王妍，張?jiān)?/p>

豎向偏心荷載作用下懸臂箱梁畸變效應(yīng)研究

王妍，張?jiān)?/p>

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

在改進(jìn)的箱梁畸變效應(yīng)解析理論基礎(chǔ)上，用能量變分法建立畸變控制微分方程，根據(jù)邊界條件推導(dǎo)出兩端設(shè)置橫隔板的懸臂箱梁在豎向偏心均布荷載作用下的畸變效應(yīng)計(jì)算式。通過有限元軟件ANSYS對所推導(dǎo)公式的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)合數(shù)值算例詳細(xì)分析參數(shù)變化對懸臂箱梁畸變效應(yīng)的影響。研究結(jié)果表明：高寬比對懸臂箱梁畸變翹曲正應(yīng)力的影響程度大于對橫向單寬彎矩的影響程度，當(dāng)高寬比約為1.5時(shí)懸臂箱梁畸變效應(yīng)最為顯著；當(dāng)高寬比和懸臂板相對寬度變化時(shí)，畸變翹曲正應(yīng)力發(fā)生變號以及橫向單寬彎矩出現(xiàn)峰值的截面位置也會(huì)改變；懸臂板相對寬度對畸變效應(yīng)影響較小；荷載偏心率對畸變效應(yīng)影響顯著。

懸臂箱梁；能量變分法；畸變效應(yīng)；翹曲正應(yīng)力；橫向彎矩

箱形截面由于具有結(jié)構(gòu)性能良好、穩(wěn)定性強(qiáng)、截面效率高等優(yōu)點(diǎn)而在現(xiàn)代各種橋梁上都得到了廣泛的應(yīng)用。然而，隨著其壁厚日趨減小，由截面畸變引起的翹曲正應(yīng)力在箱梁橋總應(yīng)力中所占的比例逐漸增大[1?2]。有關(guān)研究表明，簡支箱梁截面由剛性扭轉(zhuǎn)和畸變產(chǎn)生的縱向翹曲應(yīng)力可達(dá)由活載和恒載共同作用的縱向彎曲應(yīng)力的1/4左右[3?4]，而由截面畸變產(chǎn)生的橫向彎曲應(yīng)力大小可達(dá)到活載縱向彎曲應(yīng)力大小的同一數(shù)量級[5?8]?；冃?yīng)解析方法目前有等代梁法[1]、彈性地基梁比擬法[9?10]、廣義坐標(biāo)法[11]等。各種方法繁簡程度以及對畸變變形未知量的選取和定義皆有不同，在分析過程中有些方法考慮剪切變形，有些方法則不考慮，許多學(xué)者研究得出剪切變形對畸變效應(yīng)影響較小的結(jié)論[12?13]。國內(nèi)外學(xué)者發(fā)表的相關(guān)論文幾乎都以簡支箱梁為例揭示畸變效應(yīng)[14?20]，而針對懸臂箱梁畸變效應(yīng)研究分析的文獻(xiàn)較少[21]。然而橋梁施工方法中有些方法會(huì)使橋體在施工過程中處于懸臂狀態(tài)，例如對稱懸臂施工法、頂推法等。本文在改進(jìn)的箱梁畸變效應(yīng)解析理論基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了兩端設(shè)置橫隔板的懸臂箱梁在豎向偏心均布荷載作用下的畸變角、畸變矩、畸變雙力矩的表達(dá)式，并結(jié)合具體算例詳細(xì)分析了高寬比、懸臂板相對寬度、荷載偏心率等參數(shù)變化對懸臂箱梁畸變效應(yīng)的影響。

1 畸變總勢能

1.1 畸變基本未知量

單室梯形箱梁橫截面畸變變形如圖1所示，為形心坐標(biāo)系，為過點(diǎn)且平行于正半軸的直線與腹板的交點(diǎn)，為軸與底板交點(diǎn)。為畸變中心，D為畸變角，其組成及截面變形如圖2所示。定義箱梁周線坐標(biāo)以逆時(shí)針為正，則上、下翼板和腹板沿的切向位移t可分別表達(dá)如下：

式中：0為截面形心到上翼板中面的距離；D為截面畸變中心的坐標(biāo)；1為點(diǎn)到軸的距離；為梁高；為腹板俯角。

將式(1)代入式(2)可得：

式中：

(a) γD1；(b) γD2

將式(3)代入式(1)，并根據(jù)zs=0，可得：

式中：

將式(4)對積分，可得：

D稱為畸變扇性坐標(biāo)，根據(jù)式(7)可計(jì)算出各個(gè)特征點(diǎn)的扇性坐標(biāo)值，進(jìn)而畫出箱形截面扇性坐標(biāo)分布圖如圖3所示。

圖3中D1，D2和D3為上翼板左端點(diǎn)、腹板與上、下翼板交點(diǎn)處的扇性坐標(biāo)，其表達(dá)式如下：

圖3 畸變扇性坐標(biāo)分布圖

則根據(jù)彈性體物理方程可得：

記與D1，D2和D3相對應(yīng)的特征點(diǎn)的翹曲正應(yīng)力為D1，D2和D3，定義應(yīng)力比為D2與D3的絕對值之比，則可得畸變中心的坐標(biāo)為：

由于畸變荷載是自相平衡的，所以翹曲正應(yīng)力對軸的力矩為0，可得應(yīng)力比的表達(dá)式為：

式中：1，2和w為上、下翼板和腹板的厚度；1，2，3和w參見圖1。

1.2 畸變翹曲應(yīng)變能

根據(jù)式(8)可求得畸變翹曲應(yīng)變能1為：

1.3 框架畸變應(yīng)變能

由圖2所示的畸變變形關(guān)系，可將箱梁截面上任一點(diǎn)沿著形心坐標(biāo)軸，正向的位移分別表 達(dá)為：

式中：w()為計(jì)算點(diǎn)所在水平線與腹板交點(diǎn)到軸的距離。

沿梁跨徑方向截取單位長度梁段形成的橫向框架進(jìn)行分析，其變形如圖4所示。將左腹板上下角點(diǎn)處的坐標(biāo)(1，?0)，(2，0)代入式(12)可得2角點(diǎn)的橫向位移分別為：

式中：

根據(jù)圖4中各角點(diǎn)的位移方向，由兩端固定等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程可得到角點(diǎn)1，2的桿端彎矩分別為：

圖4 橫向框架畸變變形圖

需特別注意3點(diǎn)：首先，轉(zhuǎn)角位移方程中的各項(xiàng)都以順時(shí)針為正；其次，圖4中1的方向與規(guī)定的正方向相反，故式(14)和(15)中在其前面加了負(fù)號；最后，框架彎矩及其變位具有左右反對稱性。

根據(jù)角點(diǎn)處桿端彎矩的平衡，將式(13)代入(14)和(15)式可得：

式中：

聯(lián)立解出式(16)中的1和2后回代到式(14)和式(15)，就能得到圖4中角點(diǎn)1，2的橫向彎矩為(框架內(nèi)側(cè)受拉為正)：

式中：

得到角點(diǎn)彎矩以后就可得出箱梁的框架畸變應(yīng)變能2為：

式中：

1.4 外荷載勢能

若將箱梁上作用的豎向偏心荷載分解成的豎向反對稱荷載記為D，則外荷載勢能可表達(dá)為：

式中：D為分布畸變荷載。

1.5 總勢能

畸變總勢能為畸變翹曲應(yīng)變能、框架畸變應(yīng)變能和外荷載勢能的總和：

2 畸變控制微分方程

對式(20)進(jìn)行一階變分得：

根據(jù)能量變分原理，令總勢能的一階變分為0，可得：

式(22)即為畸變控制微分方程，式(23)則為邊界條件。

化簡式(22)，可得：

由邊界條件式(23)可以得出畸變矩D及畸變雙力矩D的表達(dá)式為：

對于懸臂箱梁，當(dāng)求解畸變微分方程式(24)時(shí)所用到的邊界條件如下：

3 懸臂梁承受豎向偏心均布荷載

求解控制微分方程式(24)，可得箱梁在承受滿跨均布畸變荷載D時(shí)的通解為：

根據(jù)兩端邊界條件：

可求得式(26)中的4個(gè)積分常數(shù)分別為：

將1，2，3和4回代至式(26)即可得到懸臂梁承受均布畸變荷載D時(shí)的畸變角D的表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上，對D求兩階、三階導(dǎo)數(shù)后代入式(25)即可得懸臂梁承受均布畸變荷載D時(shí)的畸變矩、畸變雙力矩的表達(dá)式。為使表達(dá)式簡潔，這里仍用1，2，3和4：

由式(8)和式(25)可得畸變翹曲正應(yīng)力表達(dá)式：

至此，有關(guān)兩端設(shè)置橫隔板的懸臂梁承受均布荷載時(shí)的所有畸變相關(guān)量已得到求解，可直接利用本文推導(dǎo)的解析式(17)，(26)，(27)，(28)和(29)計(jì)算其橫向單寬彎矩、畸變角、畸變矩、畸變雙力矩和翹曲正應(yīng)力。

需特別注意：文中式(1)～(25)普遍適用于梯形截面箱梁畸變效應(yīng)的求解，而式(26)～(29)則只適用于兩端設(shè)置橫隔板的懸臂箱梁承受豎向偏心均布荷載時(shí)的畸變效應(yīng)計(jì)算。

4 數(shù)值算例及參數(shù)分析

等截面懸臂箱梁跨度=40 m，其橫截面尺寸如圖5所示。圖5中表示荷載偏心距，箱梁承受豎向偏心均布荷載=20 kN/m，材料彈性模量=35 GPa。箱梁只在兩端設(shè)有橫隔板。

單位：m

定義高寬比為梁高與箱室寬度之比，懸臂板相對寬度為懸臂板寬度與箱室寬度之比，荷載偏心率為荷載偏心距與頂板半寬之比。

為了驗(yàn)證本文所得公式的正確性，在荷載偏心率=1時(shí)，將有限元軟件ANSYS和按本文方法計(jì)算的跨中截面上翼板各計(jì)算點(diǎn)畸變翹曲正應(yīng)力結(jié)果列于表1。計(jì)算點(diǎn)位置如圖6所示。

單位：m

ANSYS模型采用殼單元SHELL63，固定端節(jié)點(diǎn)采用全約束。施加荷載時(shí)，將作用在箱梁上的豎向偏心荷載分解成得到的箱梁各板元的畸變荷載等效均勻地施加在殼單元各節(jié)點(diǎn)上，如此，ANSYS模型得到的結(jié)果就為畸變效應(yīng)結(jié)果。由表1可以看出，按本文所推公式計(jì)算的結(jié)果與ANSYS軟件的計(jì)算結(jié)果總體上吻合良好。

表1 跨中截面畸變翹曲正應(yīng)力比較

注：相對誤差=(ANSYS解?本文解)/ANSYS解×100%。

按本文方法計(jì)算得出的畸變翹曲正應(yīng)力與橫向單寬彎矩的縱向分布如圖7所示。圖7中D2，1為頂板與腹板交點(diǎn)處的畸變翹曲正應(yīng)力與單寬彎矩值；D3，2為底板與腹板交點(diǎn)處的畸變翹曲正應(yīng)力與單寬彎矩值。

由圖7(a)可以看出：畸變翹曲正應(yīng)力在跨內(nèi)出現(xiàn)了變號，峰值出現(xiàn)在自由端，且D3大于D2(絕對值)；由圖7(b)可以看出：橫向單寬彎矩在縱向呈現(xiàn)先增大后減小的規(guī)律，且2大于1。

(a) 翹曲正應(yīng)力縱向分布圖；(b) 橫向單寬彎矩縱向分布圖

值得說明的是：圖7(a)中畸變翹曲正應(yīng)力出現(xiàn)了變號是因?yàn)閼冶巯淞簝啥嗽O(shè)置了橫隔板，因此在豎向偏心均布荷載作用下兩端畸變角為0而跨內(nèi)畸變角皆為正，進(jìn)而導(dǎo)致畸變雙力矩在跨內(nèi)發(fā)生了變號；畸變扇性坐標(biāo)D只與截面特性有關(guān)，不隨而變(詳見圖3)，而畸變翹曲慣性矩ID總為正；則由式(29)可以看出，若畸變雙力矩變號則畸變翹曲正應(yīng)力也隨之發(fā)生變號。

4.1 高寬比對畸變效應(yīng)的影響

為了研究對畸變效應(yīng)的影響，保持=40 m，3=2.4 m，=2.35 m不變，通過改變梁高可按本文公式求得變化時(shí)D3和2的縱向分布曲線以及D3峰值變化曲線如圖8所示。

由圖8(a)可以看出：隨著的增大，D3的縱向分布曲線變化顯著，從分段單調(diào)變?yōu)槭冀K單調(diào)且發(fā)生變號的截面位置也逐漸右移，但峰值始終出現(xiàn)在自由端；由圖8(b)可以看出：2的縱向分布曲線并無明顯變化但隨的增大其出現(xiàn)峰值的截面位置逐漸左移且絕對值也逐漸減??；對比圖8(a)和8(b)可看出：對翹曲正應(yīng)力的影響程度大于橫向單寬彎矩；由圖8(c)可以看出：隨著的增大，D3的峰值變化劇烈，在約為1.5時(shí)達(dá)到峰值，也即此時(shí)懸臂梁畸變效應(yīng)最為顯著。

(a) ψ變化時(shí)σD3縱向分布；(b) ψ變化時(shí)M2縱向分布；(c) ψ變化時(shí)σD3峰值變化

4.2 懸臂板相對寬度對畸變效應(yīng)的影響

為了研究對畸變效應(yīng)的影響，保持=40 m，=2.12 m，=2.35 m不變，通過改變懸臂板寬度可按本文公式求得變化時(shí)D3和2的縱向分布曲線如圖9所示。

(a)χ變化時(shí)σD3縱向分布；(b) χ變化時(shí)M2縱向分布

由圖9(a)可以看出：隨著增大，D3發(fā)生變號的截面位置逐漸右移；由圖9(b)可以看出：隨著增大，2出現(xiàn)峰值的位置逐漸左移；對比圖9(a)和9(b)可看出：隨著的增大，雖然D3與2的絕對值都逐漸增大，但增大的幅度很小，這說明懸臂板相對寬度變化對畸變效應(yīng)影響較小。筆者針對箱室高寬比不同情況，又做了計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，對扁寬懸臂箱梁，普遍存在懸臂板相對寬度對畸變效應(yīng)影響較小的結(jié)論。

4.3 荷載偏心率對畸變效應(yīng)的影響

為了研究對畸變效應(yīng)的影響，保持=40 m，=2.12 m，3=2.4 m不變，通過改變荷載偏心距，可按本文公式求得變化時(shí)D3和2的縱向分布曲線如圖10所示。

(a) ζ變化時(shí)σD3縱向分布；(b) ζ變化時(shí)M2縱向分布

由圖10可以看出：荷載偏心率對畸變效應(yīng)影響顯著，越大，畸變翹曲正應(yīng)力與橫向單寬彎矩變化越劇烈；隨著增大，D3與2呈線性增大，但D3發(fā)生變號和2出現(xiàn)峰值的截面位置不發(fā)生變化。

5 結(jié)論

1) 在改進(jìn)的畸變效應(yīng)解析理論基礎(chǔ)上，用能量變分法建立了畸變控制微分方程，并根據(jù)邊界條件推導(dǎo)出了兩端設(shè)置橫隔板的懸臂箱梁在豎向偏心均布荷載作用下的畸變角、畸變矩、畸變雙力矩的解析表達(dá)式，以便工程應(yīng)用。通過ANSYS有限元驗(yàn)證了本文公式的正確性。

2) 箱室高寬比對懸臂箱梁翹曲正應(yīng)力的影響程度大于對橫向單寬彎矩的影響程度。隨著高寬比的增大，腹板與底板交點(diǎn)處翹曲正應(yīng)力的最大值變化劇烈，當(dāng)高寬比約為1.5時(shí)達(dá)到峰值，亦即此時(shí)懸臂箱梁畸變效應(yīng)最為顯著。

3) 隨著箱室高寬比和懸臂板相對寬度的增大，腹板與底板交點(diǎn)處翹曲正應(yīng)力發(fā)生變號的截面位置逐漸右移，而腹板與底板交點(diǎn)處橫向單寬彎矩出現(xiàn)峰值的截面位置逐漸左移，但總是分別在距離固定端/8和3/4左右擺動(dòng)，擺動(dòng)幅度不超過跨徑的15%；相較于懸臂板相對寬度，高寬比與荷載偏心率變化對懸臂箱梁畸變效應(yīng)的影響程度更為顯著。

4) 隨著荷載偏心率的增大，腹板與底板交點(diǎn)處的翹曲正應(yīng)力與橫向單寬彎矩都呈線性增大，但翹曲正應(yīng)力發(fā)生變號和橫向單寬彎矩出現(xiàn)峰值的截面位置不會(huì)發(fā)生變化；荷載偏心率越大，畸變效應(yīng)越顯著。

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Research on distortion effect of cantilever box girder under eccentric vertical load

WANG Yan, ZHANG Yuanhai

(School of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

Based on the modified distortion theory of box girders, the governing differential equation was established by applying energy variation method. The calculation formulas of distortion effect of the box girder with diaphragms in both ends subjected to the vertical eccentric uniform load were derived according to the boundary condition. The correctness of the formulas derived in this paper was verified through finite element software ANSYS. The influences of parameters on distortion effect of the box girder were analyzed through numerical examples. It is shown that the influence degree of height to width ratio on distortional warping normal stresses of cantilever box girder is more remarkable than the transverse unit-width bending moment. The distortion effect of the box girder is most significant when the height to width ratio is approximately 1.5. The cross-section where the sign of distortional warping normal stresses changes and the peak value of transverse unit- width bending moment emerges vary with the height to width ratio and the relative width of cantilever slab. The relative width of cantilever slab has little influence on distortion effect. The load eccentricity has a significant effect on distortion effect.

cantilever box girder; energy variation method; distortion effect; warping normal stress; transverse bending moment

U448.213

A

1672 ? 7029(2021)02 ? 0408 ? 09

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20200280

2020?04?07

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51968040，51468032)

張?jiān)?1965?)，男，甘肅武山人，教授，博士，從事薄壁箱梁設(shè)計(jì)理論研究；E?mail：zyh17012@163.com

(編輯 涂鵬)