的圖像包括了DABC，所以最小值在左端點(diǎn)取得，最大值在右端點(diǎn)取得.而將函數(shù)與端點(diǎn)函數(shù)值作差，代數(shù)變形后判斷符號即可說明這一點(diǎn)：

f(x)-f(k)=(x3-kx2+x)-k=(x-k)(x2+1)≥0

以及f(x)-f(-k)=(x3-kx2+x)-(-2k3-k)=x3-kx2+2k3+x+k=x2(x+k)+2k(k2-x2)+(x+k)≤0.

易得m=f(k)=k，M=f(-k)=-2k3-k.

5. 平移代換是簡化問題的常用技巧，如上面的2016年天津高考題，經(jīng)過平移代換之后，兩個命題是完全等價的，但是文科的題從面上看確實(shí)比理科題簡單，若我們能以運(yùn)動的觀點(diǎn)來看函數(shù)圖像，不拘泥于表達(dá)式這件“外衣”，想必我們能更快地抓到問題的本質(zhì).

授之以魚不如授之以漁，在常態(tài)的課堂教學(xué)過程中，我們要致力于教育教學(xué)質(zhì)量的訓(xùn)練和提升，這就要求我們站在學(xué)生的高度，幫助學(xué)生去剖析相應(yīng)問題的本質(zhì)，舉一反三、一題多解、一題多變，在深入的研究中觸發(fā)學(xué)生的能力生長.