劉志元，孫東陽

(重慶大學(xué) 航空航天學(xué)院，重慶 400044)

隨著空間技術(shù)的快速發(fā)展，大尺寸、輕量化的空間機(jī)械臂已經(jīng)被廣泛地用于空間站的組裝、修理和檢測(cè)，航天員艙外活動(dòng)，空間飛行器捕獲等，其可靠性對(duì)于整個(gè)空間任務(wù)至關(guān)重要?？臻g機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)分析涉及運(yùn)動(dòng)過程中大變形和間隙碰撞問題，且結(jié)構(gòu)參數(shù)存在不確定性，因此，要建立精確的空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型就需要考慮各種因素。

Flores等[1]對(duì)多種間隙模型進(jìn)行了研究，通過對(duì)含間隙機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析發(fā)現(xiàn)間隙嚴(yán)重影響機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性。Zhao等[2]對(duì)含間隙空間機(jī)器人進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)特性研究，研究發(fā)現(xiàn)間隙尺寸會(huì)顯著影響機(jī)器人動(dòng)力學(xué)特性。Erkaya[3]建立了含間隙焊接機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型。Varedi-Koulaei等[4]采用粒子群算法對(duì)含間隙的3-RRR并聯(lián)機(jī)械手進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，以減小間隙碰撞對(duì)該機(jī)械手動(dòng)力學(xué)特性的影響。Megahed等[5]對(duì)含多間隙機(jī)構(gòu)進(jìn)行了研究，結(jié)果表明間隙位置，運(yùn)行速度和間隙大小都會(huì)顯著影響機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性。谷勇霞等[6]研究了間隙尺寸和間隙關(guān)節(jié)數(shù)量對(duì)漂浮空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)特性的影響?？紤]到構(gòu)件柔性，Khemili等[7]對(duì)含間隙平面柔性機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析，結(jié)果顯示構(gòu)件柔性能夠有效控制碰撞力峰值。任武等[8]建立了考慮間隙的多柔體臂架的剛?cè)峄旌夏Ｐ?。Ben Abdallah等[9]對(duì)含多間隙的柔性機(jī)構(gòu)進(jìn)行了研究。考慮到機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過程中存在大變形，Tian等[10]基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法[11]對(duì)含PD控制器的雙連桿柔性機(jī)械臂進(jìn)行了控制精度分析。然而，在建模過程中忽略了間隙對(duì)機(jī)械臂控制精度的影響。

上述研究都認(rèn)為機(jī)械臂為理想情況，然而由于材料不均勻、加工誤差、摩擦、磨損等，真實(shí)的機(jī)械臂中普遍存在不確定性。Li等[12]研究了存在隨機(jī)不確定性的含間隙機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)特性和運(yùn)動(dòng)精度問題，建模過程中忽略了機(jī)械臂存在的變形。Wang等[13]采用Chebyshev多項(xiàng)式方法對(duì)存在區(qū)間不確定性參數(shù)的剛?cè)狁詈峡臻g機(jī)械臂進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析，建模過程中忽略了間隙碰撞。筆者將系統(tǒng)考慮大變形、間隙碰撞和不確定性對(duì)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)特性和控制精度的影響，研究含區(qū)間鉸間隙的柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)建模和控制精度分析方法。

1 旋轉(zhuǎn)鉸間隙建模

1.1 旋轉(zhuǎn)鉸間隙數(shù)學(xué)模型

如圖1所示，體i,j之間存在平面間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副，軸承是體i的部件，軸是體j的部件。整體坐標(biāo)系為xy。點(diǎn)Pi和Pj分別為軸承和軸的中心，對(duì)應(yīng)的位置矢量分別為ri和rj。軸與軸承的中心距矢量eij可表示為

圖1 旋轉(zhuǎn)鉸間隙模型Fig.1 Revolute joint with clearance

eij=rj-ri。

(1)

軸與軸承中心距為

(2)

垂直軸承與軸接觸表面的單位法向量為

(3)

當(dāng)軸承與軸碰撞時(shí)，嵌入深度為

δ=eij-c，

(4)

式中c為間隙大小，c=Ri-Rj，Ri和Rj分別為軸承和軸半徑。

體i,j的接觸點(diǎn)分別為Qi和Qj，基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法接觸點(diǎn)的全局位置為

(5)

全局坐標(biāo)系下接觸點(diǎn)Qi和Qj的速度可以通過將式(5)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到

(6)

接觸點(diǎn)的法向相對(duì)速度vN和切向相對(duì)速度vT可表示為

(7)

(8)

式中切向量t通過向量n逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到。

1.2 接觸碰撞力模型

Hertz接觸力模型是應(yīng)用最廣泛的接觸力模型，該模型認(rèn)為接觸表面為完全彈性碰撞，因此不能描述碰撞過程中的能量耗散。為了描述接觸碰撞過程中的能量損耗，基于Hertz模型，Lankarani，Herbert和Lee等提出了多種含能量耗散項(xiàng)的接觸碰撞力模型[14]。Liu等[15]研究發(fā)現(xiàn)Hertz接觸力模型僅僅適用于間隙相對(duì)較大且載荷較小的情況。對(duì)于小間隙情況，計(jì)算結(jié)果將無法滿足精度要求。針對(duì)上述問題，Bai等[16]構(gòu)建了一種基于Lankarani-Nikravesh碰撞力模型和WEF(Winkler elastic foundation)模型的混合碰撞力模型，該碰撞力模型可以表示為

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：vk(k=i,j)和Ek(k=i,j)分別是接觸材料的泊松比和彈性模量。該間隙碰撞力模型能夠普遍適用于大間隙和小間隙情況，通過與有限元仿真結(jié)果比較，該碰撞力模型的精度高于Hertz接觸力模型。

1.3 摩擦力模型

Coulomb摩擦模型是最簡(jiǎn)單的摩擦力模型。該模型的摩擦力方向與切向速度方向相反，并且摩擦力大小與法向接觸力成正比。Coulomb摩擦模型在切向速度趨近于零時(shí)會(huì)產(chǎn)生不連續(xù)的摩擦力，這將有可能導(dǎo)致計(jì)算不收斂。為了解決該問題，Ambrsio[17]將速度引入Coulomb摩擦模型，建立了如下形式的摩擦力模型，

(13)

式中：cf為摩擦系數(shù)，vT為相對(duì)切向速度。cd為動(dòng)態(tài)修正系數(shù)，可表示為

(14)

式中：v0和v1是為計(jì)算動(dòng)態(tài)修正系數(shù)給定的速度極限值。Ambrsio摩擦力模型如圖2所示。

圖2 Ambrsio摩擦力模型Fig.2 Ambrsio friction model

2 含間隙柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)建模

含間隙柔性機(jī)械臂模型如圖3所示。連桿OAi在O點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)副為理想平面轉(zhuǎn)動(dòng)副，連桿OAi與連桿AjPj在A處的運(yùn)動(dòng)副為平面間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副。τ1和τ2分別為作用于連桿OAi和連桿AjPj的驅(qū)動(dòng)力矩，n1和t1為連桿OAi在O點(diǎn)處的單位法向量和切向量，n2和t2為連桿OAi在Ai點(diǎn)處的單位法向量和切向量，n3和t3為連桿AjPj在Aj點(diǎn)處的單位法向量和切向量，θ1為連桿OAi在O點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角，θ3為連桿OAi在Ai點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角，θ2為連桿AjPj在Aj點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角。考慮到運(yùn)動(dòng)過程中連桿OAi和連桿AjPj存在大變形，采用絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法對(duì)連桿OAi和連桿AjPj進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模。

圖3 含間隙柔性機(jī)械臂Fig.3 Flexible manipulator with clearance

基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法[9]，平面梁?jiǎn)卧先我庖稽c(diǎn)全局位置可表示

r=Sek，

(15)

式中S為由參數(shù)x決定的單元形函數(shù)，參數(shù)x∈[0l]表示未變形時(shí)特定點(diǎn)的軸向坐標(biāo)，l為單元初始長(zhǎng)度，單元形函數(shù)表示為：

(16)

(17)

ri(i=m,n)表示節(jié)點(diǎn)i(i=m,n)位置矢量，?ri/?x(i=m,n)為節(jié)點(diǎn)i(i=m,n)的位置矢量對(duì)x方向的二維偏導(dǎo)數(shù)矢量。

基于上述描述，梁?jiǎn)卧膭?dòng)能可表示為

(18)

式中Me為梁?jiǎn)卧某?shù)質(zhì)量矩陣，可通過式(19)計(jì)算得到，

(19)

式中：ρ和V分別為單元密度和體積。

梁?jiǎn)卧膹椥詣?shì)能可表示為

(20)

式中：σ和ε分別為應(yīng)力矢量和應(yīng)變矢量。

驅(qū)動(dòng)力矩τ1和τ2所做的虛功可以表示為

δW=τ1δθ1+τ2δθ4=τ1δθ1+τ2δθ2-τ2δθ3。

(21)

對(duì)于一維兩節(jié)點(diǎn)柔性梁θ1的變分可以表示為

(22)

(23)

同理可以得到τ2的等效廣義力。基于虛功原理和Baumgarte方法[18]，該含間隙柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程表示為

(24)

3 含區(qū)間鉸間隙柔性機(jī)械臂控制精度和動(dòng)力學(xué)特性分析

由于材料不均勻、加工誤差、磨損等原因，機(jī)械臂廣泛存在不確定性，如間隙尺寸、部件楊氏模量等。這些不確定性因素會(huì)顯著的影響機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)特性和控制精度，考慮到間隙尺寸和楊氏模量數(shù)據(jù)的不完備性，這里將間隙尺寸和楊氏模量處理為區(qū)間變量，式(24)變?yōu)?/p>

(25)

式中上標(biāo)表示該值與區(qū)間變量(c,E)有關(guān)。式(25)為含區(qū)間不確定性變量和控制器的微分代數(shù)方程，對(duì)其進(jìn)行求解將非常困難。這里將提出該動(dòng)力學(xué)模型的求解方法，圖4列出了該方法的主要步驟，具體為：

圖4 含區(qū)間鉸間隙柔性機(jī)械臂不確定性分析Fig.4 Uncertainty analysis of flexible manipulator with clearance

1)選擇區(qū)間不確定性的抽樣數(shù)量N。

2)從每一個(gè)區(qū)間參數(shù)中選擇一個(gè)樣本(ci,Ei)。

4)判斷區(qū)間不確定性的N個(gè)樣本是否已經(jīng)全部分析。如果否，回到步驟(2)；如果是，繼續(xù)步驟(5)。

5)找出末端控制誤差、末端加速度和驅(qū)動(dòng)力矩上邊界和下邊界，該上邊界和下邊界圍成的區(qū)域即為考慮區(qū)間不確定性時(shí)末端控制誤差、末端加速度和驅(qū)動(dòng)力矩可能的區(qū)域。

4 仿真分析

該含間隙柔性機(jī)械臂末端點(diǎn)進(jìn)行圓軌跡跟蹤控制，如圖5所示。連桿OAi和連桿AjPj長(zhǎng)度分別為0.4 m和1.6 m。連桿OAi劃分為2個(gè)單元，連桿AjPj劃分為4個(gè)單元。連桿OAi和AjPj具有相同的截面形狀和材料參數(shù)，截面積為2.5×10-3m2，截面慣性矩為5.208×10-7m4，楊氏模量為30 GPa，密度為6 000 kg/m3。該機(jī)械臂的材料屬性及動(dòng)力學(xué)分析相關(guān)參數(shù)如表1所示。仿真時(shí)間為10 s，跟蹤圓軌跡的角速度為

表1 機(jī)械臂仿真參數(shù)表Table 1 Simulation parameter table of manipulator

圖5 含間隙柔性機(jī)械臂末端圓軌跡跟蹤Fig.5 End circular tracking of flexible manipulator with clearance

(26)

為了研究間隙對(duì)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)特性和控制精度的影響，分別取間隙c=0.01 mm，c=0.2 mm和c=0.5 mm，摩擦系數(shù)cf=0.1，將上述多種間隙情況計(jì)算得到的響應(yīng)結(jié)果與理想鉸接副的響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行比較。圖6為3種間隙情況下的末端控制誤差圖、末端加速度圖和驅(qū)動(dòng)力矩圖。由圖6可知：當(dāng)間隙大小為0.01 mm時(shí)，間隙對(duì)末端控制誤差、末端加速度和驅(qū)動(dòng)力矩幾乎沒有影響；當(dāng)間隙大小為0.2 mm和0.5 mm時(shí)，間隙對(duì)末端控制誤差的影響非常顯著，而且間隙越大控制精度越差；當(dāng)間隙大小為0.2 mm和0.5 mm時(shí)，間隙對(duì)末端加速度和驅(qū)動(dòng)力矩的影響依然不顯著。通過對(duì)圖7(d)進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)初始時(shí)刻機(jī)械臂末端y方向的加速度擴(kuò)展較大，其原因在于：初始時(shí)刻間隙鉸中的軸與軸承存在劇烈碰撞，導(dǎo)致初始時(shí)刻機(jī)械臂末端y方向的加速度較大。

圖6 末端控制誤差、末端加速度和驅(qū)動(dòng)力矩圖Fig.6 Tip error, tip acceleration and driving moment

為了分析部件柔性對(duì)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)特性和控制精度的影響，取連桿楊氏模量為3，30，300 GPa，3種工況下的間隙c=0.5mm。末端控制誤差、末端加速度和驅(qū)動(dòng)力矩如圖7所示?？梢园l(fā)現(xiàn)：當(dāng)楊氏模量為3 GPa時(shí)，末端控制誤差、末端加速度和驅(qū)動(dòng)力矩與楊氏模量為30 GPa的分析結(jié)果存在明顯差異，而且彈性模量較低時(shí)，末端劇烈抖動(dòng)持續(xù)時(shí)間將增加；當(dāng)楊氏模量為30 GPa和300 GPa時(shí)，兩種工況的末端控制誤差、末端加速度和驅(qū)動(dòng)力矩差異不顯著。因此，當(dāng)連桿彈性模量較小時(shí)，連桿柔性會(huì)顯著的影響控制誤差和機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)特性，而連桿彈性模量較大時(shí)，連桿柔性對(duì)該機(jī)械臂的控制精度和動(dòng)力學(xué)特性的影響將不顯著。

由于間隙尺寸和連桿柔性會(huì)顯著影響該機(jī)械臂控制精度和動(dòng)力學(xué)特性，這里考慮間隙尺寸和楊氏模量為區(qū)間變量，其取值范圍分別為c=[0.1 0.5]mm，E=[20 30]GPa。采用本文中提出的方法對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性和控制精度分析。末端控制誤差、末端加速度和驅(qū)動(dòng)力矩如圖8所示?？梢园l(fā)現(xiàn)：考慮不確定性時(shí)，末端控制誤差將擴(kuò)張，從而導(dǎo)致控制精度降低；末端加速度和驅(qū)動(dòng)力矩也會(huì)擴(kuò)展，從而影響該機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)特性。

圖8 末端控制誤差、末端加速度和驅(qū)動(dòng)力矩區(qū)域圖Fig.8 Upper and lower bounds of tip error, tip acceleration and driving moment

5 結(jié) 語

1)當(dāng)間隙尺寸較小時(shí)，間隙對(duì)末端控制誤差、末端加速度和驅(qū)動(dòng)力矩幾乎沒有影響。當(dāng)間隙尺寸較大時(shí)，間隙對(duì)末端控制誤差的影響非常顯著，而且間隙越大控制精度越差。然而，較大間隙情況下，間隙對(duì)末端加速度和驅(qū)動(dòng)力矩的影響依然不顯著。

2)部件柔性會(huì)顯著的影響末端控制誤差、末端加速度和驅(qū)動(dòng)力矩。當(dāng)部件彈性模量較低時(shí)，末端會(huì)劇烈抖動(dòng)。

3)參數(shù)不確定性會(huì)顯著的降低該機(jī)械臂的控制精度，而且也會(huì)影響該機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)特性。