賴錦湘

(福建水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共基礎(chǔ)部，福建 永安 366000)

在機(jī)械制造業(yè)不斷發(fā)展的今天，先進(jìn)制造領(lǐng)域的競(jìng)爭(zhēng)愈發(fā)激烈，與此同時(shí)，機(jī)械產(chǎn)品的設(shè)計(jì)要求逐漸提高，產(chǎn)品結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的要求也逐步提升[1-2]。結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法從原始的基礎(chǔ)優(yōu)化逐步走向現(xiàn)代化設(shè)計(jì)，結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)技術(shù)實(shí)現(xiàn)的設(shè)計(jì)方法之一。對(duì)于設(shè)計(jì)結(jié)果的評(píng)價(jià)方式通常采用目標(biāo)函數(shù)完成。結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的量采用變量的形式，完成目標(biāo)函數(shù)評(píng)價(jià)[3]。目前，結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的研究熱點(diǎn)為孔口應(yīng)力集中，這是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中非常重要的問題。許多工程中通常需要設(shè)置一些孔，這些孔口附件的應(yīng)力遠(yuǎn)大于無孔時(shí)的應(yīng)力，會(huì)造成相應(yīng)的問題[4-5]。在土木工程中，很多問題可以理解成平面孔口問題，基于土木工程中的孔口較為復(fù)雜，應(yīng)用保角變換技術(shù)可將復(fù)雜的孔口邊界條件映射為結(jié)構(gòu)較為單一的邊界條件，因而，采用復(fù)變函數(shù)法是解決此類問題的重要手段之一。 就目前的技術(shù)發(fā)展而言，復(fù)變函數(shù)在處理這種復(fù)雜邊界問題中具有一定的優(yōu)勢(shì)，其可對(duì)非圓形孔口展開應(yīng)力分析，提高計(jì)算結(jié)果的精準(zhǔn)度，獲得相應(yīng)的彈性與位移場(chǎng)，以便于計(jì)算各指標(biāo)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響[6-7]。因此，復(fù)變函數(shù)是分析隧道圍巖應(yīng)力變化的有力工具，可用于科學(xué)研究和實(shí)際工程。此次研究中，主要對(duì)復(fù)變函數(shù)極限求解過程展開優(yōu)化，通過應(yīng)用線性回歸模型提升復(fù)變函數(shù)極限求解的可靠性。在極限求解過程設(shè)定結(jié)束后，采用算例測(cè)試的形式與傳統(tǒng)方法展開對(duì)比，驗(yàn)證此次研究結(jié)果的有效性。

1 基于線性回歸模型的復(fù)變函數(shù)極限求解方法設(shè)計(jì)

通過文獻(xiàn)研究可知，傳統(tǒng)的復(fù)變函數(shù)極限求解方法存在著求解計(jì)算效果較差的問題[8]。因而，在此次研究中，引用線性回歸模型完成求解過程，以提升復(fù)變函數(shù)極限求解的處理速度。

在此次設(shè)計(jì)中，首先對(duì)復(fù)變函數(shù)的求解步驟展開設(shè)定具體過程如下：構(gòu)建具有保角轉(zhuǎn)換功能的映射函數(shù)，根據(jù)邊界條件求解復(fù)應(yīng)力函數(shù)，最后根據(jù)復(fù)應(yīng)力函數(shù)對(duì)復(fù)變函數(shù)進(jìn)行求解。上述計(jì)算部分中將融合線性回歸模型中的部分技術(shù)，完成設(shè)計(jì)過程。

1.1 復(fù)變函數(shù)應(yīng)力場(chǎng)分析

在此次設(shè)計(jì)中，為提升復(fù)變函數(shù)求解過程的可靠性，將其求解環(huán)境設(shè)定為孔口環(huán)境，以此保證求解過程的可行性與科學(xué)性。一般情況下，復(fù)變函數(shù)的求解環(huán)境通常為圓形孔口，在復(fù)變函數(shù)的求解過程中首先對(duì)復(fù)變函數(shù)產(chǎn)生的應(yīng)力場(chǎng)展開分析。設(shè)定圓形孔口的半徑為ra，此圓孔沒有支護(hù)阻力，遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力為αa，在此研究中，忽略圓孔體應(yīng)力，將其設(shè)定為平面應(yīng)變問題[9-10]。針對(duì)圓形孔口的對(duì)稱性，采用徑坐標(biāo)系(r,β)體現(xiàn)其孔口的特征，具體如圖1所示。

由上述圖像可得到復(fù)變函數(shù)應(yīng)力場(chǎng)的分析結(jié)果，其平衡方程可表示為：

(1)

(1)式中，d為距離圓孔中心的距離，αβ為角度為β的遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力。利用公式(1)獲取圓孔的平衡分析結(jié)果。根據(jù)此平衡方程求得圓孔的幾何方程如下：

(2)

(2)式中，u為孔口的大氣壓強(qiáng)，χs表示孔口的幾何壓力。使用公式(2)可得到孔口在使用復(fù)變函數(shù)時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系[11-12]，具體可表示為：

(3)

使用公式(2)，可得到復(fù)變函數(shù)的邊界條件，由此邊界條件完成復(fù)變函數(shù)的應(yīng)力分析過程，具體邊界條件為：

χr(ra)=0；

(4)

χr(∞)=χa。

(5)

式中，限定了復(fù)變函數(shù)的區(qū)間，并得到復(fù)變函數(shù)的積分常數(shù)p1、p2。具體表示如下：

(6)

(7)

式中，H表示應(yīng)力分析系數(shù)，μ設(shè)定為圓孔綜合荷載系數(shù)[13]。對(duì)公式(6)(7)進(jìn)行求解，可得出復(fù)變函數(shù)的計(jì)算積分常數(shù)。

1.2 復(fù)應(yīng)力函數(shù)的表示與計(jì)算

在1.1部分中，獲取到了復(fù)變函數(shù)的應(yīng)力場(chǎng)分析結(jié)果，將此結(jié)果結(jié)合彈性力學(xué)的基本理論可將其設(shè)定為應(yīng)力與位移邊界2部分，假設(shè)位移邊界用f[14-15]表示，則位移邊界的復(fù)變函數(shù)為：

(8)

(9)

式中，A為復(fù)變函數(shù)邊界上任意一積分起點(diǎn)，B為邊界上任意一點(diǎn)，X與Y分別表示邊界上沿x軸與y軸方面的給定應(yīng)力。

(10)

(11)

(12)

(13)

映射函數(shù)可將復(fù)雜的復(fù)變函數(shù)整理為簡(jiǎn)單的形式，將此函數(shù)與線性回歸模型相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)復(fù)變函數(shù)極限求解。

1.3 實(shí)現(xiàn)復(fù)變函數(shù)極限求解

以上述分析結(jié)果為基礎(chǔ)，結(jié)合線性回歸模型實(shí)現(xiàn)復(fù)變函數(shù)極限求解。為完成極限求解，使用線性回歸模型設(shè)定半無窮大板[18]。在其某直線邊界處設(shè)定一個(gè)圓孔，其半徑為rb，圓心到直徑的距離為j，圓孔邊界到直線的最短距離為s，線性回歸模型半無窮大板如圖2所示。

由圖2可知，此模型中的邊界條件是直線的邊界上沒有作用力，只有圓孔邊界存在垂直于邊界的均勻荷載Q,則其應(yīng)力邊界條件可表示為：

(14)

在圓形邊界上，雙曲坐標(biāo)下η=η1，則有：

(15)

結(jié)合線性回歸模型，可由邊界的變化得到無窮大板平行與直線邊界的均勻荷載C，其應(yīng)力場(chǎng)可顯示為：

(16)

(17)

聯(lián)立公式(16)與公式(17)，分離復(fù)變函數(shù)的實(shí)部與虛部[19-20]，得到復(fù)變函數(shù)在孔口相應(yīng)位置處的應(yīng)力，具體如下：

(18)

使用公式(18)，可得到復(fù)變函數(shù)極限值，與線性回歸模型半無窮大板中的參數(shù)進(jìn)行聯(lián)立可得到復(fù)變函數(shù)極限解的表達(dá)方程

(19)

使用公式(19)，完成復(fù)變函數(shù)極限求解過程。在計(jì)算的過程中，邊界條件的計(jì)算直接影響著求解的準(zhǔn)確性，對(duì)邊界條件展開多次測(cè)算，提升邊界條件的可靠性。至此，基于線性回歸模型的復(fù)變函數(shù)極限求解方法設(shè)計(jì)完成。

2 算例測(cè)試分析

為證實(shí)其使用效果，采用算例測(cè)試的形式，完成文中設(shè)計(jì)方法與傳統(tǒng)方法的對(duì)比，并分析文中設(shè)計(jì)方法與傳統(tǒng)方法在求解過程中的不同點(diǎn)。

2.1 算例設(shè)定

在此次算例測(cè)試中，為保證測(cè)試環(huán)境的真實(shí)性，采用案例分析的形式，設(shè)定相應(yīng)的計(jì)算案例完成測(cè)試過程。

某抽水蓄能電站位于中國東南部某知名城市境內(nèi)，距離城市中心為10km,靠近重要電網(wǎng)負(fù)荷中心，是該電網(wǎng)中的理想調(diào)峰電源，因此，在此處建立抽水蓄能電站站址。

此工程中包含上平洞段、斜井段、下平洞段、高壓鋼支管段，此算例洞端相對(duì)埋深較大，大部分為II級(jí)圍巖，圍巖內(nèi)摩擦角為50.00°，粘聚力為2.0N，圍巖重度取值為25.0×103N/m3。在此算例中由于洞段的埋深不同，洞徑為15m,圍巖的各項(xiàng)力學(xué)參數(shù)如下：內(nèi)摩擦角為30°，粘聚力為0.5N,圍巖的重度為25.0×103N/m3。以上述數(shù)據(jù)作為此次算例測(cè)試的計(jì)算對(duì)象，將上述環(huán)境作為復(fù)變函數(shù)的計(jì)算環(huán)境，提升復(fù)變函數(shù)計(jì)算的有效性。

為保證文中設(shè)計(jì)方法與其他2種傳統(tǒng)方法在測(cè)試過程中的一致性與可控性，此處測(cè)試中使用的軟件與設(shè)備均是相同的。

2.2 測(cè)試指標(biāo)設(shè)定

在此次設(shè)計(jì)中，將求解的運(yùn)算時(shí)間與求解的誤差值以及運(yùn)算的數(shù)據(jù)量作為此次算例測(cè)試的對(duì)比指標(biāo)。通過此3組指標(biāo)的對(duì)比，完成文中設(shè)計(jì)方法與傳統(tǒng)方法的對(duì)比。

針對(duì)數(shù)據(jù)的多變性，此次測(cè)試共進(jìn)行10次，以提升算例測(cè)試結(jié)果的有效性。在算例計(jì)算的過程中，僅保留測(cè)試結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)后2位數(shù)據(jù)，以便于測(cè)試結(jié)果的對(duì)比與分析。

2.3 測(cè)試結(jié)果分析

通過將3種方法導(dǎo)入軟件，分析3種方法復(fù)變函數(shù)極限求解的運(yùn)算時(shí)間，經(jīng)過10次測(cè)試后，將測(cè)試結(jié)果整理成表1。

表1 求解的運(yùn)算時(shí)間測(cè)試結(jié)果

通過上述算例測(cè)試結(jié)果可知，文中設(shè)計(jì)方法的運(yùn)行時(shí)間是3種方法中最短的，說明該方法的使用效果最好。由測(cè)試結(jié)果數(shù)據(jù)分析可知，文中方法的運(yùn)算時(shí)間始終保持在15～16s之間，具有較高的計(jì)算穩(wěn)定性。傳統(tǒng)方法1與傳統(tǒng)方法2的運(yùn)算時(shí)間較長(zhǎng)，可知其計(jì)算能力較差，且傳統(tǒng)方法2與傳統(tǒng)方法1相比，具有較高的運(yùn)算時(shí)間波動(dòng)性，表明其使用效果最差。綜合上述測(cè)試結(jié)果可知，文中設(shè)計(jì)方法使用效果最佳。

通過將3種方法輸入相關(guān)軟件，獲取了3種方法復(fù)變函數(shù)極限求解的結(jié)果，并將該結(jié)果與實(shí)際值比較，得到運(yùn)算結(jié)果誤差值，經(jīng)過10次測(cè)試后，將測(cè)試結(jié)果整理成表2。

表2 求解的運(yùn)算誤差值測(cè)試結(jié)果

分析表2的結(jié)果可知，在求解的運(yùn)算誤差值測(cè)試中，文中設(shè)計(jì)方法是3種方法中最為有效的。通過3種方法的運(yùn)算誤差值可以看出，傳統(tǒng)方法1與傳統(tǒng)方法2的運(yùn)算精度較差。文中設(shè)計(jì)方法的運(yùn)算精度較佳，沒有出現(xiàn)誤差值較高的情況。在多次的測(cè)試中，文中設(shè)計(jì)方法的誤差值維持在3%左右，滿足工程中對(duì)于復(fù)變函數(shù)求解精度的要求。其他2種傳統(tǒng)方法的誤差值約為文中設(shè)計(jì)方法誤差值的2倍。由上述數(shù)據(jù)可知，文中設(shè)計(jì)方法的求解的運(yùn)算誤差值最低，可有效保證計(jì)算結(jié)果的可靠性。

通過將3種方法輸入相關(guān)軟件，獲取3種方法復(fù)變函數(shù)極限求解的結(jié)果，分析得到該結(jié)果所需要的運(yùn)算數(shù)據(jù)量，經(jīng)過10次測(cè)試后，將測(cè)試結(jié)果整理成表3。

表3 求解的運(yùn)算的數(shù)據(jù)量測(cè)試結(jié)果

分析表3的結(jié)果可知，文中設(shè)計(jì)方法在進(jìn)行求解時(shí)，運(yùn)算數(shù)據(jù)量較大。通過文獻(xiàn)研究可知，在復(fù)變函數(shù)求解的過程中，數(shù)據(jù)量越大，所得解的精準(zhǔn)度越高。將文中設(shè)計(jì)方法的數(shù)據(jù)運(yùn)算量與傳統(tǒng)方法的數(shù)據(jù)運(yùn)算量相比可知，文中設(shè)計(jì)方法的數(shù)據(jù)運(yùn)算量最高，由此可知，文中設(shè)計(jì)方法的計(jì)算精度最高。傳統(tǒng)方法的數(shù)據(jù)運(yùn)算量?jī)H足夠維持復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)運(yùn)算。文中設(shè)計(jì)方法的數(shù)據(jù)運(yùn)算量可有效提升求解數(shù)據(jù)的可靠性。綜上，文中設(shè)計(jì)方法的求解結(jié)果更為可信。

將求解的運(yùn)算時(shí)間測(cè)試結(jié)果、求解的運(yùn)算誤差值測(cè)試結(jié)果以及求解的運(yùn)算的數(shù)據(jù)量測(cè)試結(jié)果整合可知，文中設(shè)計(jì)的基于線性回歸模型的復(fù)變函數(shù)極限求解方法在上述測(cè)試指標(biāo)中，均可以得到較好的結(jié)果。

3 結(jié)語

此次研究對(duì)復(fù)變函數(shù)的求解過程展開優(yōu)化，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了此次研究結(jié)果的有效性。在彈性力學(xué)的基礎(chǔ)上，結(jié)合線性回歸模型有效緩解了傳統(tǒng)方法在使用中的不足。在實(shí)際工程中會(huì)遇到多種多樣的問題，其邊界條件也不同，在后續(xù)的研究工作中可研究更多的問題模型，討論更為復(fù)雜的復(fù)變函數(shù)，為復(fù)變函數(shù)的求解提供更加有效的方法。