李建宏宇，龐賀偉

（1.北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所；2.可靠性與環(huán)境工程技術(shù)重點實驗室；3.中國空間技術(shù)研究院：北京100094）

0 引言

由于實際條件的限制，無法在地面完全模擬航天器在整個壽命周期內(nèi)全部的動力學(xué)載荷，需要借助有限元模型進行動力學(xué)仿真分析，因此航天器結(jié)構(gòu)有限元模型的動力學(xué)驗證是一項重要工作。這項工作要求結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型要準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性，而使用實測數(shù)據(jù)對有限元模型進行修正是獲得高精度有限元模型的有效手段。基于頻率響應(yīng)的模型修正方法在航天器結(jié)構(gòu)模型修正中具有重要的研究價值，因為該方法無須對模態(tài)參數(shù)進行辨識，可避免引入新的誤差，而且可以充分利用動力學(xué)試驗產(chǎn)生的大量實測數(shù)據(jù)。航天器結(jié)構(gòu)有限元模型的自由度數(shù)會達到十萬甚至百萬量級，而動力學(xué)試驗傳感器測量的自由度數(shù)最多能達到幾百個，遠小于有限元模型的自由度數(shù)。因此，需要首先將有限元模型進行模型縮聚，再進行模型修正；而如果模型縮聚方法存在較大誤差，會導(dǎo)致模型修正工作失去意義。

在以往對航天器結(jié)構(gòu)的動力學(xué)研究中，主要目的是確保結(jié)構(gòu)在動力學(xué)載荷下不發(fā)生失效或破壞，關(guān)注的頻段一般低于100 Hz。隨著應(yīng)用需求的不斷擴展和性能指標(biāo)的不斷提高，微振動對有效載荷性能的影響逐漸凸顯。航天器在軌微振動的擾動力和擾動力矩以中高頻率的諧波為主，為了對微振動進行有效的仿真計算，需要對有限元模型進行基于中高頻段頻率響應(yīng)的模型修正。而常用的Guyan、IRS、IIRS、SEREP等方法的中高頻段頻率響應(yīng)計算存在誤差，會導(dǎo)致模型修正結(jié)果錯誤。

本文試圖建立適用于航天器結(jié)構(gòu)的改進的SEREP縮聚方法，旨在保證縮聚模型能準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)在中高頻段的動力學(xué)特性。

1 模型縮聚方法

有限元模型的無阻尼動力學(xué)方程在頻域內(nèi)可以表示為

式中：K 為剛度矩陣；ω為角頻率；M 為質(zhì)量矩陣；u為位移的頻率響應(yīng)矢量；F(ω)為力載荷矢量。

將動力學(xué)方程根據(jù)主自由度和從自由度進行分塊，其中主自由度包括載荷施加的自由度、邊界條件約束的自由度和傳感器測量的自由度，可以得到

式中：TKT 為縮聚后的剛度矩陣；TMT 為縮聚后的質(zhì)量矩陣。

1.1 Guyan縮聚法

Guyan 縮聚法是由Guyan 和Irons提出的，屬于靜力學(xué)縮聚。其轉(zhuǎn)換矩陣為其中E 為單位矩陣。忽略式(2)中第2行的慣性項可得到由于忽略了慣性項，Guyan 縮聚法的動力學(xué)特性誤差將隨著頻率的增高而增大。

1.2 IRS縮聚法與IIRS縮聚法

O’Callahan 對Guyan 縮聚法進行改進，提出了IRS縮聚方法，其轉(zhuǎn)換矩陣為

迭代初始化為Guyan 縮聚法，首次迭代為IRS縮聚法，即

IRS法和IIRS法的精度相比Guyan 法均有所提高，其中IIRS隨著迭代的進行是收斂的，文獻[10]證明了IIRS法收斂于m=r 的SEREP縮聚法。

1.3 SEREP縮聚法

SEREP縮聚法基于模態(tài)分析的結(jié)果，故需首先對有限元模型進行模態(tài)分析，求解其前r 階特征值λ及特征向量Φ。

特征值問題為

根據(jù)主自由度和從自由度對特征向量進行分塊得到

SEREP縮聚法基于結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析結(jié)果，其精度得到大幅提高，已經(jīng)得到眾多學(xué)者的關(guān)注，并成功應(yīng)用到航天器結(jié)構(gòu)的模型縮聚和傳感器布局優(yōu)化等問題中。

1.4 模型縮聚的誤差分析

模型縮聚的誤差來源主要有2個：

1）模型縮聚方法在推導(dǎo)時引入近似計算或者忽略某些因素而引起的誤差，如：Guyan 推導(dǎo)過程中忽略慣性項，IRS方法和IIRS方法中引入Guyan縮聚法，SEREP 縮聚法中引入廣義逆等。

2）縮聚后的模型階數(shù)與主自由度數(shù)是相同的，而主自由度的個數(shù)受現(xiàn)實試驗條件約束。對于需要考慮中高頻段動力學(xué)特性的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，其特征值比較密集，導(dǎo)致在需要考慮頻段內(nèi)的特征值的個數(shù)遠多于主自由度的個數(shù)。而由于階數(shù)過低，縮聚后的模型對應(yīng)的線性子空間不足以全面反映原模型的動力學(xué)特性。

2 改進的SEREP 縮聚法

為了滿足縮聚模型在中高頻段的精度要求，根據(jù)1.4節(jié)對模型縮聚誤差來源的分析，本文提出了改進的SEREP縮聚法。在SEREP縮聚法中，當(dāng)m=r 時，SEREP縮聚法與考慮前r 階模態(tài)的模態(tài)疊加法的線性子空間是相同的。模態(tài)疊加法已被廣泛應(yīng)用于實際工程中，其準(zhǔn)確性已得到驗證。對于考慮中高頻段的復(fù)雜結(jié)構(gòu)模型縮聚問題，試驗測量的自由度數(shù)往往小于r，為了使m=r，可以拓展主自由度的個數(shù)，引入無實際物理意義的(r-m)維度得到擴展主自由度u? 以滿足關(guān)系

同時，需要滿足T 的每一列組成的線性子空間與前r 階特征向量Φ的每一列組成的線性子空間是相同的。本文給出一種構(gòu)造方式，對Φ 進行2步列變換得到滿足式(15)形式的T：

將列變換過程寫為矩陣相乘的形式，有

在計算縮聚后的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣時，使用Nastran 進行模態(tài)分析只需要輸出特征值和特征向量在主自由度分量的值，不需要輸出全部的特征向量信息，以及剛度矩陣和質(zhì)量矩陣信息。

3 數(shù)值算例

以某航天器中的控制力矩陀螺隔振平臺作為算例?？刂屏赝勇莞粽衿脚_由6個控制力矩陀螺及其外殼、支撐剛架，以及5 個隔振器和5個底座構(gòu)成。其中：5個控制力矩陀螺及其外殼固定在支撐鋼架上；1個控制力矩陀螺及其外殼固定在與支撐鋼架相連的底座上，位于結(jié)構(gòu)的中心。控制力矩陀螺及其外殼使用集中質(zhì)量單元建模；支撐剛架使用梁單元建模；隔振器使用pbush 單元建模。有限元模型中還有板單元、3D單元的MPC等。整個有限元模型由29 000+個節(jié)點、28 000個單元組成。選取結(jié)構(gòu)上59個節(jié)點（包括6個控制力矩陀螺的質(zhì)心、5個底座的固支點、5個隔振器端點以及48個剛架連接節(jié)點）的x、y、z 平動方向上的自由度（共計177個自由度）作為主自由度，如圖1所示。

圖1 控制力矩陀螺隔振平臺有限元模型Fig.1 Finite element model of the control torque gyroscope isolation platform

航天器在軌運行時，控制力矩陀螺會產(chǎn)生一系列與轉(zhuǎn)速相關(guān)的諧波擾動，是航天器微振動主要的擾動源之一。通過試驗測量，控制力矩陀螺產(chǎn)生擾動的峰值在123 Hz 及其倍頻上。根據(jù)高精度的遙感需求，需要保證控制力矩陀螺隔振平臺的動力學(xué)模型能在0～300 Hz 頻段準(zhǔn)確反映實際結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)。使用模態(tài)疊加法進行頻率響應(yīng)分析時，Nastran 的用戶手冊中建議至少計算頻段內(nèi)所有的模態(tài)；為了得到更精確的計算結(jié)果，則要計算該頻段最高頻率的2倍或3倍頻率內(nèi)的所有模態(tài)。本文將計算頻率低于900 Hz 的全部模態(tài)（共758階），并作為衡量模型縮聚方法準(zhǔn)確性的基準(zhǔn)。分別對縮聚后的模型進行模態(tài)分析和頻率響應(yīng)分析，以確認縮聚后模型的動力學(xué)特性。

3.1 模態(tài)頻率計算結(jié)果誤差比較

使用模型縮聚方法對有限元模型進行縮聚，設(shè)轉(zhuǎn)換矩陣為T?？s聚后的特征值問題為

特征值λ與模態(tài)頻率f 的關(guān)系為

分別使用Guyan 縮聚法、IRS縮聚法、IIRS縮聚法、SEREP縮聚法和改進的SEREP縮聚法進行模型縮聚。其中：IIRS縮聚法迭代10次；SEREP縮聚法分為3種情況，分別為m=r+10=177，m=r=177，m=r-10=177；改進的SEREP縮聚法考慮前758階模態(tài)，即r=758。使用Nastran 對模型前758階模態(tài)進行計算分析，得到的模態(tài)頻率作為誤差分析基準(zhǔn)。

模型的主自由度為177個，Guyan 縮聚法、IRS縮聚法、IIRS縮聚法和SEREP縮聚法縮聚后的模型的特征值共有177個，與縮聚前模型的前177階模態(tài)特征值進行對比；改進的SEREP縮聚法縮聚后的模型的特征值有758個，與縮聚前模型的全部特征值進行對比。

模型縮聚后，模態(tài)頻率前32階（低于100 Hz）的相對誤差見表1。

表1 模型縮聚后模態(tài)頻率前32階的相對誤差Table1 Relativeerrorsof modal frequency of the reduced model for the first 32 orders

ECSS-E-ST-32-11C標(biāo)準(zhǔn)對縮聚模型的誤差提出了要求：對于主模態(tài)，縮聚后模型的模態(tài)頻率相對誤差應(yīng)控制在3%以內(nèi)；對于其他模態(tài)（小于100 Hz），模態(tài)頻率的相對誤差可以放寬到5%。如果模態(tài)頻率的相對誤差大于100%，則說明縮聚后模型的特征值已經(jīng)完全失真。

從表1可以看出，對于模態(tài)頻率低于100 Hz的模態(tài)，幾種模型縮聚方法的精度都比較高，其中：IIRS縮聚法、SEREP縮聚法（r=m-10）、SEREP縮聚法（r=m）和改進的SEREP 縮聚法完全滿足實際工程應(yīng)用的要求；Guyan 縮聚法僅在第13階模態(tài)的相對誤差較大（9.39%）；IRS縮聚法和SEREP縮聚法（r=m+10）的誤差相對較大，但亦控制在15%內(nèi)，未出現(xiàn)完全失真的情況。模型縮聚后，模態(tài)頻率33階～178階的相對誤差見圖2。

圖2 模型縮聚后模態(tài)頻率33階～178階的相對誤差Fig.2 Relative errors of modal frequency of the reduced model from the 33rd order to the 178th order

從圖2可以看出：當(dāng)模態(tài)頻率高于100 Hz時，Guyana 縮聚法和IRS縮聚法計算出的模態(tài)頻率的相對誤差快速擴大并完全失真。IIRS縮聚法的精度相對于前兩者得到了提高，并沒有出現(xiàn)失真的情況，但最大相對誤差也超過了10%。SEREP縮聚法的精度進一步提高，當(dāng)r=m+10時相對誤差較大，與IIRS縮聚法相當(dāng)，但最大相對誤差沒有超過10%；當(dāng)r=m時模態(tài)頻率相對誤差極低；當(dāng)r=m-10時，前167階模態(tài)的模態(tài)頻率相對誤差極低，后10階模態(tài)頻率則完全失真。這是由于引入了廣義逆，生成縮聚后線性子空間的向量組的秩為167，在該線性子空間內(nèi)最大的10 個廣義特征值實際為正無窮。

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使用改進的SEREP法縮聚后，模型的模態(tài)頻率相對誤差直方圖見圖3。由圖可知，改進的SEREP縮聚法計算出的模態(tài)頻率相對誤差絕大多數(shù)都低于0.5%，最高不超過2.5%?？梢?，通過改進的SEREP縮聚法縮聚后的模型可以準(zhǔn)確反映原模型前758階（低于900 Hz）的模態(tài)頻率。

圖3 使用改進的SEREP 縮聚后模型滿足相對誤差限的模態(tài)頻率個數(shù)Fig.3 The number of modal frequencieswithin a certain error range,using improved SEREP reduction

3.2 頻率響應(yīng)計算結(jié)果誤差比較

針對控制力矩陀螺隔振平臺的載荷，即控制力矩陀螺質(zhì)心上的擾動力，計算0～300 Hz 的結(jié)構(gòu)位移頻率響應(yīng)。比較采用不同縮聚方法計算的隔振器端點的z 方向平動位移頻率響應(yīng)和中心控制力矩陀螺質(zhì)心的z 方向平動位移頻率響應(yīng)。對于Guyan縮聚法、IRS縮聚法、IIRS縮聚法和SEREP縮聚法，主自由度的位移頻率響應(yīng)的計算公式為

對于改進的SEREP縮聚法，主自由度的位移頻率響應(yīng)的計算公式為

使用直接法計算位移頻率響應(yīng)，作為結(jié)果比較的基準(zhǔn)。直接法計算位移頻率響應(yīng)的公式為

將整個頻段分為4個頻段：0～50 Hz，50～100 Hz，100～250 Hz 和250～300 Hz。比較采用不同縮聚方法分別在不同頻段計算的頻率響應(yīng)的誤差，結(jié)果如圖4～圖7所示。

圖4 縮聚模型在0～50 Hz 頻段計算的頻率響應(yīng)Fig.4 Frequency response of the reduced models for frequency between 0 Hz and 50 Hz

圖5 縮聚模型在50～100 Hz 頻段計算的頻率響應(yīng)Fig.5 Frequency response of reduced models for frequency between 50 Hz and 100 Hz

圖6 縮聚模型在100～250 Hz 頻段計算的頻率響應(yīng)Fig.6 Frequency response of reduced models for frequency between 100 Hz and 250 Hz

從圖4可以看出，在0～50 Hz 頻段，Guyan 縮聚法、IRS縮聚法、IIRS縮聚法、SEREP縮聚法（r=m-10）、SEREP縮聚法（r=m）和改進的SEREP縮聚法的誤差較小，頻率響應(yīng)曲線幾乎與基準(zhǔn)曲線重合。這是由于上述幾種模型縮聚方法對于模態(tài)頻率低于100 Hz 的模態(tài)的計算精度較高。而對于SEREP縮聚法（r=m+10），由于其在低于50 Hz 的模態(tài)計算中存在較大誤差，導(dǎo)致其在0～50 Hz 頻段的頻率響應(yīng)計算結(jié)果誤差較大。

從圖6可以看出，在100～250 Hz 頻段，SEREP縮聚法（r=m-10）、SEREP縮聚法（r=m）和改進的SEREP縮聚法縮聚后的模型的頻率響應(yīng)與基準(zhǔn)相比誤差較小，而IIRS縮聚方法出現(xiàn)較大誤差。這是由于IIRS在100 Hz 以上模態(tài)頻率分析的相對誤差逐漸增大，最大值已經(jīng)超過了10%。

綜上，在0～250 Hz 頻段，縮聚模型的頻率響應(yīng)誤差與縮聚模型的模態(tài)分析誤差緊密相關(guān)。這部分誤差源自模型縮聚方法在推導(dǎo)時引入近似計算或者忽略某些因素引入的系統(tǒng)誤差。

圖7 縮聚模型在250～300 Hz 頻段計算的頻率響應(yīng)Fig.7 Frequency response of reduced models for frequency between 250 Hz and 300 Hz

從圖7可以看出，在250～300 Hz 頻段，SEREP縮聚法（r=m-10）和SEREP縮聚法（r=m）縮聚后的模型的頻率響應(yīng)與基準(zhǔn)相比缺少大量波峰與波谷，這是由于縮聚模型沒有模態(tài)頻率大于270 Hz 的模態(tài)，這部分誤差是由于縮聚后的模型階數(shù)過低引起的。

由于改進的SEREP縮聚法可以準(zhǔn)確反映模型低于900 Hz 的全部模態(tài)頻率，使得該方法在0～300 Hz 整個頻域內(nèi)計算的頻率響應(yīng)均與基準(zhǔn)幾乎重合，說明使用該方法進行縮聚后的模型能夠準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)在0～300 Hz 頻域內(nèi)的動力學(xué)特性。

4 結(jié)束語

針對現(xiàn)有的模型縮聚方法無法準(zhǔn)確反映復(fù)雜結(jié)構(gòu)在中高頻段動力學(xué)特性的問題，本文提出了改進的SEREP模型縮聚方法。該方法構(gòu)造的線性子空間與模態(tài)特征向量所構(gòu)成的線性子空間相同；為了解決縮聚模型主自由度數(shù)受限于試驗條件而數(shù)量不足的問題，引入了擴展主自由度，其可以根據(jù)頻域的大小和實際計算精度的需求調(diào)整縮聚后模型的維數(shù)，適用于存在密集模態(tài)頻率的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的模型縮聚。本文以實際航天器結(jié)構(gòu)的算例證明，使用改進的SEREP模型縮聚方法進行縮聚后的模型可以準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)在全頻域的動力學(xué)特性。

本文為接下來研究基于中高頻段頻率響應(yīng)的模型修正問題提供了必要的方法與手段。